Diszkrét matematika 2. - B szakirány
Előadás
Előadások 2016
- 2016. február 12.
- Irányítatlan gráf
- Illeszkedés
- Szomszédos csúcsok és élek
- Izolált csúcs
- Üres gráf
- Hurok él, párhuzamos élek
- Egyszerű gráf
- Véges/végtelen gráf
- Csúcsok foka
- Reguláris és \(n\)-reguláris gráfok
- Izolált csúcs ekvivalens megfogalmazása
- Kapcsolat az élek száma és fokszámok összege között
- Gráfok izomorfizmusa
- Ismertebb gráfok: \(K_n\), \(C_n\), \(P_n\), \(S_n\), \(H_n\)
- Páros gráfok
- Gráfok direkt szorzata
- Hiper-kocka
- Részgráf, feszített részgráf
- Komplementer gráf
- Élek és csúcsok törlése
- Nyílt illetve zárt séta és vonal; út és kör
- Távolság, átmérő
- Séta helyettesíthető úttal
- Zárt utak diszjunkt körök uniója
- Összefüggőség, komponensek
- 2016. február 19.
- Fák, ekvivalens definíciók
- Fák éleinek száma
- Erdők
- Feszítőfa, feszítőerdő
- \(F\) feszítőfához tartozó alapkörrendszer
- Vágások, és vágások száma
- Euler vonal
- Zárt Euler vonal létezése egy gráfban, és páratlan fokszámú csúcsokat tartalmazó gráfok dekompozíciója éldiszjunkt vonalakra
- Hamilton út, Hamilton kör
- Ore tétel, Dirac tétele (bizonyítás nélkül március 4.-én lesz)
- Címkézett gráfok
- Kruskal algoritmus
- 2016. február 26.
- Irányított gráfok
- Gráfok éllistás reprezentációja
- Erős összefüggőség
- Irányított fák
- Dijksztra algoritmusa
- Síkba rajzolható gráfok, Euler formula
- Jól színezés, kromatikus szám
- 2016. március 4.
- Félcsoportok, csoportok, rész(fél)csoportok, ekvivalens definíciók
- Homomorfizmus, epimorfizmus, monomorfizmus, izomorfizmus, endomorfizmus, automorfizmus
- Csoportok ekvivalens definíciója, oszthatóság, egyszerűsítési szabály
- Példa: Diédercsoport, Klein-féle csoport
- 2016. március 11.
- Részcsoportok ekvivalens definíciói
- Részcsoportok metszete is részcsoport
- Generátum, generátor rendszer
- Ciklikus csoport
- Generátum ekvivalens megfogalmazása
- Ha \(G=\langle g \rangle\) akkor \(\varphi(\langle g \rangle)=\langle\varphi(g)\rangle\)
- Csoport rendje, emelem rendje
- A \(G\) ciklikus csoport izomorf \((\mathbb{Z},+)\) additív csoporttal ha végtelen rendű, és \((\mathbb{Z}_n, +)\) additív csoporttal ha rendje \(n\)
- Ciklikus csoport részcsoportjai
- 2016. március 18.
- Mellékosztályok (jobb és baloldali)
- Csoport és elem rendje kapcsolata
- Prímszámrendű csoportok
- Normálosztók, ekvivalens állítások, metszet
- Normálosztók kapcsolata a művelettel kompatibilis osztályzással
- Faktorcsoport
- 2016. április 1.
- Homomorfizmus magja
- Homomorfizmus tétel
- Csoportok direkt szorzata
- Véges Abel–csoportok alaptétele
- Gyűrűk, példa: \(\mathbb{Z}[\alpha]\)
- Karakterisztika
- 2016. április 8.
- Frobenius–endomorfizmus
- Részgyűrűk, ideálok
- Mellékosztályok
- Ideál szerinti mellékosztályok, és mindkét művelettel kompatibilis osztályzások
- Faktorgyűrű
- (Gyűrű) homomorfizmus tétel
- Két műveletes halmazok direkt szorzata
- Főideálok kommutatív egységelemes gyűrűben illetve egységelemes integritás tartományban
- Gauss gyűrűk
- Osztók, lnko, lkkt meghatározása Gauss gyűrűben
- Prím és irreducibilis elem fogalma megegyezik Gauss gyűrűben
- 2016. április 15.
- Példa egységelemes integritásra ami nem Gauss gyűrű
- Euklideszi gyűrű definíciója
- Tétel: Euklideszi gyűrű elemei jellemzése \(\varphi\)-vel
- Tétel: Bővített Euklideszi algoritmus Euklideszi gyűrűben
- Tétel: Prímek és irreducibilis elemek viszonya Euklideszi gyűrűkben
- Tétel: Gauss és Euklideszi gyűrű kapcsolata
- Definíció: Hányadostest
- Definíciók: Formális hatvány sorok, illetve egy \(R\) gyűrű feletti végtelen sorozatokon értelmezett műveletek és az ide tartozó definíciók
- Definíciók: Egy változós polinomok, terminológia és jelölések
- Definíció: Polinomfüggvény
- 2016. április 22.
- Tétel: Maradékos osztás tétel polinomgyűrűben (8.3.8)
- Következmény: Gyöktényező leválasztása és többi következménye (8.3.9 és 8.3.10)
- Következmény: Szükséges feltétel arra, hogy két polinom megegyezzen (8.3.11)
- Következmény: Szükséges feltétel arra, hogy mikor egyezik meg a polinom fogalma a polinom függvény fogalmával (8.3.12)
- Következmény: Test feletti polinomokra vonatkozó következmény (8.3.13)
- Horner elrendezés
- Tétel: Wilson tétel.
- Definíció: algebrai derivált és tulajdonságai
- Tétel: Algebrai derivált és oszthatóság kapcsolatára vonatkozó tétel (8.3.31)
- Következmény: Test feletti polinomok négyzetmentesítése (8.3.32)
- Definíció: többszörös gyökök
- Tétel: Többszörös gyökök és derivált kapcsolatát leíró tétel.
- Testbővítések
- 2016. április 29.
- Véges testek elemszáma (8.3.54)
- Prímhatványelemű véges testek létezése (8.3.61)
- Véges testek alap tétele (8.3.110)
- Irreducibilis polinomok \(\mathbb{C}\), \(\mathbb{R}\), \(\mathbb{Q}\) és \(\mathbb{Z}\) felett (8.3.64)
- Primitív polinom (8.3.65)
- Gauss tétel (8.3.68)
- Schönemann–Eisenstein tétel (8.3.77) és következménye (8.3.78)
- Lagrange interpoláció (8.3.82)
- Titok megosztás (8.3.83)
- Gyakoriság, relatív gyakoriság, egyedi információ tartalom, átlagos információ tartalom, vagyis entrópia (9.1.1)