\documentclass[b5paper,10pt]{book}
\usepackage{KnuthAprilis3}
\usepackage{mycolortbl}

\makeindex

\renewcommand{\sfdefault}{ufu}

\setcounter{chapter}{6}
\setcounter{tocdepth}{4}
\setcounter{section}{5}
\setcounter{subsection}{1}
\setcounter{subsubsection}{3}
\setcounter{figure}{0}
\setcounter{equation}{0}
\setcounter{page}{1}



  
\begin{document}
\renewcommand\sz[1]{[\textit{#1}]}
\def\figdir{abrak} % ábrakönyvtár átnevezése
\def\CEE/{{\mc C\spacefactor1000}}% the C programming language
\def\MF{{\manfnt META}\-{\manfnt FONT}}%
\def\bool#1{\mathbin{\catcode`\.=12\vcenter{\hbox{$#1$}}}}
\def\nbool#1{\mathbin{\catcode`\.=12     \mkern1.5mu\overline{\mkern-1.5mu#1\mkern-1.5mu}\mkern1.5mu}}
\def\contra{\bool{\bot}} %%% rendben
\def\nimp{\nbool\supset}   %%% rendben
\def\quant{\lower.23ex\hbox{epsfbox{\figdir/v4a.9}}}   %%% ábra kell
\def\lproj{\bool{\epsfbox{\figdir/v4a.10}}}   %%% ábra kell
\def\cnimp{\nbool\subset}    %%% rendben
\def\rproj{\bool{\epsfbox{\figdir/v4a.11}}} %%% ábra kell
\def\xor{\oplus}       %%% rendben
\def\nor{\nbool\lor}   %%% rendben
\def\leqv{\bool\equiv}    %%% rendben
\def\rcomp{\nbool{\rproj}}   %%% ábra kell
\def\cimpl{\bool\subset}   %%% rendben
\def\lcomp{\nbool{\lproj}}   %%% ábra kell
\def\impl{\bool\supset} %%% rendben
\def\nand{\nbool{\land}}  %%% rendben
\def\affirm{\bool{\top}}  %%% rendben
\def\vtiny{\vskip.2pt}    %%% rendben
\def\orie{\rlap{$\,\vec{}$}} % oriented graph modifier
\def\rest{\mathbin{\mid}}
\def\dadj{\mathrel{\!\mathrel-\mkern-8mu\mathrel-\mkern-12mu\to\!}}

\hyphenation{}

\newpage
\thispagestyle{empty}
\sf
\begin{center}
\vspace{3cm}


\huge

\textbf{Donald Ervin KNUTH}\angolnevindex{Knuth@\string\Knuth}

\huge

\vspace{48mm}

\textbf{A SZÁMÍTÓGÉP-PROGRAMOZÁS}

\vspace{15mm} 

\textbf{MÛVÉSZETE}

\vspace{32mm}

4. kötet  0. rész

\vspace{6mm}

Bevezetés a kombinatorikai algoritmusokhoz és a Boole-függvényekhez

\vspace{38mm}
\Large


\vspace{6mm}
\textbf{Budapest, 2009} 
\end{center}


\newpage
\thispagestyle{empty}
\normalsize
\normalfont
\begin{center}
Az eredeti mû: \\

D. E. Knuth:\angolnevindex{Knuth@\string\Knuth} \textit{The Art of Computer Programming, Volume 4, \\
Fascicle 0. Introduction to Combinatorial Algorithms and Boolean Functions} \\
Addison--Wesley, Upper Saddle River, NJ, 07458 \\
(Internet page \hrefun{http://www-cs-faculty.stanford.edu/~knuth/taocp.html}
{http://www-cs-faculty.stanford.edu/$\sim$knuth/taocp.html})\\
\label{kolofon}


\vspace{2mm}
Authorized translation from the English language edition, entitled THE ART OF COMPUTER PROGRAMMING, 
VOLUME 4, FASCICLE 0. INTRODUCTION TO COMBINATORIL ALGORITHMS AND BOOLEAN FUNCTIONS, 1st Edition, 0201853930, by KNUTH, 
DONALD E., published by Pearson Education, Inc., publishing as Addison--Wesley Professional, Copyright 
\copyright \ 2008 by Pearson Education, Inc.\angolnevindex{Knuth@\string\Knuth}

\vspace{6mm}
All rights reserved. No part of this book may be reproduced or transmitted in any form or by any means, 
electronic or mechanical, including photocopying, recording or by any information storage retrieval 
system, without permission from Pearson Education, Inc.

\vspace{2mm}
Minden jog fenntartva. A könyv és annak részei kizárólag a Pearson Education, Inc. jóváhagyásával 
másolhatók, továbbíthatók bármiféle eszközzel, rögzíthetõk mechanikusan vagy elektronikusan, 
fényképezhetõk, tárolhatók információs rendszerekben.

\vspace{6mm}
\copyright \ 2009 AnTonCom Infokommunikációs Kft.\nevindex{AnTonCom Infokommunikációs Kft.}

Honlap: \hrefun{http://www.antoncom.hu/}{http://www.antoncom.hu/}; könyvrendelés: \hrefun{mailto:rendeles@antoncom.hu}{rendeles@antoncom.hu}


\vspace{6mm}
\textbf{Szerkesztõ:} \hrefun{http://people.inf.elte.hu/tony/}{Iványi} Antal\nevindex{Iványi Antal Miklós} 



\vspace{5mm}
\textbf{Szakmai lektorok:} \hrefun{http://www.cs.ubbcluj.ro/~kasa/}{Kása} Zoltán és \hrefun{http://www.renyi.hu/~sagi/}{Sági} Gábor\nevindex{Sági Gábor}

\vspace{4mm}
\textbf{Nyelvi lektorok:} \hrefun{http://www.karinthy.hu/~SAMU/samu.htm}{Biró} Gabriella\nevindex{Biró Gabriella} és 
\hrefun{mailto:sese@elte.hu}{Selyem} Zoltán\nevindex{Selyem Zoltán}

\vspace{4mm}
\textbf{Fordítók:} \hrefun{http://www.inf.unideb.hu/~hajdua/}{Hajdu} András,\nevindex{Hajdu András}
\hrefun{http://people.inf.elte.hu/pkata/}{Pásztorné} Varga Katalin\nevindex{Pásztorné Varga Katalin}
\hrefun{http://compalg.inf.elte.hu/~zslang/}{Láng} Csabáné,\nevindex{Láng Csabáné}  
\hrefun{http://www.inf.unideb.hu/szamtud/tagok/?varteresz}{Várterész} Magdolna\nevindex{Várterész Magdolna} 


 
\vspace{6mm}
\hrefun{http://www.karinthy.hu/~SAMU/samu.htm}{Biró} Gabriella,\nevindex{Biró Gabriella} 
\hrefun{http://www.inf.unideb.hu/~hajdua/}{Hajdu} András,
\hrefun{http://www.ceeweb.org/hun/index.html}{Iványi} Anna,\nevindex{Iványi Anna Barbara} 
\hrefun{http://people.inf.elte.hu/tony/}{Iványi} Antal,\nevindex{Iványi Antal Miklós} 
\hrefun{http://www.cs.ubbcluj.ro/~kasa/}{Kása} Zoltán,\nevindex{Kása Zoltán} 
\hrefun{http://compalg.inf.elte.hu/~zslang/}{Láng} Zsuzsanna,\nevindex{Láng Zsuzsanna}
\hrefun{mailto:gms@cs.elte.hu}{Mayer} Gyula,\nevindex{Mayer Gyula}
\hrefun{http://people.inf.elte.hu/pkata/}{Pásztorné} Varga Katalin,
\hrefun{http://www.renyi.hu/~sagi/}{Sági} Gábor,
\hrefun{http://www.inf.unideb.hu/szamtud/tagok/?varteresz}{Várterész} Magdolna

\vspace{6mm}
A könyv honlapja: 
\hrefun{http://compalg.inf.elte.hu/~tony/KedvencKonyvek/}{http://compalg.inf.elte.hu/$\sim$tony/KedvencKonyvek/}



\vspace{4mm}
ISBN 978-963-87947-2-7  

\vspace{5mm} 
A borítót \hrefun{mailto:epsbt@fibermail.hu}{Hodosi} Mária\nevindex{Hodosi Mária} tervezte

\vspace{2mm}
Nyomás és kötés: \hrefun{http://www.kinizsinyomda.hu/}{Kinizsi} Nyomda\nevindex{Kinizsi Nyomda}

Felelõs vezetõ: \hrefun{bordosjanos@kinizsinyomda.hu}{Bördõs} János\nevindex{Bördõs János}
\end{center} 

\hyphenation{}
\tableofcontents

\markboth{\sf ELÕSZÓ AZ ANGOL KIADÁSHOZ}{\sf ELÕSZÓ AZ ANGOL KIADÁSHOZ}
\pagestyle{myheadings}
\chapter*{ELÕSZÓ AZ ANGOL KIADÁSHOZ}
\addcontentsline{toc}{chapter}{ELÕSZÓ AZ ANGOL KIADÁSHOZ}

\vspace{-4cm}
{
\quoteformat
Minden jó dolgot egy könyvben összefoglalni nyilvánvalóan lehetetlen. 
Még az is túlzott terjedelemhez vezet, ha csak adott témakör egy adott vonatkozásában 
ésszerûen átfogóak szeretnénk lenni.

\author GERALD B. FOLLAND \textsl{\idez{Editor's corner}} (2005) \cite{Folland2005}
\angolnevindex{Folland, Gerald Budge}
}

{
\quoteformat
La dernére chose qu'on trouve en faisant un ouvrage
est de savoir celle qu'ill faut mettre la premiére.
\author BLAISE PASCAL \textsl{Pensées 740} (1660 körül) \cite{Pascal1660}
\angolnevindex{Pascal, Blaise (1623--1662)}
}
\bigskip

Ez a könyvecske az \textit{A számítógépes-programozás mûvészete} címû monográfia \textit{Kombinatorikus algoritmusok} 
címû 4. kötetének 3. része. Amint azt az 1. kötet 1. részében leírtam, azért adom közre az anyagot ebben 
az elõzetes formában, mert tudom, hogy a 4. kötet befejezéséhez sok évre lesz szükség; én pedig már alig 
várom, hogy az emberek elolvassák, amit írtam, és ellássanak értékes megjegyzéseikkel. 

Ez a füzet a kombinatorikus elemzésrõl szóló, nagyon hosszú fejezet kezdõ részeit 
(a \ref{alfejezet70}. alfejezetet,  valamint a \ref{pont711}. és  a \ref{pont712}. pontot) tartalmazza.  
Ez a 7. fejezet terveim szerint az \textit{A számítógép-programozás mûvészete} 
leghosszabb fejezete lesz, és végül is majd három kötetet tölt meg (nevezetesen a 4A, 
4B és 4C köteteket), feltéve, hogy egészséges maradok. A második leghosszabb fejezethez (5. fejezet) 
hasonlóan ez a fejezet is ealapismereteket átadó elõkészítõ anyaggal kezdõdik, azután 
következik a fõ szöveg, amely bemelegítésként több tucat gyakorlatot tartalmaz. Ezután 
hosszú utazás következik, és fontos tartalékokat kell magunkkal vinnünk, ha 
felszállunk a fedélzetre. Továbbá minimalizálni akartam a 6. fejezet és az új fejezet közötti átmenet okozta sokkhatást, mivel a 6. 
fejezetet eredetileg több mint 30 évvel ezelõtt írtam és adtam közre. 

A tényleges 7. fejezet a "\textit{Nullák és egyesek} címû alfejezettel kezdõdik, amelyik egy másik típusú bevezetés, 
egy másik szinten. Ez az alfejezet beugrik azokba a nagyon fontos témákba, amelyek a 
Boole-függvények tanulmányozását körbeveszik, és ami lényegében mindennek az alapja, 
amit a számítógépek tesznek. A \textit{Logikai alapok} címû \ref{pont711}. alpont 
arra tesz kísérletet, hogy szilárd alapot biztosítson azoknak az elméleti és gyakorlati gondolatoknak, amelyekre 
késõbb jelentõs szuperstruktúrákat építünk; a \textit{Boole-függvények kiértékelése} 
címû\index{Boole-függvény = Boolean function}\angolnevindex{Boole, George (1815--1864)}  
\ref{pont712}. alpont azt vizsgálja, hogyan lehet a Boole-függvényeket maximális hatékonysággal kiszámítani.

A \ref{alfejezet71}. alfejezet további részei -- nevezetesen a \textit{Bitenkénti trükkök és módszerek} címû 
7.1.3. és a \textit{Bináris döntési diagramok} címû 7.1.4. alpont 
rövidesen megjelenik, mint a 4. kötet 1. része. Ezután következik  
Boole-függvényekkel\index{Boole-függvény = Boolean function}\angolnevindex{Boole, George (1815--1864)}
a \textit{Minden lehetõség elõállítása} címû 7.2. alfejezet; az 
\textit{Alapvetõ kombinatorikai minták elõállítása} címû 7.2.1. pont már megjelent. 
A 7.2.2. pont a visszalépéssel általában fog foglalkozni. És ez így megy tovább, 
ha minden jól megy; az egész 7. fejezet vázlata -- ahogyan azt most elképzelem -- elérhetõ a
\href{http://www-cs-faculty.stanford.edu/~knuth/taocp.html}{\texttt{taocp}} honlapon, melynek címe 
megtalálható a kolofon oldalon.

. . .\angolnevindex{Floyd, Robert W.}\angolnevindex{Wilson, Robin James}

\smallskip
Örömmel fizetek 2.56 dollár megtalálói jutalmat ezen füzet minden hibájáért annak, 
aki elsõként jelzi a hibát -- függetlenül attól, hogy sajtóhibáról, helyesírási vagy történeti hibáról 
van-e szó. Ugyanez az elismerés jár azokért a kifejezésekért, amelyeket elfelejtettem 
betenni a tárgymutatóba. Értékes ajánlások a szöveg javítására egyenként 32 centet érdemelnek. 
Továbbá, ha Ön jobb megoldást talál egy gyakorlatra, puszta pénz helyett örök glóriát kap 
azzal, hogy neve bekerül a könyv végleges változatába.

Azok a jelölések, amelyeket ebben a füzetben alkalmazok, és másutt nem magyaráztam el õket, 
megtalálhatók az 1., 2. és 3. kötet jelölésekkel foglalkozó függelékében. Ezekben a részekben 
további útmutatás van arra nézve, hol van az adott jelölések részletes magyarázata. 
Természetesen majd egykor a 4. kötetnek saját jelölésmutatója lesz.

A gépi kódú példák az \textit{A számítógép-programozás mûvészete} minden további kiadásában 
az \MMIX \ \index{MMIX@\MMIX \ = \MMIX} 
számítógépen fognak alapulni, amelyet az 1. kötet 1. részében definiáltam. 

A még megíratlan részekre való kereszthivatkozások \idez{00}-ként jelennek meg a következõ oldalakon; 
ezek a lehetetlen számok helyettesítik a késõbb megadandó tényleges számokat.

\smallskip
Kellemes olvasást!


\bigskip
\noindent \textit{Stanford, California} \hfill D.\ E.\ K. \\
\textit{2008. január}\angolnevindex{Knuth@\string\Knuth}
 
\markboth{\sf ELÕSZÓ A NEGYEDIK KÖTETHEZ}{\sf ELÕSZÓ A NEGYEDIK KÖTETHEZ}
\pagestyle{myheadings}
\chapter*{ELÕSZÓ A NEGYEDIK KÖTETHEZ}
\addcontentsline{toc}{chapter}{ELÕSZÓ A NEGYEDIK KÖTETHEZ}
 
A negyedik kötet címe \textit{Kombinatorikai algoritmusok}. Amikor ezt a címet javasoltam, 
nagy kedvem volt hozzátenni a \textit{Kedvenc programozási feladataim} alcímet. A szerkesztõim 
elutasították ezt az érzelgõsséget, de az tény marad, hogy mindig a kombinatorikai jellegû programozási 
feladatokkal foglalkoztam a legszívesebben.
 
 
\bigskip
\noindent \textit{Stanford, California} \hfill D.\ E.\ K. \\
\textit{2008. április}\angolnevindex{Knuth@\string\Knuth} 
 
{
\quoteformat
A megmaradt hibákért természetesen vállalom a felelõsséget --
bár véleményem szerint a barátaim észrevehettek volna még néhányat. 
\author CHRISTOS H. PAPADIMITRIOU, \textsl{Számítási bonyolultság} (1995) \cite{Papadimitriou1994}
\angolnevindex{Papadimitriou, Christos H.}
}
\bigskip 

. . .

\textbf{Megjegyzés a hivatkozásokhoz.} Az \textit{IEEE Transactions} címû folyóiratra való hivatkozások tartalmaznak egy 
félkövér betût a kötet számában, amely a folyóirat típusára utal. Például \idez{\textit{Trans. \textbf{C-35}}} az 
\textit{IEEE Transactions on Computers} 35. kötetét jelöli. Az IEEE nem alkalmazza többé ezeket a kényesmes betûkódokat, de nem 
túl nehéz ezeket a kódokat megfejteni: \idez{\textbf{EC}} az idez{\textit{Electronic Computers}}, 
\idez{\textbf{IT}}  az \idez{\textit{Information Theory}},  \idez{\textbf{SE}} a \idez{\textit{Software Engineeing}}, 
\idez{\textbf{SP}} a \idez{\textit{Signal Processing}}, \idez{\textbf{CAD}} pedig a 
\idez{\textit{Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems}} rövidítése.

 
\chapter*{BEVEZETÉS A MAGYAR KIADÁSHOZ}
\addcontentsline{toc}{chapter}{BEVEZETÉS A MAGYAR KIADÁSHOZ}

\markboth{\sf BEVEZETÉS A MAGYAR KIADÁSHOZ}{\sf BEVEZETÉS A MAGYAR KIADÁSHOZ} 
\pagestyle{myheadings}

Az informatikai algoritmusok magyar nyelvû szakirodalma az utóbbi harminc évben alakult ki. 
Az elsõ szakkönyvet -- \textit{Algoritmusok} címmel -- Lovász\nevindex{Lovász László} 
László és Gács\nevindex{Gács Péter} Péter írta 
1978-ban [21]. Ezt a könyvet fordítások követték: 1982-ben Aho,\nevindex{Aho, Alfred V.} 
Hopcroft\nevindex{Hopcroft, John E.} és Ullman\nevindex{Ullman, Jeffrey David} könyve [1], 
1987-ben Knuth háromkötetes monográfiája [13,14,15],\nevindex{Knuth@\string\Knuth} 
majd 1997-ben Cormen,\nevindex{Cormen, Thomas H.} Leiserson\nevindex{Leiserson, Charles E.} 
és Rivest\nevindex{Rivest, Ronald Linn} mûve [2], amely 
\textit{Algoritmusok} címmel jelent meg, és több kiadás is bizonyította népszerûségét. 
Idõközben Kolozsváron megjelent Kása Zoltán\nevindex{Kása Zoltán} \textit{Algoritmusok tervezése} 
címû tankönyve [11]. 
1998-ban jelent meg Knuth, Graham\nevindex{Graham, Ronald Lewis} és 
Patashnik\nevindex{Patashnik, Oren} \textit{Konkrét matematika} címû könyve, amely 
az algoritmusok elemzésének alapvetõ matematikai eszközeit foglalta össze [16].   
1999-ben újra hazai szerzõk következtek --  Rónyai Lajos,\nevindex{Rónyai Lajos} 
Ivanyos\nevindex{Ivanyos Gábor} Gábor és Szabó\nevindex{Szabó Réka} Réka [23] -- 
majd 2002-ben megjelent Lynch\nevindex{Lynch, Nancy Ann} \textit{Osztott algoritmusok} címû monográfiája [22]. 
2002-ben jelent meg Csörnyei\nevindex{Csörnyei Zoltán} Zoltán \textit{Fordítási algoritmusok} [4], valamint 
Katona Y. Gyula, Recski András és Szabó Csaba \textit{A számítástudomány alapjai}
címû tankönyve [12]\nevindex{Katona Y. Gyula}\nevindex{Recski András}\nevindex{Szabó Csaba} is.

Ezt 2003 tavaszán Iványi Antal \textit{Párhuzamos algoritmusok} címû könyve [7], majd 2003 õszén 
-- \textit{Új algoritmusok} címmel -- Cormen, Leiserson, Rivest és Stein tankönyvének [3]  
fordítása követte.\nevindex{Iványi Antal Miklós}\nevindex{Stein, Clifford}
2004 nyarán adta közre Jordán Tibor, Recski András és Szeszlér Dávid a \textit{Rendszeroptimalizálás} címû 
tankönyvet [10].\nevindex{Jordán Tibor}\nevindex{Recski András}\nevindex{Szeszlér Dávid}
2004 õszén jelent meg az \textit{Informatikai algoritmusok 1} [8], amelyet 2005 júniusában az 
\textit{Informatikai algoritmusok 2} [9] követett.
A legfrissebb magyar nyelvû tankönyv Csörnyei\nevindex{Csörnyei Zoltán} Zoltán és Kása Zoltán\nevindex{Kása Zoltán} 
\textit{Formális nyelvek és fordítóprogramok} címû mûve [5].

2005 tavaszától számítható az elektronikus tankönyvek megjelenése: az elsõ két könyv a 
\textit{Párhuzamos algoritmusok} [7] és az \textit{Informatikai algoritmusok 1} 
[8].\nevindex{Iványi Antal Miklós}

Nagy örömünkre szolgál, hogy ezt a választékot most D. E. Knuth\nevindex{Knuth@\string\Knuth} 
monográfiájának újabb részeivel bõvíthetjük:
a \MIX \ \index{MIX@\texttt{MIX} \ = \texttt{MIX}} gép helyett javasolt 
\MMIX \ \index{MMIX@\MMIX \ = \MMIX} gépet bemutató 1/1. résszel (\idez{füzettel}) [17],  
az $n$-esek és permutációk elõállítását tárgyaló 4/2. füzettel [18], a kombinációk és felbontások 
generálási lehetõségeit elemzõ 4/3. [19] és a fák elõállítási algoritmusait, valamint a kombinatorikus 
elõállítások történetét összefoglaló 4/4. résszel [20].

\newpage
A könyv egyes elemeinek számozását tekintve követjük az angol szöveget. Ezért 
az 1. kötet 1. része az 1.3´. alfejezettel kezdõdik, 
és a 4/2., 4/3. és 4/4. részek a hetedik fejezet bizonyos alpontjait tartalmazzák. 
Ebben a 4/3. füzetben az elsõ táblázat sorszáma 7.8., az elsõ ábra sorszáma 
pedig 7.46., mivel D. E. Knuth\nevindex{Knuth@\string\Knuth} feltételezi, hogy a már megjelent 
4/0. és 4/2., valamint a várhatóan 2009. márciusában megjelenõ 4/1. részben összesen 
7 számozott táblázat és 45 számozott ábra lesz. 

Általában mind a tartalmi, mind a formai megoldásoknál igyekeztünk az eredeti mû betûjét és szellemét követni. 
Például a képletek, gyakorlatok és megoldások sorszámai minden pontban (ebben a füzetben a 7.2.1.3. 
pontban) 1-gyel kezdõdnek. A pontokon belüli hivatkozásoknál csak ezeket az egyszerû 
sorszámokat használjuk, míg az adott ponton kívülre történõ hivatkozásoknál a sorszámok a megfelelõ könyvrész 
azonosítójával kezdõdnek.

A gyakorlatok sorszámát szögletes zárójelbe tett számok követik, amelyek a megoldáshoz szükséges 
gondolkodási idõ hosszaként is értelmezhetõk. [00] azonnal megválaszolható kérdést jelez. 
[10] azt mutatja, hogy át kell gondolnia az éppen elolvasott részt, de semmi különös nehézséget nem 
okoz a megoldás, legfeljebb egy percre lesz szüksége. Papír és ceruza hasznos lehet a 
megoldás elõállításához. [20] azt jelzi, hogy a gyakorlat teszteli, alaposan megértette-e az anyagot. 
A teljes megoldáshoz 15--20 percre is szüksége lehet. [30] közepes nehézségû gyakorlatot jelez. 
Ezek megoldása akár két óránál is többet igényelhet. Végül [50] olyan kutatási feladatokat jelez, 
amelyek megoldását a könyv szerzõje sem ismeri. Ha ilyeneket sikerül megoldania, publikálja a 
megoldást és arról tájékoztassa a könyv szerzõjét. 

A gondolkodási idõt jellemzõ számok elõtt esetenként M vagy F betû áll: elõbbi matematikai, 
utóbbi felsõbb matematikai ismeretek szükségességét jelzi. A gyakorlatok sorszáma elõtti  
sötét háromszög $(\blacktriangleright)$ pedig azt mutatja, hogy az anyag feldolgozásához ajánlott 
az adott gyakorlat megoldása.

Az eredeti szöveg tartalmi és formai megoldásaitól csak ott tértünk el, 
ahol korábban megjelent szakkönyveink stílusához igazodtunk:
\begin{itemize}
\item Minden füzethez irodalomjegyzéket készítettünk. Az irodalomjegyzék elektronikus változatában 
-- a folyóiratok és kiadók internetes címei mellett -- igyekeztünk megadni a szerzõk honlapjának a címét 
is. Ha nem találtunk ilyen honlapot (például azért, mert az adott szerzõ már nem él), 
akkor adatokat tartalmazó egyéb honlapok -- például a \textit{Wikipédia} vagy a 
\textit{University of St Andrews} matematikai oldala -- 
címét adtuk meg. A szövegben az irodalmi hivatkozásokat szögletes zárójelek jelzik.
\item Az eredeti indexet névmutatóra és tárgymutatóra bontottuk -- és az új  
tárgymutató egyben az adott füzet szóanyagához magyar--angol szótárként is használható.  
\newpage
\item Az adott füzet és az ajánlott magyar szakirodalomban szereplõ mûvek alkotóinak neve külön névmutatóban 
szerepel. 
\item A szöveghez szorosan kapcsolódó megjegyzéseket kerek, a lazán kapcsolódó megjegyzéseket pedig kapcsos 
zárójelek közé tettük.
\end{itemize}
\vspace{2mm}
Az új részek a könyv végén vannak. 

A kombinatorikai bevezetést tartalmazó \ref{alfejezet70}. alfejezetet XY, \nevindex{XY???}, 
a logikai alapokat tartalmazó \ref{pont711}. pontot KP,\nevindex{KP???}, a Boole-függvények értékelését 
tartalmazó \ref{pont712}. alpontot pedig FJ\nevindex{FJ???} és RZ\nevindex{RZ???}  
fordította magyarra. A könyv szakmai lektorálását Kása Zoltán\nevindex{Kása Zoltán} 
és Pásztorné Varga Katalin\nevindex{Pásztorné Varga Katalin}, 
nyelvi lektorálását pedig Biró Gabriella\nevindex{Biró Gabriella} és Selyem Zoltán\nevindex{Selyem Zoltán} végezte.  

Az eredeti angol nyelvû könyv kézirata \TeX-ben készült, a magyar változaté pedig 
\LaTeX-ben. A felmerült \LaTeX-problémákat Belényesi Viktor\nevindex{Belényesi Viktor} 
és Csörnyei Zoltán\nevindex{Csörnyei Zoltán} oldották meg. 
Az ábrákat Locher Kornél\nevindex{Locher Kornél} készítette. 
Az egzotikus szerzõnevek megjelenítése 
Mayer Gyula\nevindex{Mayer Gyula} érdeme. Az irodalomjegyzék élõ hivatkozásait 
Iványi Anna\nevindex{Iványi Anna Barbara} készítette. A borítót 
Hodosi Mária\nevindex{Hodosi Mária} tervezte. 

MUnkánkat megkönnyítette, hogy sok segítséget kaptunk a könyv szerzõjétõl: folyamatosan ellátott 
bennünket a friss forrásfájlokkal és hibalistákkal, valamint részletesen válaszolt 
kérdéseinkre és javaslatainkra.

A késõbbiekben szeretnénk az elsõ kiadás hibáit kijavítani. 
Ezért kérjük a könyv Olvasóit, hogy javaslataikat, észrevételeiket küldjék el a 
\begin{center}
\hrefun{mailto:tony@compalg.elte.hu}{\texttt{tony@compalg.elte.hu}}
\end{center}
címre -- levelükben lehetõleg 
pontosan megjelölve a hiba elõfordulási helyét, és megadva a javasolt új szöveget. A füzetek hibajegyzékét, élõ 
irodalomjegyzékét, tárgymutatóját és kolofonoldalát a
\begin{center}
\hrefun{http://compalg.inf.elte.hu/~tony/KedvencKonyvek/}
{\texttt{http://compalg.inf.elte.hu/$\sim$tony/KedvencKonyvek}}
\end{center}
címen fogjuk közreadni (az ugrópontokat aláhúzás jelzi).

Olvasóink javaslataikkal, kérdéseikkel megkereshetik a könyv alkotóit is (címük megtalálható a 
honlapon lévõ mintában, a kolofonoldalon). \\

Az 1/1., 4/2. és 4/3. részek angolul 2005-ben, a 4/4. rész 2006-ban, a 4/0. rész pedig 
2008 áprilisában jelent meg. A 4/1. rész megjelenését a szerzõ és az Addison--Wesley 
Professional Kiadó is 2009 márciusára tervezi. Magyarul elõször a 4/2. és 4/4. részek 
jelentek meg 2008 júliusában. Ezeket 2008 novemberében követi a 4/3., majd  decemberben 
az 1/1. rész. Ha ezt az elsõ hat könyvet valóban olyan nagy érdeklõdés kíséri, amint  
az elõzetes felmérésünk alapján várható, akkor az elmúlt évtizedekben 
bõvített és javított formában megjelent elsõ három kötetet is lefordítjuk.   

\vspace{6mm}
Budapest, 2009. március 16. \\

\hspace{82.5mm}                  Iványi Antal\nevindex{Iványi Antal Miklós}

\hspace{83.9mm}                         szerkesztõ




\newpage

\begin{figure}[t!]
\begin{center}
\resizebox{10cm}{!}{\includegraphics{v4frnt-music}} 
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}[t!]
\begin{center}
\resizebox{10cm}{!}{\includegraphics{v4frnt-hommage}} 
\end{center}
\end{figure}

\chapter{KOMBINATORIKAI ELEMZÉS}
\markboth{\sf 7. KOMBINATORIKAI ELEMZÉS (4. kötet 0. rész)}
{\sf 7. KOMBINATORIKAI ELEMZÉS (4. kötet 0. rész)}
\pagestyle{myheadings} 

\vspace{-3cm}
{
\quoteformat
You shall seeke all day ere you finde them,
% spelling is from the First Folio (1623); but "haue" -> "have"
\& when you have them, they are not worth the search.
\author BASSANIO, in \textsl{The Merchant of Venice} (1597) \cite[1. felvonás 1. jelenet, 117. sor]{Shakespeare1623}
\angolnevindex{Shakespeare (= Shakspere), William (1564--1616)}
}

{
\quoteformat
Amid the action and reaction of so dense a swarm of humanity,
every possible combination of events may be expected to take place,
and many a little problem will be presented which may be striking and bizarre.
\author SHERLOCK HOLMES, in \textsl{The Adventure of the Blue Carbuncle} (1892) \cite{Doyle1892}
\angolnevindex{Doyle, Ignatius Arthur Conan, Sir (1859--1930)}
}

{
\quoteformat
A kombinatorikai algoritmusok területe túl nagy ahhoz, hogy 
egyetlen cikkben, vagy akár egyetlen könyvben tárgyalni lehessen.
\author ROBERT E. TARJAN (1976) \cite[483. oldal]{Tarjan1976}
\angolnevindex{Tarjan, Robert Endre}
}

{
\quoteformat
While jostling against all manner of people
it has been impressed upon my mind that the successful ones
are those who have a natural faculty for solving puzzles.\index{rejtvény = puzzle}
Life is full of puzzles, and we are called upon
to solve such as fate throws our way.
\author SAM LOYD, JR. (1927) \cite{Loyd1927}
% in "A talk on puzzles," on p4 of Tricks and Puzzles by Sam Loyd
% New York, Experimenter Publ. Co., 1927
} 

\bigskip

Ebben a könyvben két témával foglalkozunk: a \ref{alfejezet70}. alfejezet a kombinatorikai algoritmusok, 
a \ref{alfejezet71}. alfejezet pedig a Boole-függvények elemzését vezeti be.

\markboth{\sf 7. KOMBINATORIKAI ELEMZÉS (4. kötet 0. rész)}
{\sf 7.0. BEVEZETÉS A KOMBINATORIKAI ALGORITMUSOKHOZ}
\pagestyle{myheadings}
\setcounter{section}{-1}
\section{Bevezetés a kombinatorikai algoritmusokhoz \label{alfejezet70}}

\ldots  (lásd az \ref{gyak70-1}. gyakorlatot).
\begin{equation}
L_3 = 1; \quad \quad L_4 = 1 \ \mbox{és még 5 sor}  \label{keplet70-1}
\end{equation}
Micha\"el Krajecki, Jaillet, Bui \cite{Krajecki2005}\angolnevindex{Krajecki, Micha$\ddot{\textnormal{e}}$l}
\begin{equation} 
\mbox{ide ábra jön} \label{keplet70-2}
\end{equation}


A (\ref{keplet70-2})-beli elrendezés \ldots

\begin{equation}
2 \ 3 \ 4 \ 2 \ldots \label{keplet70-3}
\end{equation}
\begin{equation}
\{ \ldots \} \label{keplet70-4}
\end{equation}

\medskip
\noindent \textbf{Ortogonális latin négyzetek.} 
Ozanam \cite{Ozanam1725} 

Euler \cite{Euler1782}

\epskepnagy{\figdir/ch7a.30}{DISORDER -- HIBÁS ÁBRA.\label{abra70-1}}{width=4cm}

Schumacher \cite{Schumacher1842}

Tarry \cite{Tarry1901}

Petersen \cite{Petersen1902}

Wernicke \cite{Wernicke1910}

MacNeish \cite{MacNeish1922}

Bose, Shrikhande és Parker \cite{Bose1959,Bose1960}

Paige and Tompkins \cite{Paige1960}

Parker \cite{Parker1963}

\medskip
\noindent \textbf{Rejtvények és a valós világ.}

Palluel \cite{Palluel1788}

Skolem és Langford \cite{Skolem1958} \angolnevindex{Langford, Charles Dudley (1958 körül)}

Groth \cite{Groth1968}

Brewster \cite{Brewster1963}

Knuth \cite[169--183. oldal]{Knuth1996}

Homérosz\angolnevindex{Homer (i.e. 850 körül)} \cite{Homer850}

Tolsztoj \cite{Tolstoy1877}

Leonardo \cite{Leonardo1506}

\medskip
\noindent \textbf{Az angol nyelv ötbetûs szavai.}


Carroll \cite{Carroll1879}

Barnard \cite{Barnard1984}

\medskip
\noindent \textbf{Szógráfok.}

Gardner \cite[6. fejezet]{Gardner1996}

Cover \cite{Cover1992}

Stanley \cite{Stanley1986}

\medskip
\noindent \textbf{Gráfelmélet: az alapok.}

\epskepnagy{\figdir/ch7a.31}{Petersen graph -- HIBÁS ÁBRA.\label{abra70-2}}{width=4cm}

Petersen \cite{Petersen1898}

Chvátal \cite{Chvatal1970}


\medskip
\noindent \textbf{Utak és körök.}

Kirkman \cite{Kirkman1858}
  
Biggs, Lloyd, Wilson \cite{Biggs1998}

Polignac \cite{Polignac1899}

Steiner \cite{Steiner1835}

Heinen \cite{Heinen1834}
  
\medskip
\noindent \textbf{Színezés.}

Guthrie \cite{Guthrie1852}

Appel, Haken, Koch \cite{Appel1977}

Robertson \cite{Robertson1996}

Kõnig \cite{Konig1916}

{
\quoteformat
Mostantól \idez{irányított gráf} helyett mondjuk azt, hogy \idez{irgráf}
Világos, hogy ez rövid és találó.
\author PÓLYA GYÖRGY (1954) \textsl{Levél Frank Hararyhoz} \cite{Polya1954}
\angolnevindex{Pólya György (1897--1954)}
}


\setcounter{equation}{23}
\medskip
\noindent \textbf{Irányított gráfok.}
A 2.3.4.2. alpontban definiáltuk az \textit{irányított gráfok}\index{irányított gráf = 
directed graph}\index{irányított él = directed edge}  
fogalmát, amelyek nagyon hasonlítanak a gráfokhoz azt leszámítva, hogy élek helyett \textit{irányított élekkel} rendelkeznek. 
Az $u\rightarrow v$ irányított él az $u$ csúcsból a $v$ csúcsba fut, míg egy $u \adj v$
él azok megkülönböztetése nélkül köti össze az $u$ és $v$ csúcsot . 
Az irányított gráfok rendelkezhetnek még a csúcsokból önmagukba futó $v\rightarrow v$ hurkokkal, 
továbbá ugyanazon $u$ és $v$ csúcs között több $u\rightarrow v$ irányított él is futhat. 

Egy $n$-ed rendû $m$ méretû $D=(V,A)$ irányított gráf formálisan egy $n$ csúcsot tartalmazó
$V$ halmazból és egy $m$ rendezett $(u,v)$ párt tartalmazó $A$ multihalmazból áll, ahol
$u\in V$ és $v\in V$. A rendezett párokat irányított éleknek nevezzük, és 
$u\rightarrow v$ módon jelöljük, ha $(u,v)\in A$. Az irányított gráfot 
\textit{egyszerûnek}\inddef{egyszerû gráf = simple graph}\index{gráf = graph!egyszerû gráf = 
simple graph}\index{egyszerû gráf = simple graph \textit{lásd} gráf = graph} nevezzük, 
ha $A$ egyszerû- és nem multihalmaz, azaz ha minden $u$ és $v$ esetén legfeljebb 
egy $u\rightarrow v$ irányított él létezik. 
Minden $(u,v)$ irányított élnek $u$ a kezdõcsúcsa, $v$ pedig a 
végcsúcsa, amit az él \idez{hegyének} is nevezünk.
Egy $v$ csúcs $d^+(v)$ \textit{kifoka}\inddef{kifok = out-degree of a vertex} a csúcsból induló irányított élek száma,
míg annak $d^-(v)$ \textit{befoka}\inddef{befok = in-degree of a vertex} az oda beérkezõ, $v$ hegyû irányított élek száma. 
Egy 0 befokú csúcsot \idez{forrásnak}\inddef{source = forrás} nevezünk; egy 0 kifokú csúcsot pedig 
\idez{nyelõnek}.\inddef{nyelõ = sink} Vegyük észre, hogy $\sum_{v\in V}d^+(v)
=\sum_{v\in V}d^-(v)$, mivel mindkét összeg $m$-mel, az irányított élek teljes számával egyenlõ.

A gráfokhoz definiált fogalmak természetes módon átültethetõk irányított gráfokra
az \idez{irányított} jelzõ kitételével, amennyiben szükséges különbséget tenni az élek 
és irányított élek között. Így például az irányított gráfok irányított
részgráfjai lehetnek feszítõek, indukáltak vagy ezek egyike sem. 
Egy $D=(V,A)$ és $D'=(V',A')$ irányított gráf közötti izomorfizmus 
egy $V$-rõl $V'$-re ható kölcsönösen egyértelmû $\varphi$ leképezés,
amelyre a $D$-beli $u\rightarrow v$ irányított élek száma megegyezik 
a $D'$-beli $\varphi(u)\rightarrow\varphi(v)$ irányított élek számával minden $u,v\in V$ esetén.

Az irányított gráf ábrája egyszerû vonalak helyett nyilakat használ a csúcsok között.
A legegyszerûbb és legfontosabb $n$-ed rendû irányított gráfok a $K_n$, $P_n$ és $C_n$
gráfok irányított variánsai, vagyis 
a $K\orie_{\!n}$ \textit{tranzitív verseny},\inddef{tranzitív verseny = transitive tournament} 
a $P\orie_{\!n}$ \textit{irányított út}\inddef{irányított út = oriented path} és
a $C\orie_{\!n}$ \textit{irányított ciklus}.\inddef{irányított ciklus = oriented cycle} 
Ezek a gráfok vázlatosan a következõ ábrákkal rajzolhatók meg az $n=5$ esetben:
\begin{equation}\label{keplet7-24}
\epsfbox{\figdir/v4a.220}\ \;,\qquad \epsfbox{\figdir/v4a.221}\qquad ROSSZ 
\end{equation}
A $J_n$ {\it teljes irányított gráf} a legnagyobb $n$-ed rendû egyszerû irányított 
gráf. Ennek $n^2$ számú $u\rightarrow v$ éle van, $u$ és $v$  minden lehetséges 
kiválasztásához egy.

A \ref{abra7-3}. ábra egy valamivel bonyolultabb, 17-ed rendû irányított gráf
ábráját mutatja, amelyet \idez{expressz-irányítottnak} is nevezhetünk: ezt az irányított
gráfot írja le Hercule Poirot Agatha Christie\angolnevindex{Christie, Agatha (1870--1976)} 
{\sl Gyilkosság sz Orient expresszen} címû regényében \cite{Christie1934}. A csúcsok az 
Isztambul--Calais útvonalon közlekedõ kocsi fülkéit jelzik a történetben, 
egy $u\rightarrow v$ irányított él pedig azt, hogy az $u$ fülke lakója
megerõsíti a $v$ fülke lakójának alibijét. Ebben a példában hat összefüggõ
komponenst találunk, nevezetesen:
$\{0,1,3,6,8,12,13,14,15,16\}$,
$\{2\}$,
$\{4,5\}$,
$\{7\}$,
$\{9\}$ és
$\{10,11\}$,
mivel az irányított gráfbeli összefüggõség az irányított élek egyszerû élnek való
tekintésével adódik.

\epskepnagy{\figdir/ch7a.32}{Az Agatha Christie által kigondolt 17-ed rendû 18 méretû irányított gráf. (A DIGRAPH -- HIBÁS ÁBRA.)\label{abra7-3}
JELMAGYARÁZAT: 
0 Pierre Michel, a francia kalauz; 1 Hercule Poirot, a belga detektív; 2 Samuel Edward Ratchett, a halott amerikai; 3 Caroline Martha Hubbard, az amerikai matróna; 
4 Edward Henry Masterman, a brit komornyik; 5 Antonio Foscarelli, az olasz autókereskedõ; 6 Hector MacQueen, az amerikai titkárnõ; 
7 Harvey Harris, a rejtõzködõ angol; 8 Hildegarde Schmidt, a német hölgy szobalánya; 9 (üres); 10 Greta Ohlsson, a svéd ápolónõ; 
11 Mary Hermione Debenham, az angol nevelõnõ; 12 Helena Maria Andrenyi, a gyönyörû grófnõ; 
13 Rudolph Andrenyi, a magyar gróf; 14 Natalia Dragomiroff, az orosz özvegy hercegnõ; 
15 Colonel Arbuthnot, a brit hivatalnok Indiából;
16 Cyrus Bettman Hardman, az amerikai detektív}{width=2cm}



Két irányított él \textit{egymást követõ}, ha az elsõ hegye a második kezdõcsúcsa. 
Egymást követõ irányított élek $(a_1,a_2,\ldots,a_k)$ sorozatát $k$ hosszúságú \textit{sétának} nevezzük;
a séta jelölése a csúcsok, valamint az irányított élek feltüntetésével történik:
\begin{equation}\label{keplet7-25}
\let\to=\longrightarrow
v_0\;\buildrel a_1\over\to\;
  v_1\;\buildrel a_2\over\to\; v_2\;\cdots\;
  v_{k-1}\;\buildrel a_k\over\to\; v_k. 
\end{equation}
Egy egyszerû irányított gráfban elég csupán a csúcsokat megadni;
például $1\dadj0\dadj8\dadj14\dadj8\dadj3$ egy séta a \ref{abra7-3}. ábrán.
A (\ref{keplet7-25})-ben szereplõ séta
egy irányított út, ha a $\{v_0,v_1,\ldots,v_k\}$ csúcsok különbözõek;
a séta egy irányított kör, ha a csúcsok a $v_k=v_0$ esettõl eltekintve különbözõek.

Egy irányított gráfban a $d(u,v)$ irányított távolság az $u$-ból $v$-be vezetõ 
legrövidebb \textit{irányított} út irányított éleinek a száma, ami megegyezik
az $u$-ból $v$-be vezetõ legrövidebb séta hosszával. Ez eltérhet a $d(v,u)$
értékétõl, de a (\ref{keplet7-18})-beli háromszög-egyenlõtlenség érvényben marad.

Minden gráf felfogható irányított gráfként, mivel egy $u \adj v$
él lényegében ekvivalens az $u\rightarrow v$ és $v\rightarrow u$ irányított élpárral.
\index{élek mint irányított élek = edges as arcs}
Az így elõálló irányított gráf rendelkezik az eredeti gráf minden tulajdonságával; 
például a gráf minden csúcsának foka az irányított gráf csúcsának kifoka és egyben befoka is lesz.
Megmaradnak továbbá a távolságértékek is.

Egy $(V,E)$ {\it multigráf} hasonló egy gráfhoz attól eltekintve, hogy az $E$
élhalmaz $\{u,v\}$ párok tetszõleges {\it multihalmaza} lehet; 
meg vannak engedve csúcsokból önmagukba futó $v\adj v$ hurokélek is, amelyek 
$\{v,v\}$ \idez{multipároknak}\index{multipár = multipair} felelnek meg. Például 
\begin{equation}\label{keplet7-26}
\epsfbox{\figdir/v4a.221} ROSSZ \ ABRA
\end{equation}
egy 3-ad rendû 6 éllel rendelkezõ multigráf: \index{párhuzamos (ismételt) élek = parallel (repeated) edges}
$\{1,1\}$,
$\{1,2\}$,
$\{2,3\}$,
$\{2,3\}$,
$\{3,3\}$ és
$\{3,3\}$.
A példában szereplõ csúcsok fokai $d(1)=d(2)=3$ és $d(3)=6$,
mivel minden hurok 2-vel járul az adott csúcs fokához.
Egy $v \adj v$ hurokél {\it két} irányított $v\rightarrow v$ hurokélre bomlik,
\index{bevezetés a gráfelmélethez = introduction to graph theory} ha egy multigráfot
irányított gráfnak tekintünk. 

\medskip
\noindent \textbf{Gráfok és irányított gráfok ábrázolása.}
Minden irányított gráf, így a gráf és multigráf is teljes mértékben leírható 
az $A=(a_{uv})$ {\it szomszédsági mátrixával}, melynek $n$ sora\index{szomszédsági mátrix = adjacency matrix} 
és $n$ oszlopa van $n$ csúcs esetén. 
A mátrix $a_{uv}$ eleme az $u$-ból $v$-be vezetõ irányított élek számát adja meg. 
Így például a $K\orie_{\!3}$, $P\orie_{\!3}$, $C\orie_{\!3}$, $J_3$ és
(\label{keplet7-26}) szomszédsági mátrixai rendre
\begin{equation}\label{keplet7-27}
\def\\#1#2#3#4#5#6#7#8#9{\Bigl(\,\vcenter{\eightrm\baselineskip8pt
        \hbox{#1#2#3}\hbox{#4#5#6}\hbox{#7#8#9}}\,\Bigr)}
K\orie_{\!3}=\\011001000,\enspace
P\orie_{\!3}=\\010001000,\enspace
C\orie_{\!3}=\\010001100,\enspace
J_3=\\111111111,\enspace
  A=\\210102024\koz.
\end{equation}

A mátrixelmélet hatékony matematikai eszközei lehetõvé teszik számos nem triviális 
gráfelméleti eredmény bizonyítását a szomszédsági mátrixok vizsgálatának segítségével;
a \ref{gyak7-65}. gyakorlat egy különösen frappáns példát mutat erre.
Ennek egyik fõ magyarázata, hogy a mátrixszorzásnak egy egyszerû interpretációja
létezik az irányított gráfok elméletében. Tekintsük az $A$ mátrix második hatványát, melynek
$u.$ sorában és $v.$ oszlopában álló eleme definíció szerint
\begin{equation}\label{keplet7-28}
(A^2)_{uv}\;=\;\sum_{w\in V} a_{uw}a_{wv}\koz.
\end{equation}
Mivel $a_{uw}$ az $u$-ból $v$-be futó élek száma, látható, hogy
$a_{uw}a_{wv}$ az $u\rightarrow w\rightarrow v$ alakú séták száma.
Vagyis $(A^2)_{uv}$ az $u$-ból $v$-be vezetõ, 2 hosszúságú összes séta száma.
Hasonlóan, $A^k$ elemei megadják az összes $k$ hosszúságú séta
számát csúcsok bármely rendezett párjai között minden $k\ge 0$ esetén. 
Például a (\ref{keplet7-27})-ben szereplõ $A$ mátrixra
\begin{equation}\label{keplet7-29}
\def\\#1#2#3#4#5#6#7#8#9{\Bigl(\,\vcenter{\eightrm\baselineskip8pt
     \halign{\hbox to1em{\hfil##\hfil}&&\kern3pt\hbox to1em{\hfil##\hfil}\cr
              #1&#2&#3\cr #4&#5&#6\cr #7&#8&#9\cr}}\,\Bigr)}
  A=\\210102024,\qquad
  A^2=\\52225828{20},\qquad
  A^3=\\{12}9{12}9{18}{42}{12}{42}{96}\koz;
\end{equation}
12 darab 3 hosszúságú séta vezet a \label{keplet7-26} multigráf 1. csúcsából a 3. csúcsába,
valamint 18 séta a 2. csúcsból önmagába.

A csúcsok átrendezése az $A$ szomszédsági mátrixot 
$P^-\!AP$-re módosítja, ahol $P$ egy permutációs mátrix (egy $0$--1 mátrix, melynek
minden sorában és oszlopában pontosan egy 1-es áll), $P^-=P^T$ pedig az inverz permutáció
mátrixa. Azaz
\begin{equation}
\def\\#1#2#3#4#5#6#7#8#9{\Bigl(\,\vcenter{\eightrm\baselineskip8pt
        \hbox{#1#2#3}\hbox{#4#5#6}\hbox{#7#8#9}}\,\Bigr)}
\\210102024,\quad
\\201042120,\quad
\\012120204,\quad
\\021240102,\quad
\\402021210\quad\hbox{és}\quad
\\420201012\label{keplet7-30}
\end{equation}
mindegyike a (\label{keplet7-26}) szomszédsági mátrixai, továbbiak pedig nincsenek.

Több, mint $2^{n(n-1)/2}\!/n!$ darab $n$-ed rendû gráf létezik, ha $n>1$,
és ezek majdnem mindegyike esetén $\Omega(n^2)$ adatbitre van szükség a 
a leggazdaságosabb kódoláshoz. Ennek értelmében, az összes lehetséges gráf 
döntõ többségénél a számítógépen való reprezentációjukhoz -- 
a memóriaigényt tekintve -- azok szomszédsági mátrixait célszerû használni. 

A gyakorlati problémák során felmerülõ gráfok azonban
merõben eltérhetnek az összes lehetséges gráf közül véletlenszerûen kiválasztottaktól.
Egy valós probléma gráfja általában \idez{ritka}, vagyis $\Omega(n^2)$helyett csak $O(n\lg n)$ 
élt tartalmaz, kivéve ha $n$ kicsi, mivel $\Omega(n^2)$ bitnyi adatot nehéz generálni.
Tegyük fel például, hogy a csúcsok embereket, míg az élek barátságokat jelölnek.
5 milliárd embert tekintve keveseknek lesz 10000-nél több barátja. De még ha mindenkinek 
átlagosan 10000 barátja lenne is, a gráfnak csak $2.5\times 10^{13}$ éle lenne, miközben majdnem 
minden 5 milliárd csúcsú gráfnak körülbelül $6.25\times 10^{18}$ éle van.

Vagyis egy gráf számítógépen való reprezentációjának legjobb módja 
általában eltér az $n^2$ darab $a_{uv}$ érték szomszédsági mátrixelemként való tárolásától.
Helyette, a Stanford GraphBase algoritmusok olyan adatstruktúrával lettek kifejlesztve, amely a 2.2.6. 
pontban tárgyalt ritka mátrixok láncolt reprezentációjával rokon, bár annál valamivel egyszerûbb. 
Ez a megközelítés nem csak sokoldalúnak és hatékonynak, hanem könnyen felhasználhatónak 
is bizonyult.

Egy irányított gráf SGB reprezentációja egy soros és egy láncolt foglalás kombinálása
csomópontok két alaposztályának felhasználásával.
Egyes csomópontok csúcsokat, mások éleket reprezentálnak. 
(Létezik egy harmadik típusú csomópont is, ami a teljes gráfot reprezentálja olyan
algoritmusok számára, amelyek egyszerre több gráffal dolgoznak. Minden gráfhoz azonban csak 
egy gráf csomópontra van szükség, így a csúcs és él csomópontok vannak túlsúlyban.)

A mûködési elv a következõ: minden $n$-ed rendû és $m$ méretû SGB irányított gráf
$n$ csúcs csomópont egy soros tömbjére épül, egyszerûvé téve így a $k.$ csúcs elérését,
ahol $0\le k<n$. Ezzel szemben, az $m$ irányított él csomópont egy általános,
alapvetõen strukturálatlan memóriaterületen keresztül kapcsolódik egymáshoz.
Minden csúcs csomópont tipikusan 32 bájtot foglal 
és minden irányított él csomópont 20 bájtot (a gráf csomópont pedig 220 bájtot); 
de a csomópontok mérete egyszerûen módosítható.
\index{csomópont mérete = node size}
A csomópontok néhány mezõjének rögzített, egyértelmû jelentése van minden esetben;
a kimaradó mezõk különbözõ célokra használhatóak a különbözõ algoritmusokban vagy
egy adott algoritmus különbözõ fázisaiban. Egy csomópont rögzített célú
részeit \idez{szabványos mezõknek}, a többcélú mezõit pedig \idez{segédmezõknek} nevezzük.

Minden csúcs csomópontnak van egy \texttt{NÉV} és egy 
\texttt{IRÁNYÍTOTT-ÉLEK} nevû szabványos mezõje. Ha $v$ egy csúcs csomópontra mutató változó, 
{\it csúcs változónak} nevezzük. Ekkor a 
NÉV($v$) egy olyan karakterfüzérre mutat, ami a megfelelõ csúcsokat emberi 
szemlélet szerint azonosítja; például a (\ref{keplet7-17}) gráf 49 csúcsa a 
CA, WA, OR, \dots, RI nevekkel van ellátva.
A másik szabványos mezõ, az \texttt{IRÁNYÍTOTT-ÉLEK}, sokkal fontosabb az algoritmusokban: 
egy irányított él csomópontra mutat, ami egy olyan $d^+(v)$ hosszúságú egyszerû 
láncolt lista elsõ eleme, ahol a $v$ csúcsból kiinduló minden irányított élhez egy csomópont tartozik.

Minden irányított él csomópontnak van egy \texttt{HEGY} és egy \texttt{KÖVETKEZÕ} nevû szabványos mezõje;
egy irányított él csomópontra mutató $a$ változót {\it irányított él változónak} nevezünk.
A \texttt{HEGY}($a$) az $a$ irányított él hegyét reprezentáló csúcs csomópontra mutat;
a \texttt{KÖVETKEZÕ}($a$) arra az irányított él csomópontra mutat, amely a következõ irányított
él csomópontot reprezentálja, melynek kezdõcsúcsa az $a$-éval megegyezik.

Egy 0 kifokú $v$ csúcs az \texttt{IRÁNYÍTOTT-ÉLEK}($v$)= $\Lambda$ (az üres mutató) módon reprezentálható. 
Más esetben, ha például a kifok 3, az adatstruktúra három irányított él csomópontot tartalmaz, ahol
\texttt{IRÁNYÍTOTT-ÉLEK}($v$)=$a_1$, \texttt{KÖVETKEZÕ}($a_1$)=$a_2$,
\texttt{KÖVETKEZÕ}($a_2$)=$a_3$, és \texttt{KÖVETKEZÕ}($a_3$)=$\Lambda$; és a három irányított él $v$-bõl
\texttt{HEGY}($a_1$), \texttt{HEGY}($a_2$), \texttt{HEGY}($a_3$)-ba vezet.

Tegyük fel például, hogy ki akarjuk számolni a $v$ csúcs kifokát,
és letárolni azt egy \texttt{KIFOK} nevû segédmezõben. Ez könnyû:
\begin{equation}\label{7-31}
\vcenter{\halign{#\hfil\cr
Legyen $a\leftarrow$\texttt{IRÁNYÍTOTT-ÉLEK}($v$) és $d\leftarrow 0$\koz.\cr
Mialatt $a\ne\Lambda$, legyen $d\leftarrow d+1$ és $a\leftarrow$ \texttt{KÖVETKEZÕ}($a$)\koz.\cr
Legyen \texttt{KIFOK}($v$)$\leftarrow d$\koz.\cr}}
\end{equation}

Ha egy gráfot vagy multigráfot a fent tárgyalt módon irányított gráfnak 
tekintünk\index{\texttt{TÁRS} (az ellentétes irányú él) = \texttt{MATE} (the converse edge)}, 
annak minden $u \join v$ éle két, $u\rightarrow v$ és $v\rightarrow u$ éllel ekvivalens. 
Ezeket az irányított éleket \idez{társaknak} nevezzük; két irányított él csomópontot, például
az $a$-t és $a'$-t tartalmazzák, ahol az $a$ az $u$-ból induló irányított élek, míg
az $a'$ a $v$-bõl induló irányított élek listáján szerepel. Ekkor\index{társ = mate}
\texttt{HEGY}($a$) = $v$ és \texttt{HEGY}($a'$) = $u$. Használjuk a
\begin{equation}\label{keplet7-32}
\texttt{TÁRS}\texttt{TÁRS}(a)=a'\qquad\hbox{és}\qquad\texttt{TÁRS}(a')=a\koz,
\end{equation}
jelölést is olyan algoritmusokban, amelyek gyorsan át akarnak lépni egyik listáról a másikra. 
Általában nem szükséges azonban tárolnunk egy explicit mutatót egy irányított élrõl annak társára,
illetve egy \texttt{TÁRS} segédmezõt használnunk minden irányított él csomóponton belül,
mivel egy okosan megtervezett adatstruktúra esetén a szükséges kapcsolat 
\textit{implicit} módon is levezethetõ.

Az implicit társ trükkje a következõképpen mûködik: egy nem irányított gráf vagy
multigráf $u - v$ éleinek létrehozásakor {\it egymást követõ} irányított él csomópontokat
vezetünk be $u\rightarrow v$-re és $v\rightarrow u$-ra. Ha például minden irányított él csomópont
20 bájton van tárolva, akkor minden új párra 40 egymást követõ bájtot foglalunk le.
Az elsõ bájt memóriacímét 8 többszöröseként állítsuk be. Ha ekkor az $a$ irányított él csomópont 
az $\alpha$ memóriacímen található,
akkor a társának a címe \index{bitszintû ÉS = bitwise AND}
\begin{equation}\label{keplet7-33}
\advance\abovedisplayskip-1pt
  \advance\belowdisplayskip-1pt
\Bigl\{\,\vcenter{\halign{$#\hfil$&\quad#\hfil\cr
\alpha+20,&ha $\alpha\mod8=0$\cr
\alpha-20,&ha $\alpha\mod8=4$\cr}}\,\Bigr\}\;=\;
%\alpha-20+\bigl(40\band((\alpha\band 4)-1)\bigr)\koz.
\alpha-20+\bigl(40 \ \& \ ((\alpha \ \& \ 4)-1)\bigr)\koz.
\end{equation}

Az ilyen trükkök nagyon hasznosak olyan kombinatorikus problémákban, ahol
mûveletek trillióit kell végrehajtani, mivel ilyenkor a mûveletenkénti 3,6 nanomásodpercnyi 
megtakarítással a teljes számítás egy órával korábban véget ér. A (\ref{keplet7-33})
összefüggés azonban közvetlenül nem \idez{vihetõ át} az egyik implementációról a másikra. 
Ha például egy irányított gráf csomópont mérete 20-ról 24-re változik, 
akkor a (\ref{keplet7-33})-beli 40, 20, 8 és 4 értékeket 48, 24, 16 és 8-ra kell módosítanunk.

A könyv algoritmusai nem tételeznek fel semmit a csomópontok méretérõl.
Ehelyett a C\index{C programozási nyelv = C language} programnyelv és annak leszármazottjai konvencióit
tekintjük, vagyis ha $a$ egy irányított él csomópontra mutat, akkor `$a+1$' 
a memóriában ezt követõ irányított él csomópontra vonatkozó mutatót jelöli.  
Általában\index{\texttt{HELY} = \texttt{LOC}}
\begin{equation}
\texttt{HELY}(\texttt{CSOMÓPONT}(a+k))\;=\;\texttt{HELY}(\texttt{CSOMÓPONT}(a))+kc\koz,\label{keplet7-34}
\end{equation}
ha minden irányított él csomópontban $c$ bájt van. Hasonlóan, ha $v$ egy csúcs változó, `$v+k$' 
jelöli a $v$-t követõ $k.$ csúcs csomópontot;
a csomópont tényleges memóriacíme $v$ plusz $k$-szor egy csúcs csomópont mérete lesz.

Egy $g$ gráf csomópont szabványos mezõi tartalmazzák az irányított élek \texttt{M}($g$)
teljes számát; a csúcsok \texttt{N}($g$) teljes számát; a csúcs csomópontok soros listájának 
elsõ csúcs csomópontjára mutató \texttt{CSÚCSOK}($g$) mutatót; 
a gráf \texttt{ID}($g$) azonosítóját, ami például egy \texttt{szavak}(5757,0,0,0)
alakú karakterfüzér; továbbá bizonyos egyéb mezõket a memória lefoglalásához és
újrahasznosításához a gráf növekedésekor vagy zsugorodásakor, vagy 
egy gráf külsõ formátumba való exportálásához, ami lehetõvé teszi
a hozzáférést más felhasználók és gráfkezelõ rendszerek számára.
Ezekre a gráf csomópont mezõkre azonban ritkán kell majd hivatkoznunk, 
és itt nem lesz szükség az SGB formátum egy teljes leírásának megadására sem, 
mivel a fejezet majdnem minden gráfalgoritmusát a magyar nyelv egy meglehetõsen absztrakt
szintjén fogjuk leírni, ahelyett, hogy lehatolnánk a számítógépes programok
bitszintû nyelvezetéhez.\index{irányított gráf = directed graph}

\medskip
\noindent \textbf{Egy egyszerû gráfalgoritmus.}
Egy késõbb megjelenõ közepes-/magasszintû algoritmus szemléltetéseképpen
alakítsuk át a B tétel bizonyítását egy lépésrõl lépésre haladó
eljárássá, ami két színnel színezi egy adott gráf csúcsait, amennyiben az illetõ gráf páros.

\noindent \textbf{B algoritmus} (\textit{párosság tesztelése}).
Egy SGB alakkal reprezentált gráf esetén\index{párosság tesztelése = bipartiteness testing}
vagy egy 2-színezést készít, ahol \texttt{SZÍN}$(v)\in\{0,1\}$ minden $v$ csúcsra, vagy
sikertelenül befejezõdik, amennyiben nem lehetséges érvényes 2-színezés.
Itt a \texttt{SZÍN} egy segédmezõ minden csúcs csomópontban.
Egy másik, a \texttt{LÁNC($v$)} csúcs segédmezõ egy csúcs mutató az összes olyan színezett csúcs
egy vermének kezelésére, amelyek szomszédait még nem vizsgáltuk meg. 
Ennek a veremnek a tetejére egy $s$ csúcs változó mutat.
Az algoritmus használja még az $u$, $v$, $w$ változókat a csúcsokra, illetve
az $a$-t az irányított élekre. A csúcs csomópontokról feltehetõ, hogy $v_0+k$ minden 
$0\le k<n$ esetén.\index{irányított él változó = arc variable}

\algbegin B algoritmus\label{alg7-B} (párosság tesztelése). 

\algindentset{B1}
\algstep B1. (Kezdõértékek beállítása.) Legyen \texttt{SZÍN}$(v_0+k)\leftarrow -1$ minden $0\le k<n$-re.
(Most az összes csúcs színezetlen.) Legyen $w\leftarrow v_0+n$.

\algstep B2. (Kész?) (Ezen a ponton minden $\ge w$ csúcs már színezett,
így az összes színezett csúcs szomszédja is.) Szakítsuk meg sikeresen az algoritmust, ha 
$w=v_0$. Egyébként legyen $w\leftarrow w-1$, a következõ alacsonyabb indexû csúcs csomópont.

\algstep B3. ($w$ színezése, ha szükséges.) Ha \texttt{SZÍN}$(w)\ge0$, lépjünk
vissza a B2-re. Egyébként legyen \texttt{SZÍN}$(w)\leftarrow 0$, \texttt{LÁNC}$(w)\leftarrow \Lambda$
és $s\leftarrow w$.

\algstep B4. (Verem${}\Rightarrow u$.) Legyen $u\leftarrow s$, $s\leftarrow \texttt{LÁNC}(s)$,
$a\leftarrow\texttt{IRÁNYÍTOTT-ÉL}(u)$. (Megvizsgáljuk a színezett $u$ csúcs minden szomszédját.)

\algstep B5. ($u$ kész?) Ha $a=\Lambda$, lépjünk a B8-ra. Egyébként legyen 
$v\leftarrow \texttt{HEGY}(a)$.

\algstep B6. ($v$ feldolgozása.) Ha $\texttt{SZÍN}(v)<0$, legyen $\texttt{SZÍN}($v$)\leftarrow
1-\texttt{SZÍN}(u)$, $\texttt{LÁNC}(v)\leftarrow s$, és $s\leftarrow v$.
Egyébként, ha $\texttt{SZÍN}(v)=\texttt{SZÍN}(u)$, fejezzük be sikertelenül az algoritmust.

\algstep B7. (Ciklus $a$-ra.) Legyen $a\leftarrow\texttt{KÖVETKEZÕ}(a)$, és lépjünk vissza B5-re.

\algstep B8. (A verem nem üres?) Ha $s\ne\Lambda$, lépjünk vissza B4-re. Egyébként lépjünk B2-re.\quad\slug

\smallskip\noindent
Ez az algoritmus egy variánsa a \idez{mélységi bejárás} nevû általános gráfbejáró algoritmusnak,
amelyet majd a 7.4.1. pontban tárgyalunk részletesen. 
Ennek $m$ irányított él és $n$ csúcs esetén a futási ideje $O(m+n)$
(lásd a \ref{gyak7-70}. gyakorlatot); vagyis jól alkalmazható a szokásos ritka gráfok esetére. 
Kisebb módosításokkal sikertelen befejezõdés esetén egy páratlan hosszúságú 
kört is létrehozhatunk kimenetként, ezzel bizonyítva a 2-színezés lehetetlenségét
(lásd a \ref{gyak7-72}. gyakorlatot).\index{irányított él = arc}

\medskip
\noindent \textbf{Példák gráfokra.}
A Stanford GraphBase\index{Stanford GraphBase = Stanford GraphBase}
több, mint három tucat generáló eljárás egy könyvárát tartalmazza, amelynek 
segítségével gráfok és irányított gráfok számos variánsa elkészíthetõ kísérleti céllal.
A \textit{szavakról} már beszéltünk; tekintsünk át most néhány további elemet
a lehetõségek megismerésének céljából.

\smallskip$\bullet$
{\it roget}$(1022,0,0,0)$ egy irányított gráf 1022 csúccsal és
5075 irányított éllel. A csúcsok szavak és fogalmak kategóriáit reprezentálják, 
amelyeket Roget\angolnevindex{Roget, Peter Mark (1779--1869)} \cite{Roget1879} vezetett be 
híres XIX. századbeli mûvében. Az irányított élek a kategóriák
közötti könyvben fellelhetõ kereszthivatkozások. Tipikus irányított élek például:
$\texttt{water (víz)}\rightarrow\texttt{moisture (nedvesség)}$,
$\texttt{discovery (felfedezés)}\rightarrow\texttt{truth (igazság)}$, 
$\texttt{preparation (elõkészítés)}\rightarrow\texttt{lear-}$ $\texttt{ning (tanulás)}$,
$\texttt{vulgarity (közönségesség)}\rightarrow\texttt{ugliness (rútság)}$,
$\texttt{wit (szelle-}$ $\texttt{messég)}\rightarrow\texttt{amusement (szórakozás)}$.

\smallskip$\bullet$
{\it könyv}$(\texttt{"jean"},80,0,1,356,0,0,0)$ egy gráf 80 csúccsal és
254 éllel. A csúcsok Victor Hugo \cite{Hugo1862}
{\sl Nyomorultak} címû regényének szereplõit reprezentálják; az élek azokat a szereplõket kötik
össze, akik találkoznak egymással. Tipikus élek:
$\texttt{Fantine} \adj \texttt{Javert}$, \
$\texttt{Cosette} \adj \allowbreak \texttt{Th\'enardier}$.

\smallskip$\bullet$
{\it páros\_könyv}$(\texttt{"jean"},80,0,1,356,0,0,0)$ egy páros gráf
$80+356$ csúccsal és 727 éllel. A csúcsok a {\sl Nyomorultak} szereplõit
vagy fejezeteit reprezentálják; az élek a szereplõket azokkal a fejezetekkel 
kötik össze, amelyekben megjelennek (például
$\texttt{Napoleon} \adj \texttt{2.1.8}$, \
$\texttt{Marius} \adj \texttt{4.14.4}$).

\smallskip$\bullet$
{\it sík\_mérföldek}$(128,0,0,0,1,0,0)$ egy síkgráf 
129 csúccsal és 381 éllel. A csúcsok az Egyesült Államok és Kanada 128 városát reprezentálják, 
plusz egy speciális \texttt{INF} csúcsot a \idez{végtelen távoli pont} csúcshoz.
Az élek a városok úgy nevezett {\it Delaunay felbontását} definiálják
a síkon a szélességi és hosszúsági koordináták alapján; 
ez azt jelenti, hogy $u \adj v$ pontosan akkor, ha az $u$-n és $v$-n áthaladó legkisebb
kör belseje nem tartalmaz más csúcsot. 
További élek futnak az \texttt{INF} és minden olyan csúcs között, amelyek 
az összes város helyének konvex burkán helyezkednek el.
Tipikus élek:
$\texttt{Seattle, WA} \adj \texttt{Vancouver, BC} \adj \texttt{INF}$; \ 
$\texttt{Toronto, ON} \adj \texttt{Rochester, NY}$.

\smallskip$\bullet$
{\it sík\_lisa}$(360,250,15,0,360,0,250,0,0,2295000)$ egy síkgráf 3027 csúccsal és 
5967 éllel. Ez a gráf Leonardo da Vinci \cite{Leonardo1506} {\sl Mona Lisa} címû
festményének digitalizált képével kapható meg, amelynek 360 sora és 250 oszlopa van,
továbbá a képpontok intenzitásaihoz a szürke 16 árnyalatát használjuk 0 (fekete) és 15 (fehér)
között. Az eredményül kapott 3027 vízszintesen/függõlegesen összefüggõ 
konstans intenzitású tartomány szomszédosnak tekintendõ, ha van közös határpontjuk. 
(Lásd a 4.7. ábrát.)

\begin{figure}[t!]
\begin{center}
\resizebox{6cm}{!}{\includegraphics{lisa16}} 
\end{center}
\caption{A {\sl Mona Lisa} egy digitális változata és annak egy kinagyított részlete
(messzebbrõl nézve jobban látható).}
\end{figure}

\smallskip$\bullet$
{\it páros\_lisa}$(360,250,0,360,0,250,8192,0)$ egy páros gráf 
$360+250=610$ csúccsal és 40923 éllel. Ez szintén Leonardo híres festményébõl származtatható, 
ezúttal azokat a sorokat és oszlopokat összekötve,
amelyekben az intenzitás legalább $1/8$. Ilyen például 
a közvetlenül Lisa\index{Gherardini, Lisa = Gherardini, Lisa} \idez{mosolyának} közepén 
megjelenõ  $\texttt{r102} \adj \texttt{c113}$ él.

\smallskip$\bullet$
{\it raman}$(31,23,3,1)$ egy, az elõzõ példákban szereplõ SGB gráfoktól eltérõ típusú
gráf. A nyelvhez, irodalomhoz vagy az emberi kultúra más eleméhez való
kötõdés helyett, ez egy úgy nevezett \idez{Ramanujan kiterjesztõ gráf}, ami szigorú matematikai 
elveken alapul. Mind a $(23^3-23)/2=6072$ csúcsa 32 fokszámú; 
azaz \index{reguláris gráf = regular graph} 97152 éle van. 
A csúcsok olyan $2\times 2$-es mátrixok ekvivalenciaosztályaira vonatkoznak, amelyek nem szingulárisak
modulo 23; egy tipikus él a $\texttt{(2,7;1,1)} \adj \texttt{(4,6;1,3)}$. 
A Ramanujan-gráfok fõleg azért fontosak, mivel szokatlanul nagy kerületük és kis 
átmérõjük van a méretükhöz és fokszámukhoz képest. A példagráfnak 4 a kerülete és 4 az átmérõje.

\smallskip$\bullet$
{\it raman}$(5,37,4,1)$, hasonlóan az elõzõhöz, egy 6-od fokú reguláris gráf 
50616 csúccsal és 151848 éllel. A kerülete 10, az átmérõje 10 és szintén páros gráf.

\smallskip$\bullet$
{\it véletlen\_gráf}$(1000,5000,0,0,0,0,0,0,0,s)$ egy gráf 1000 csúccsal, 5000 éllel és $s$ maggal.
Ennek \idez{megalkotása} élek nélkül kezdõdik,
miután ismétlõdõen pszeudo-véletlen csúcsindexeket választunk $0\le u,v<1000$ szerint,
és felvesszük az $u - v$ élt, hacsak $u=v$ nem teljesül, vagy az él már jelen van.
Ha $s=0$, akkor a 908-as izolált csúcs kivételével minden csúcs egy 999-ed rendû óriás komponenshez tartozik.

\smallskip$\bullet$
{\it véletlen\_gráf}$(1000,5000,0,0,1,0,0,0,0,0)$ egy hasonló módon kialakuló irányított gráf 
1000 csúccsal és 5000 irányított éllel.
(Valójában minden irányított éle egyúttal a\index{irányított gráf, véletlen = digraph, random}
{\it véletlen\_gráf}$(1000,5000,0,0,0,0,0,0,0,0)$ gráfnak is része.)

\smallskip$\bullet$
{\it részhalmazok}$(5,1,-10,0,0,0,\Hex1,0)$ egy gráf 
${11\choose5}=462$ csúccsal, a $\{0,1,\ldots,10\}$ minden öt elemû
részhalmazához eggyel. Két csúcs szomszédos, ha a megfelelõ részhalmazok diszjunktak; vagyis, a gráf reguláris 
6-odfokú 1386 éllel. Felfoghatjuk úgy is, mint a Petersen-gráf egy általánosítását, 
amelynek SGB neve {\it részhalmazok}$(2,1,-4,0,0,0,\Hex1,0)$.

\smallskip$\bullet$
{\it részhalmazok}$(5,1,-10,0,0,0,\Hex{10},0)$ gráfnak ugyanaz a 
462 csúcsa van, de ezek most akkor szomszédosak, ha 
a megfelelõ részhalmazoknak négy közös eleme van. Ez egy
reguláris 30-ad fokú gráf 6930 éllel.

\smallskip$\bullet$
{\it részek}$(30,10,30,0)$ egy másik matematikai alapú gráf. 
3590 csúcsa van, minden 30 elem legfeljebb 10 osztályba való felosztásához egy. 
Két felosztás szomszédos, ha az egyik a másik egy részének továbbosztásából származik; 
ez a szabály 31377 élt definiál. A {\it részek}$(30,10,30,1)$ irányított gráf hasonló, de ennek 31377, a rövidebb 
felosztásoktól a hosszabbak felé mutató irányított éle van (például
$\texttt{13+7+7+3}\rightarrow\texttt{7+7+7+6+3}$).

\smallskip$\bullet$
{\it szimplex}$(10,10,10,10,10,0,0)$ egy gráf 286 csúccsal és
1320 éllel. A csúcsai az $x_1+x_2+x_3+x_4=10$ $(x_i\ge 0)$ egyenlet egész megoldásai,
azaz a \idez{10 négy nemnegatív egész összegére bontása}; a csúcsok egy tetraéder
belsejébe esõ pontok baricentrikus koordinátáinak is tekinthetõk.
Az élek, mint például a $\texttt{3,1,4,2} - \texttt{3,0,4,3}$, az egymáshoz lehetõ
legközelebb esõ felosztásokat kötik össze.

\smallskip$\bullet$
{\it tábla}$(8,8,0,0,5,0,0)$, illetve {\it tábla}$(8,8,0,0,-2,0,0)$ olyan 64
csúcsú gráfok, amelyek 168, illetve 280 élei a sakkjáték huszárjának, illetve 
futójának lehetséges lépéseihez tartoznak.


\smallskip\noindent
Az SGB gráfgenerátorok paramétereinek variálásával tömérdek további példa nyerhetõ.
A \ref{abra7-5}. ábra\index{háromszögháló = triangular grid} például a \textit{tábla} és a \textit{szimplex} két 
egyszerû variánsát mutatja; a \textit{tábla} valamelyest rejtett szabályait a \ref{gyak7-75}. gyakorlat tárja fel.

\epskepnagy{\figdir/ch7a.35}{SAMPLES -- HIBÁS ÁBRA. \textit{tábla}$(6,9,0,0,5,0,0)$; 
(Huszárlépések egy $6\times 9$-es sakktáblán); \textit{szimplex}$(10,8,7,6,0,0,0)$; 
 (Egy csonkolt háromszögháló). \label{abra7-5}}{width=4cm}
 
\medskip
\noindent \textbf{Gráfalgebra.}
Új gráfokat mûveletek\index{gráfalgebra = graphs, algebra of graphs} már meglévõ gráfokon való 
végrehajtásával is nyerhetünk.
Ha például $G=(V,E)$ egy tetszõleges gráf, annak $\overline G=(V,\overline E)$ {\it komplementere} az
\begin{equation}
\hbox{$u \adj v$ a $\overline G$-ben}\qquad\iff\qquad
  \hbox{$u\neq v$ a $u \nadj v$ $G$-ben}\label{keplet7-35}
\end{equation}
módon nyerhetõ.
Vagyis a nem-élek élekké válnak, és fordítva. Vegyük észre, hogy 
$\overline{\overline G}=G$\index{nullgráf = null graph}, és a 
$\overline{K_n}$ gráfnak nincsenek élei.
A kapcsolódó $A$ és $\overline A$ szomszédsági mátrixokra
\begin{equation}\label{keplet7-36}
A+\overline A = J-I
\end{equation}
teljesül, ahol $J$ a csupa 1-esekbõl álló mátrix, $I$ az egységmátrix,
vagyis $J$, illetve $J-I$ a $J_n$, illetve $K_n$ szomszédsági mátrixai $n$-ed rendû
$G$ esetén.

Továbbá, minden $G=(V,E)$ gráf egy $L(G)$ \textit{vonalgráfhoz}\index{vonalgráf = 
line graph}\index{gráf = graph!vonalgráf = line graph} vezet,
amelynek csúcsai az $E$ élek; két él szomszédos $L(G)$-ben, ha van közös
csúcsuk. Így például az $L(K_n)$ vonalgráfnak $\binom{n}{2}$ csúcsa van,
és reguláris $2n-4$-ed fokú, ha $n\ge 2$ (lásd a \ref{gyak7-82}. gyakorlatot).
Egy gráf \textit{k-él-színezhetõ},\index{káél@$k$-élszínezhetõ gráf = $k$-edge colorable} ha a vonalgráfja $k$-színezhetõ.

Adott $G=(U,E)$ és $H=(V,F)$ gráf esetén azok $G\cup H$ \textit{uniója}
az az $(U\cup V,E\cup F)$ gráf, amelyet a csúcsok és élek egyesítésével
kapunk. Tegyük fel például, hogy a $G$, illetve a $H$ gráf a sakkjáték
bástya-, illetve futólépésének megfelelõ gráf; ekkor $G\cup H$ a vezérlépésnek
megfelelõ gráf, amelynek hivatalos SGB neve\index{tábla = board}\index{gunió = gunion}
\begin{equation}
\hbox{\it gunió}(\hbox{\it tábla}(8,8,0,0,-1,0,0),
\hbox{\it tábla}(8,8,0,0,-2,0,0),0,0)\koz.\label{keplet7-37}
\end{equation}

Abban a speciális esetben, amikor a csúcsok $U$ és $V$ halmazai diszjunktak,
a $G\cup H$ unió nem követeli meg a csúcsok bármilyen szokásos kereszthivatkozásán 
keresztüli azonosítását;
a $G\cup H$ ábráját egyszerûen megkaphatjuk a $G$, majd a $H$ ábrájának megrajzolásával. 
Ezt a speciális esetet \idez{határosságnak} vagy a $G$ és a $H$
\textit{direkt összegének}\inddef{direkt összeg = direct sum} nevezzük, és $G\dirsum H$-val fogjuk jelölni. 
Könnyen látható például, hogy
\begin{equation} 
K_m\dirsum K_n \cong \overline{K^{\vphantom y}_{m,n}}\koz,\label{keplet7-38)}
\end{equation}
és hogy minden gráf az összefüggõ komponenseinek direkt összege.

A (\ref{keplet7-38}) egyenlet speciális esete a 
\begin{equation}
K_{n_1}\dirsum K_{n_2}\dirsum\cdots\dirsum K_{n_k} \cong
\overline{K^{\vphantom y}_{n_1,n_2,\ldots,n_k}}\label{keplet7-39}
\end{equation}
összefüggésnek, ami teljes $k$-paritású gráfokra teljesül, ha $k \ge 2$.
(\ref{keplet7-39}) viszont $k=1$-re egy botrányos tény miatt nem áll fenn:
a teljes gráfok szabványos gráfelméleti jelölése nem konzisztens. 
Valóban, $K_{m,n}$ egy teljes 2-paritású gráfot jelöl, viszont $K_n$ \textit{nem} jelöl egy teljes 1 paritású 
gráfot. A gráfelméleti szakemberek valahogyan már évtizedek óta együtt tudnak élni ezzel az anomáliával
anélkül, hogy belebolondulnának.

A $G$ és $H$ diszjunkt gráfok kombinálásának egy másik fontos módja 
azok $G\join H$ {\it egyesítésének} elkészítése, ami $G\dirsum H$-ból valamint
az összes $u - v$ élbõl áll, ahol $u\in U$ és $v\in V$ 
{lásd Zykov\angolnevindex{Zykov, Alekszander Alekszandrovics ({\rus Zykov, Aleksandr Aleksandrovich})} cikkét \cite{Zykov1949}}. 
Továbbá, ha $G$ és $H$ diszjunkt {\it irányított gráfok}, a $G\rightarrow H$
\textit{irányított egyesítésük} hasonló, ami azonban a $G\dirsum H$-t csak az 
$U$-ból $V$-be tartó $u\rightarrow v$ egyirányú élekkel egészíti ki.

Az $A$ és $B$ mátrix direkt összege a $B$ halmaz $A$ halmaztól átlósan jobbra és
le való elhelyezésével készíthetõ el:
\begin{equation}
A\oplus B = 
\begin{pmatrix}
A & O\cr O & B
\end{pmatrix}\koz,
\label{keplet7-40}
\end{equation}
ahol a példában minden $O$ a csupa nullából álló halmazt jelöli, amelynek
az adott helyen megkövetelt számú sora és oszlopa van. 
Egyszerû megjegyezni a gráfok direkt összegére használt $G\dirsum H$ jelölést,
mivel a $G\dirsum H$ szomszédsági mátrixa pontosan megegyezik a 
$G$, illetve $H$ gráf $A$, illetve $B$ szomszédsági mátrixának direkt összegével.
Hasonlóan, a $G\join H$, $G\rightarrow H$ és $G\leftarrow H$ szomszédsági mátrixai rendre
\begin{equation}
A\join B =
\begin{pmatrix}
A & J \cr J & B
\end{pmatrix},\qquad
A\rightarrow B = 
\begin{pmatrix}
A & J \cr O & B
\end{pmatrix},\qquad
A\leftarrow B = 
\begin{pmatrix}
A & O \cr J & B\label{keplet7-41}
\end{pmatrix}\koz,
\end{equation}
ahol a $J$ (\ref{keplet7-36})-hoz hasonlóan csupa 1-esekbõl álló mátrix. Ezek a mûveletek asszociatívak, és 
kapcsolódnak a komplementerképzéshez:
\begin{equation}
A\dirsum(B\dirsum C)=(A\dirsum B)\dirsum C,\qquad
   A\join(B\join C)=(A\join B)\join C; \label{keplet7-42}
\end{equation}
\vspace{-4mm}
\begin{equation}
A\rightarrow(B\rightarrow C)=(A\rightarrow B)\rightarrow C,\qquad
   A\leftarrow(B\leftarrow C)=(A\leftarrow B)\leftarrow C\koz;\label{keplet7-43}
\end{equation}
\vspace{-2mm}
\begin{equation}
\overline{A\dirsum B}=\overline A\join\overline B,\qquad
  \overline{A\join B}=\overline A\dirsum\overline B\koz;\label{keplet7-44}
\end{equation}

\vspace{-2mm}
\begin{equation}
\overline{A\rightarrow B}=\overline A\leftarrow\overline B,\qquad
  \overline{A\leftarrow B}=\overline A\rightarrow\overline B\koz;\label{keplet7-45}
\end{equation}
\vspace{-2mm}
\begin{equation}
(A\dirsum B)+(A\join B)\;=\;(A\rightarrow B)+(A\leftarrow B)\koz.\label{keplet7-46}
\end{equation}
Vegyük észre, hogy a (\ref{keplet7-39}), (\ref{keplet7-42}) és (\ref{keplet7-44}) összevonásával
\begin{equation}\label{keplet7-47}
K_{n_1,n_2,\ldots,n_k}\;=\;\,\overline{\!K_{n_1}}\join
\,\overline{\! K_{n_2}}\join
\,\cdots\,\join\,\overline{\!K_{n_k}}
\end{equation}
adódik, amikor $k\ge 2$. Továbbá,\index{tranzitív verseny = transitive tournament}
\index{Knir@$K_n\hspace{-1.6mm}\vec{} \ = K_n\hspace{-1.6mm}\vec{} \hspace{1.5mm}$}
\begin{equation}
K_n=K_1\join K_1\join \, \cdots \, \join K_1\quad\hbox{és}\quad
K\orie_{\!n}=K_1\rightarrow K_1\rightarrow\cdots\rightarrow K_1\koz,\label{keplet7-48}
\end{equation}
a $K_1$ gráf $n$ példányát használva, ami azt mutatja, hogy $K_n=K_{1,1,\ldots,1}$ egy teljes $n$-paritású gráf.

A direkt összegek és egyesítések hasonlóan viselkednek az összeadásra, mivel
$\,\overline{\!K_m}\dirsum\,\overline{\!K_n}=
\,\overline{\!K_{m+n}}$ és
$K_m\join K_n=K_{m+n}$. A gráfokat kombinálhatjuk algebrai mûveletekkel is,
amelyek a szorzáshoz hasonlóak. 
A \textit{Descartes-szorzat}\inddef{Descartes-szorzat = Cartesian product} mûvelet például az $m$-ed rendû $G=(U,E)$
és $n$-ed rendû $H=(V,F)$ gráfból egy $mn$-ed rendû $G\cprod H$ gráfot állít elõ.
A $G\cprod H$ csúcsai $(u,v)$ alakú rendezett párok, ahol
$u\in U$ és $v\in V$; az élek 
$(u,v) \join (u',v)$ alakúak, ha $u \join u'$ a $G$-be esik, valamint 
$(u,v) \join (u,v')$ alakúak, ha $v \join v'$ a $H\!$-ba esik. Más szóval, 
$G\cprod H$ létrehozásakor minden $G$-beli csúcs $H$ egy példányával lesz helyettesítve,
$G$ minden éle pedig a megfelelõ példányok megfelelõ csúcsai közötti élekkel:
\begin{equation}\label{keplet7-49}
\epsfbox{\figdir/v4a.221} \quad ROSSZ \ ABRA \koz.
\end{equation}
Mint általában, az általános konstrukció legegyszerûbb speciális esetei kiemelkedõen
fontosnak bizonyulnak a gyakorlatban. Ha mind $G$, mind $H$ út vagy kör, 
\idez{gráfpapír gráfokat kapunk}, nevezetesen az 
$m\times n$-es $P_m\cprod P_n$ {\it rács},\inddef{rács= grid} az
$m\times n$-es $P_m\cprod C_n$ {\it henger}\inddef{henger = cylinder} és az
$m\times n$-es $C_m\cprod C_n$ {\it tórusz}\inddef{tórusz = torus}
gráfokat, amelyeket az $m=3$ és $n=4$ esetre mutatunk be:
\begin{equation}\label{keplet7-50}
\epsfbox{\figdir/v4a.221}   \mbox{ÁBRAALÁÍRÁS: rács,  henger, tórusz}
\end{equation}
A gráfok szorzásának négy másik nevezetes módja bizonyult még hasznosnak.
Minden esetben a szorzatgráf csúcsai $(u,v)$ alakú rendezett párok.

\smallskip$\bullet$
A $G\dprod H$ \textit{direkt szorzatra},\inddef{direkt szorzat = direct product} amit 
$G$ és a $H$ \idez{konjunkciójának} vagy  
\idez{kategorikus szorzatának}\index{tenzoriális szorzat, \textit{lásd} direkt szorzat = tensor product, \textit{see} direct product}
is neveznek, $(u,v) \join (u',v')$ teljesül, amikor $u \join u'$ a $G$-be esik és $v \join v'$ a $H$-ba esik.

\def\oprod{\scriptstyle\vartriangle} % odd product of graphs
\smallskip$\bullet$
A $G\sprod H$ \textit{erõs szorzata}\inddef{erõs szorzat = strong product}  
kombinálja a $G\cprod H$ és a $G\dprod H$ éleit.  

\smallskip$\bullet$
A $G\oprod H$ \textit{páratlan szorzatra}\inddef{páratlan szorzat = odd product} $(u,v) \join (u',v')$ teljesül,
amikor vagy $u \join u'$ a $G$-be esik, vagy $v \join v'$ a $H$-ba esik, de nem egyszerre.

\smallskip$\bullet$
A $G\lprod H$ \textit{lexikografikus szorzatra},\inddef{lexikografikus szorzat = lexicographic product} 
amit a $G$ és a $H$ \idez{kompozíciójának} is neveznek, $(u,v) - (u',v')$ teljesül, ha
$u - u'$ a $G$-be esik, és $(u,v) - (u,v')$, ha $v - v'$ a $H$-ba esik.

\smallskip\noindent Ezen öt mûvelet mindegyike
természetes módon kiterjeszthetõ $k \ge 2$ gráf $G_1 = (V_1,E_1)$,
\dots, $G_k = (V_k,E_k)$ szorzatára, melynek csúcsai $(v_1,\ldots,v_k)$ rendezett $k$-asok,
ahol $v_j\in V_j$ minden $1\le j\le k$ esetén. Ha például $k=3$, a 
$G_1\cprod(G_2\cprod G_3)$ és a $(G_1\cprod G_2)\cprod G_3$ Descartes-szorzatok izomorfak,
amennyiben a\index{asszociatív szabály = associative law}
$(v_1,(v_2,v_3))$ és $((v_1,v_2),v_3)$ csúcsokat a
$(v_1,v_2,v_3)$-mal megegyezõnek tekintjük. Ily módon a Descartes-szorzatból a
$G_1\cprod G_2\cprod G_3$ módon elhagyhatjuk a zárójelezést. A $k$-tényezõs Descartes-szorzatok
legfontosabb példája a 
\begin{equation}
\advance\abovedisplayskip-1pt
  \advance\belowdisplayskip-1pt
K_2\cprod K_2\cprod\cdots\cprod K_2\label{keplet7-51}
\end{equation}
$k$ dimenziós hiperkocka; ennek $2^k$ számú $(v_1,\ldots,v_k)$ csúcsa szomszédos,
ha a Hamming-távolságuk\angolnevindex{Hamming, Richard Wesley (1915--1998)} 1.

Tegyük fel általában, hogy $v=(v\losub1,\ldots,v\losub k)$ és $v'=(v'_1,\ldots,v'_k)$
csúcs $k$-asok, ahol $v\losub j - v'_j$ a $G_j$-be esik
pontosan $a$ alindexre a $j$ alindex közül,
és $v\losub j=v'_j$ pontosan $b$ alindexre. Ekkor:
\\$v \join v'$ pontosan akkor esik $G_1\cprod\cdots\cprod G_k$-ba, ha $a=1$ és $b=k-1$;
\\$v \join v'$ pontosan akkor esik $G_1\dprod \cdots \dprod G_k$-ba, ha $a=k$ és $b=0$;
\\$v \join v'$ pontosan akkor esik $G_1\sprod\cdots\sprod G_k$-ba, ha $a+b=k$ és $a>0$;
\\$v \join v'$ pontosan akkor esik $G_1\oprod\cdots\oprod G_k$-ba, ha $a$ páratlan.
\smallskip
\noindent A lexikografikus szorzat valamelyest különbözik, mivel nem kommutatív;
$G_1\lprod\cdots\lprod G_k$-ban $v \join v'$ pontosan akkor teljesül $v\neq v'$-re, ha 
$v_j \join v'_j$, ahol $j$ a legkisebb olyan alindex, amire $v_j\neq v'_j$.

A \ref{gyak7-91}--\ref{gyak7-102}. gyakorlat megismertet a gráfszorzatok bizonyos alaptulajdonságaival.
Lásd még Imrich\angolnevindex{Imrich, Wilfried} és Klav\v{z}ar\angolnevindex{Klav\v{z}ar, Sandi}  
könyvét \cite{Imrich2000}, ami egy átfogó bevezetést tartalmaz az általános 
elméletbe, beleértve egy adott gráf \idez{prím} részgráfokra való faktorizálására szolgáló algoritmusokat is.

\medskip
\noindent \textbf{Gráfok foksorozata.}\index{foksorozat = degree sequence}
Nemnegatív egészek egy $d_1d_2\ldots d_n$ sorozatát 
\textit{grafikusnak}\inddef{grafikus foksorozat = graphic degree sequence} nevezzük, ha létezik legalább egy 
$\{1,2,\ldots,n\}$ csúcsú gráf, amelyben a $k$ csúcs fokszáma $d_k$. Feltehetjük, hogy 
$d_1\ge d_2\ge\cdots\ge d_n$. Nyilvánvaló, hogy $d_1<n$ minden ilyen gráfban; 
valamint, hogy minden grafikus sorozat $m=d_1+d_2+\cdots+d_n$ összege mindig páros,
mivel ez éppen az élek számának kétszerese.
Továbbá, könnyen ellenõrizhetõ, hogy a $3311$ sorozat nem grafikus; azaz a grafikus sorozatoknak
más feltételeket is ki kell elégíteniük. Melyek ezek?

Egy adott $d_1d_2\ldots d_n$ sorozat grafikussága eldöntésének egy egyszerû módját
és egy ilyen gráf elkészítését Havel\angolnevindex{Havel, Václav (matematikus)} dolgozta ki \cite{Havel1955}. 
Egy üres tablóval indulunk, amelynek a $k.$ sorában $d_k$ cella van; ezek a cellák\index{tabló = tableaux}
\idez{nyílásokat} reprezentálnak, amelyekbe a $k$ csúcs szomszédait helyezzük a konstruált gráfban. 
Legyen $c_j$ a $j.$ oszlopban lévõ cellák száma; így $c_1\ge c_2\ge\cdots{}$, és $1\le k\le n$ esetén
$c_j\ge k$ teljesül pontosan akkor, ha $d_k\ge j$.\index{konjugált felbontás = conjugate partition}
Legyen például $n=8$, és $d_1\ldots d_8=55544322$; ekkor
\begin{equation}
\mbox{52. képlet: ÁBRA} \label{keplet7-52}
\end{equation}
%\def\vedgec{\vrule height 7pt depth 2.6pt}
%\def\bytej#1{\lower.7pt\hbox to1em{\ninerm\hfill#1\hfill\kern.4pt}\kern-.4pt
%    \vrule}
%\def\Hedge#1{\vbox{\dimen0=.55556em \dimen0=#1\dimen0
%     \advance\dimen0 .4 pt \hrule width \dimen0}} % 10/18 the previous size
%\def\lab#1{\lower.7pt\llap{\ninerm#1\enspace}}
%$$\vcenter{\baselineskip0pt\lineskip0pt\halign{\lft{#}\cr
% \hedgez\cr % this is the arcane macro of 1981; z=5, l=4, g=3, k=2, h=1!
%\lab1\vedgec\bytej{}\bytej{}\bytej{}\bytej{}\bytej{}\cr
% \hedgez\cr
%\lab2\vedgec\bytej{}\bytej{}\bytej{}\bytej{}\bytej{}\cr
% \hedgez\cr
%\lab3\vedgec\bytej{}\bytej{}\bytej{}\bytej{}\bytej{}\cr
% \hedgez\cr
%\lab4\vedgec\bytej{}\bytej{}\bytej{}\bytej{}\cr
% \hedgel\cr
%\lab5\vedgec\bytej{}\bytej{}\bytej{}\bytej{}\cr
% \hedgel\cr
%\lab6\vedgec\bytej{}\bytej{}\bytej{}\cr
% \hedgeg\cr
%\lab7\vedgec\bytej{}\bytej{}\cr
% \hedgek\cr
%\lab8\vedgec\bytej{}\bytej{}\cr
% \hedgek\cr}}
%\eqno(52)$$
a kiindulási tabló, és $c_1\ldots c_5=88653$.
Havel ötlete szerint kössük össze az $n$ csúcsot a legnagyobb fokú csúcsok közül $d_n$-nel. 
Ebben az esetben létrehozzuk például a $8\adj3$ és $8\adj2$ élt,
és a tabló a következõ alakúvá változik:
\begin{equation}
\mbox{53. képlet: ÁBRA} \label{keplet7-53}
\end{equation}
%$$\vcenter{\baselineskip0pt\lineskip0pt\halign{\lft{#}\cr
% \hedgez\cr
%\lab1\vedgec\bytej{}\bytej{}\bytej{}\bytej{}\bytej{}\cr
% \hedgez\cr
%\lab2\vedgec\bytej{}\bytej{}\bytej{}\bytej{}\bytej{8}\cr
% \hedgez\cr
%\lab3\vedgec\bytej{}\bytej{}\bytej{}\bytej{}\bytej{8}\cr
% \hedgez\cr
%\lab4\vedgec\bytej{}\bytej{}\bytej{}\bytej{}\cr
% \hedgel\cr
%\lab5\vedgec\bytej{}\bytej{}\bytej{}\bytej{}\cr
% \hedgel\cr
%\lab6\vedgec\bytej{}\bytej{}\bytej{}\cr
% \hedgeg\cr
%\lab7\vedgec\bytej{}\bytej{}\cr
% \hedgek\cr
%\lab8\vedgec\bytej{2}\bytej{3}\cr
% \hedgek\cr}}\rlap{.}
%\eqno(53)$$
(A $8 \adj 1$ élt nem akarjuk, mivel az üres nyílásokat tabló alakúra kell hozni; 
minden oszlop celláit alulról felfelé kell feltölteni.)
Ezután legyen $n\leftarrow 7$, és hozzunk létre további két, a $7 \adj 1$ és $7 \adj 5$ élt.
Ezt követi még másik három, a $6 \adj 4$, $6 \adj 3$ és $6 \adj 2$, ami már majdnem 
félig késszé teszi a tablót:
\begin{equation}
\mbox{54. képlet: ÁBRA} \label{keplet7-54}
\end{equation}
%$$\vcenter{\baselineskip0pt\lineskip0pt\halign{\lft{#}\cr
% \hedgez\cr
%\lab1\vedgec\bytej{}\bytej{}\bytej{}\bytej{}\bytej{7}\cr
% \hedgez\cr
%\lab2\vedgec\bytej{}\bytej{}\bytej{}\bytej{6}\bytej{8}\cr
% \hedgez\cr
%\lab3\vedgec\bytej{}\bytej{}\bytej{}\bytej{6}\bytej{8}\cr
% \hedgez\cr
%\lab4\vedgec\bytej{}\bytej{}\bytej{}\bytej{6}\cr
% \hedgel\cr
%\lab5\vedgec\bytej{}\bytej{}\bytej{}\bytej{7}\cr
% \hedgel\cr
%\lab6\vedgec\bytej{2}\bytej{3}\bytej{4}\cr
% \hedgeg\cr
%\lab7\vedgec\bytej{5}\bytej{1}\cr
% \hedgek\cr
%\lab8\vedgec\bytej{2}\bytej{3}\cr
% \hedgek\cr}}\rlap{.}
%\eqno(54)$$
A problémát egy $d_1\ldots d_5=43333$ csúcssorozattal rendelkezõ gráf keresésévé egyszerûsítettük; 
ezen a ponton $c_1\ldots c_4=5551$ szintén teljesül. Az olvasóra bízzuk az üresen maradt helyek kitöltését,
mielõtt megtekintené a \ref{gyak7-103}. gyakorlatnál adott választ.

\algbegin H algoritmus\ref{alg7-H} (gráfgenerátor adott fokszámokhoz). 
Adott $d_1\ge\cdots\ge d_n\ge d_{n+1}=0$ esetén ez az algoritmus éleket hoz létre az 
$\{1,\ldots,n\}$ csúcsok között úgy, hogy pontosan 
$d_k$ él tartalmazza a $k$ csúcsot minden $1\le k\le n$ esetén, hacsak a 
$d_1\ldots d_n$ sorozat nem grafikus. Átmeneti tárolóként egy $c_1\ldots c_{d_1}$ mátrixot
használunk.

\algindentset{H1}
\algstep H1. (A $c$-k beállítása.) Kiindulásként legyen $k\gets d_1$ és $j\leftarrow 0$.
Végezzük el a következõ mûveleteket, amíg $k>0$ fennáll: Legyen $j\leftarrow j+1$;
amíg $k>d_{j+1}$, legyen $c_k\leftarrow j$ és $k\leftarrow k-1$.

\algstep H2. ($n$ megkeresése.) Legyen $n\leftarrow c_1$. Fejezzük be sikeresen a futást, ha $n=0$;
fejezzük be sikertelenül a futást, ha $d_1\ge n>0$.

\algstep H3. (Ciklus $j$-re.) Legyen $i\leftarrow 1$, $t\leftarrow d_1$ és $r\leftarrow c_t$.
Hajtsuk végre a H4 lépést a $j=d_n$, $d_n-1$, \dots,~1 esetre;
majd lépjünk vissza a H2-re.

\algstep H4. (Új él létrehozása.) Legyen $c_j\leftarrow c_j-1$ és $k\gets c_t$.
Készítsük el a $k- n$ élt, és legyen $d_k\leftarrow d_k-1$, $c_t\leftarrow k-1$.
Ha $k=i$, legyen $i\leftarrow r+1$, $t\leftarrow d_i$ és $r\leftarrow c_t$ 
(lásd a \ref{gyak7-104}. gyakorlatot). \slug

\medbreak

Ha a H algoritmus sikeresen lefut, elkészít egy gráfot a kívánt fokszámokkal. 
Ha viszont sikertelen a futása, hogyan tudjuk ellenõrizni, hogy lehetetlent kértünk tõle? 
Ennek a kérdésnek a kulcsa a \idez{\textit{majorálás}} nevû fontos fogalom: 
Ha $d\losub1\ldots d\losub n$ és $d'_1\ldots d'_n$
ugyanannak az egésznek két különbözõ felbontása (azaz, ha 
$d\losub1\ge\cdots\ge d\losub n$ és $d'_1\ge\cdots\ge d'_n$ és
$d\losub1+\cdots+d\losub n=d'_1+\cdots+d'_n$), akkor 
$d\losub1\ldots d\losub n$ {\it majorálja} a $d'_1\ldots d'_n$-t, ha 
$d\losub1+\cdots+d\losub k\ge d'_1+\cdots+d'_k$, $1\le k\le n$.

\textbf{M lemma.} {\sl Ha $d\losub1\ldots d\losub n$ grafikus, és 
$d\losub1\ldots d\losub n$ majorálja $d'_1\ldots d'_n$-t, akkor
$d'_1\ldots d'_n$ szintén grafikus.}

\proof. Az állítást elég arra az esetre bizonyítani, amikor 
$d\losub1\ldots d\losub n$ és $d'_1\ldots d'_n$ csak két helyen tér el,
\begin{equation}
d'_k\;=\;d_k-[k=i]+[k=j],\qquad\hbox{ahol} i<j,\label{keplet7-55}
\end{equation}
mivel a $d_1\ldots d_n$-nel majorált minden sorozat megkapható az
ehhez hasonló mini-majorálások ismételgetésével.
(A 7.2.1.4--55. gyakorlatok tárgyalják részletesen a majorálást.)

Az (\ref{keplet7-55}) feltételbõl következik, hogy $d_i>d'_i \ge d'_{i+1}\ge d'_j>d_j$.
Vagyis a $d_1\ldots d_n$ fokszám sorozattal rendelkezõ minden gráf 
tartalmaz egy $v$ csúcsot, melyre $v \join i$ és $v \nadj j$. 
A $v \join i$ él törlése és a $v \join j$ él hozzáadása egy 
$d'_1\ldots d'_n$ kívánt fokszám sorozattal rendelkezõ gráfot eredményez. \slug 

\medbreak

\noindent \textbf{H következmény.}
{\sl A H algoritmus sikeresen fejezõdik be, ha $d_1\ldots d_n$ grafikus.}

\proof. Feltehetjük, hogy $n>1$.
Legyen $G$ egy $\{1,\ldots,n\}$ csúcsú tetszõleges gráf 
$d_1\ldots d_n$ fokszám sorozattal,
és legyen $G'$ az $\{1,\ldots,n-1\}$ csúcsok által indukált részgráf; 
más szavakkal, készítsük el a $G'$-t az $n$ csúcs, és az azt tartalmazó $d_n$ 
él eltávolításával. 
A $G'$ gráf $d'_1\ldots d'_{n-1}$ fokszám sorozata a $d_1\ldots d_{n-1}$-bõl
kapható meg, $d_n$ bejegyzést 1-gyel csökkentve, majd ezeket 
csökkenõ sorba rendezve. A $d'_1\ldots d'_{n-1}$ sorozat definíció szerint grafikus. 
A H3 és H4 lépéssel elõállított $d''_1\ldots d''_{n-1}$ fokszám sorozatot
minden ilyen $d'_1\ldots d'_{n-1}$ sorozat majorál, mivel
1-gyel csökkenti a legnagyobb lehetséges $d_n$ bejegyzéseket. Ezért az
új $d''_1\ldots d''_{n-1}$ grafikus. A 
$d_1\ldots d_{n-1}\leftarrow d''_1\ldots d''_{n-1}$-t beállító H algoritmus
sikeressége ezért $n$-szerinti indukcióval következik.\quad\slug

A H algoritmus futási ideje durván a létrehozott élek számával arányos,
amelynek nagyságrendje $n^2$ lehet.
A \ref{gyak7-105}. gyakorlat egy gyorsabb módszert közöl, ami $O(n)$ lépésben dönti
el, hogy egy adott $d_1\ldots d_n$ sorozat grafikus-e vagy sem (gráf létrehozása nélkül).

\medskip
\noindent \textbf{Túl a gráfokon.} Amennyiben egy gráf vagy irányított gráf csúcsait és/vagy éleit további adatokkal
látjuk el, úgy azt {\it hálózatnak} nevezzük. Például a {\it{szavak}}$(5757,0,0,0)$ 
gráf minden csúcsának van egy járulékos rangja, ami a megfelelõ ötbetûs szó népszerûségét
jelzi. A {\it{sima\_lisa}}$(360,250,15,0,360,0,250,0,0,2295000)$ gráf csúcsainak 
van egy kapcsolt {\it képpont} sûrûsége 0 és 15 között.
A {\it{tábla}}$(8,8,0,0,-2,0,0)$ minden élének van egy kapcsolt 
hossz értéke, ami egy figura táblán való mozgásának távolságát írja le: 
Egy {\it futó} egyik sarokból másikba való mozgásának a hossza 7.
A {\it Stanford GraphBase} a fentiek túl számos további generátort tartalmaz, 
mivel ezeket elsõsorban érdekes hálózatok, 
nem pedig érdekes struktúrával rendelkezõ gráfok generálására használják:

\smallskip$\bullet$
\textit{mérföldek}$(128,0,0,0,0,127,0)$ egy 128 csúcsú hálózat, amelyek a korábban
leírt \textit{sík\_mérföldek} észak-amerikai városaira vonatkoznak. A \textit{sík\_mérföldek} gráftól
eltérõen azonban, a \textit{mérföldek} egy teljes gráf ${128}\choose{2}$ éllel. Minden él
egész hosszúságú, annak a távolságnak a leírására, amit 1949-ben egy autó megtett, miközben
átutazott az egyik városból egy másikba.
Például `\textsc{Vancouver},~\textsc{BC}' és\index{autópálya = highway}
`\textsc{West} \textsc{Palm} \textsc{Beach},~\textsc{FL}' távolsága 3496 mérföld a {\it mérföldek} hálózatban.

\smallskip$\bullet$
{\it gazdaság}$(81,0,0,0)$ egy 81 csúccsal és 4902 éllel rendelkezõ hálózat.
A csúcsai ez Egyesült Államok egyes gazdasági szektorait, 
míg élei a pénz szektorok közötti áramlásának 1985-ben mért mennyiségét reprezentálják millió 
dollárban számolva.
Például az áramlási érték a \textsc{Ruházat} szektorból a \textsc{Háztartási} \textsc{bútor} 
szektorba 44, vagyis a bútoripar $44.000.000$ dollárt fizetett a ruházati szektornak a nevezett évben.
Az egy csúcsba beérkezõ tételek összege megegyezik a csúcsból kiinduló tételek összegével.
Él csak akkor jelenik meg, ha az áramlás nem nulla. A speciális, \textsc{Felhasználók} csúcs
fogadja egy termék teljes pénzügyi igényét;
egyes ilyen végfelhasználói tételek negatívak, az importált áruk egyes állami közgazdászok 
általi kezelése miatt.

\smallskip$\bullet$
\textit{játékok}$(120,0,0,0,0,0,128,0)$ egy 120 csúccsal és 1276 éllel rendelkezõ hálózat. 
A csúcsai az Egyesült Államok fõiskoláinak és egyetemeinek futballcsapatait reprezentálják. 
Élek azon csapatok között futnak, amelyek játszottak egymással az izgalmas 1990-es 
bajnokságban, és a szerzett pontokkal vannak címkézve. 
Például a $\textsc{Stanford}\rightarrow\textsc{California}$ él értéke 27, 
míg a $\textsc{California}\rightarrow\textsc{Stanford}$ értéke 25, mivel a 
\textit{Stanford Cardinal} a U.~C. Berkeley \textit{Golden Bears} csapatát
27--25 arányban gyõzte le 1990. november 17-én.

\smallskip$\bullet$
{\it risc}$(16)$ egy teljesen más típusú hálózat.
3240 csúccsal és 7878 éllel rendelkezik, ami egy {\textit{irányított aciklikus gráfot} vagy 
\idez{\textit{iag}-t definiál, nevezetesen egy \textit{irányított köröket} nem tartalmazó irányított gráfot.
\index{aciklikus: köröket nem tartalmazó = acyclic: containing no cycles}\index{RISC: csökkentett utasításkészletû 
számítógép = RISC: Reduced Instruction Set Computer}\inddef{körmentes irányított gráf = directed acyclic graph}
A csúcsok logikai értékekkel rendelkezõ kapukat tartalmaznak; 
a $\textsc{Z45}\leftarrow\textsc{R0:7\char`\~}$ él azt jelenti, hogy a \textsc{Z45} kapu
értéke a \textsc{R0:7\char`\~} kapu bemenete. Minden kapunak van egy ({{\textsc ÉS}},
{{\textsc VAGY}}, {{\textsc KIZÁRÓ VAGY}}, {{\textsc NEM}}, \textit{retesz} vagy külsõ bemeneti típuskódja);
minden élnek van egy, a késés mértékét jelzõ hossza. A hálózat tartalmazza
egy miniatûr RISC áramkör teljes logikai felépítését, ami tizenhat regiszter irányítására
képes 16-bites egyszerû parancs használatát biztosítja.

\smallbreak
Az SGB generátorokkal kapcsolatban az összes részlet megtalálható a szerzõ\angolnevindex{Knuth@\string\Knuth}
{\sl The Stanford GraphBase\/} címû könyvében \cite{Knuth1993} 
egyszerû példaprogramok tucatjaival együtt, amelyek elmagyarázzák a generátorok
által elõállított gráfok és hálózatok manipulálhatóságát. 
\index{Stanford GraphBase: teljes leírás = Stanford GraphBase: complete guide}
Egy \textsc{LÉTRÁK} címû program például bemutatja, hogyan található 
{\it legrövidebb út} két ötbetûs szó között.
Egy \textsc{RISC\_HASZNÁLATA} címû program elmagyarázza, hogyan helyezhetõ egy
\textit{nano számítógép} a lépéseire, a \textit{risc}$(16)$ kapuiból felépülõ 
hálózat mûveleteinek szimulálásával.

\medskip
\noindent \textbf{Hipergráfok.}\index{hipergráf = hypergraph}
A gráfok és hálózatok igen elbûvölõek lehetnek, de még távolról sem jelentik a történet 
végét. Sok fontos kombinatorikai algoritmust terveztek a gráfoknál általánosabb \textit{hipergráfokra}, 
melyek élei a csúcsok \textit{tetszõleges} részhalmazai lehetnek.

Lehet adva például $v=a_1a_2a_3$ nemüres bináris füzérekkel hét csúcs, 
továbbá $e=[b_1b_2b_3]$ zárójelezett nemüres bináris füzérrel azonosított hét 
él, ahol $v\in e$ pontosan akkor, ha $(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)\mod 2=0$. Ezen élek mindegyike
pontosan három csúcsot tartalmaz:
\begin{equation}
[001]=\{010,100,110\};\quad
[010]=\{001,100,101\};\quad
[011]=\{011,100,111\};\nonumber
\end{equation}
\vspace{-4mm}
\begin{equation}
[100]=\{001,010,011\};\quad
[101]=\{010,101,111\};\nonumber
\end{equation}
\vspace{-4mm}
\begin{equation}
[110]=\{001,110,111\};\quad
[111]=\{011,101,110\}\koz.\label{keplet7-56}
\end{equation}
Továbbá, a szimmetria miatt, minden csúcs pontosan három élhez tartozik.
(A három vagy több csúcsot tartalmazó élt idõnként 
\textit{hiperélnek} is nevezik, hogy megkülönböztessék egy hagyományos gráf éleitõl.
\index{hipergráf éle = edges of a hypergraph}
Lehet azonban egyszerûen csak \idez{éleknek} is nevezni õket.)

Egy hipergráf \textit{r-egyenletes},\inddef{regyenletes@$r$-egyenletes hipergráf = $r$-uniform hypergraph} 
ha minden él pontosan $r$ csúcsot tartalmaz. Így (\ref{keplet7-56}) egy 3-egyenletes hipergráf, egy 2-egyenletes
hipergráf pedig egy hagyományos gráf. A $K{(r)}_n$ teljes $r$-egyenletes hipergráfnak 
$n$ csúcsa és $\frac{n}{r}$ éle van.\index{Krn@$K^{(r)}_n$ = $K^{(r)}_n$}

A gráfelmélet legtöbb alapfogalma természetes módon kiterjeszthetõ hipergráfokra.
Ha például $H=(V,E)$ egy hipergráf és $U\subseteq V$,
akkor az $U$ által {\it indukált} $H\rest U$ részhipergráf 
$\{e\mid e\in E$ és $e\subseteq U\}$ élekkel rendelkezik. 
Egy {\it $r$-egyenletes hipergráf $\overline H$ komplementere} 
\smash{$K{(r)}_n$} azon éleivel rendelkezik, amelyek $H$-nak nem elemei. 
Egy {hipergráf $k$-színezése} színek egy csúcsokhoz való rendelése,
vagyis nincsenek egyszínû élek. És így tovább.

A hipergráfokat gyakran más névvel is illetik, mivel ugyanezek a tulajdonságok 
sok más módon is megfogalmazhatók. Például, minden $H=(V,E)$ hipergráf
alapvetõen \textit{halmazok egy családja}, \index{halmazrendszer, \textit{lásd} hipergráf = set system, \textit{see} hypergraph}
mivel minden él $V$ egy részhalmaza. Egy 3-egyenletes hipergráfot 
\textit{tripla rendszernek}\inddef{tripla rendszer = triple system} is szoktak hívni. Egy hipergráf $0$-k és $1$-ek egy $B$
mátrixával is ekvivalensek, \index{nullaegy@0--1 mátrix = 0--1 matrix}
ahol minde $v$ csúcshoz egy sor és minden $e$ élhez egy oszlop tartozik; 
a mátrix $v$ sora és $e$ oszlopa a $b_{ve}=[v\in e]$ értéket tartalmazza. 
A $B$ mátrixot a $H$ \textit{illeszkedési mátrixának}\inddef{illeszkedési mátrix = incidence matrix} nevezzük,
és \idez{$v$ elõfordul az $e$-ben}, ha $v\in e$.
Továbbá, egy hipergráf egy \textit{páros gráffal}\index{páros gráf = bipartite graph}\index{gráf = graph!páros gráf 
\textit{lásd} páros gráf = bipartite graph \textit{see} bipartite graph}
= bipartite graph } ekvivalens
$V\cup E$ csúcshalmazzal és $v \join e$ éllel, amennyiben $v$ elõfordul az $e$-ben. 
A hipergráfot pontosan akkor nevezzük \textit{összefüggõnek},\inddef{összefüggõ gráf = connected 
graph}\index{gráf = graph!összefüggõ gráf = connected graph} ha 
a megfelelõ páros gráf összefüggõ. Egy hipergráf $k$-hosszú \textit{körét}\inddef{hipergráf köre = cycle of a hypergraph}
a megfelelõ páros gráf $2k$-hosszú köreként definiált.

Az (\ref{keplet7-56}) hipergráf például egy ekvivalens elõfordulási mátrixszal vagy
páros gráffal is definiálható a következõképpen:
\begin{equation}
\advance\abovedisplayskip10pt
\vcenter{\kern-1.2\baselineskip
           \halign{\llap{$\scriptstyle#$}\ &#\hfil\kern-4pt&
                    \hfil$#$\hfil\ &
                    \hfil$#$\hfil\ &
                    \hfil$#$\hfil\ &
                    \hfil$#$\hfil\ &
                    \hfil$#$\hfil\ &
                    \hfil$#$\hfil\ &
                    \hfil$#$\hfil&\kern-4pt\hfil#\cr
&&\scriptstyle[001]&\scriptstyle[010]&\scriptstyle[011]&\scriptstyle[100]&
\scriptstyle[101]&\scriptstyle[110]&\scriptstyle[111]\cr
\noalign{\vskip.2\baselineskip}
001&&0&1&0&1&0&1&0\cr
010&&1&0&0&1&1&0&0\cr
011&&0&0&1&1&0&0&1\cr
100&\smash{$\left(\vrule height3.5\baselineskip width0pt\right.$}&
 1&1&1&0&0&0&0&\smash{$\left.\vrule height3.5\baselineskip width0pt\right)$}\cr
101&&0&1&0&0&1&0&1\cr
110&&1&0&0&0&0&1&1\cr
111&&0&0&1&0&1&1&0\cr}}
%%%\qquad\vcenter{\epsfbox{\figdir/v4a.1515}}
\mbox{ ÁBRA HIÁNYZIK}
\label{keplet7-57}
\end{equation}
A hipergráf 28 darab 3-hosszúságú utat tartalmaz, mint például
\begin{equation}
[101]\adj101\adj[010]\adj001\adj[100]\adj010\adj[101]\koz.\label{keplet7-58}
\end{equation}

Egy $H$ hipergráf $H^T$ \textit{duálisát} a csúcsok és élek szerepének felcserélésével
képezzük az elõfordulási reláció megõrzésével. 
Más szóval, az elõfordulási mátrixot transzponáljuk. 
Vegyük észre például, hogy egy $r$-\textit{reguláris} gráf duálisa egy $r$-egyenletes hipergráf.

Az elõfordulási mátrixok és páros gráfok vonatkozhatnak olyan hipergráfokra, 
amelyben egyes élek egynél többször jelennek meg, mivel a mátrix két oszlopa megegyezhet.
Egy ismétlõdõ élekkel nem rendelkezõ $H=(V,E)$ hipergráf\index{különbözõ oszlopok = distinct columns}
egy másik kombinatorikai objektumnak nevezetesen egy {\it{logikai függvénynek}} is megfelel. 
Ha például a $V$ csúcshalmaz $\{1,2,\ldots,n\}$, akkor a 
\begin{equation}
h(x_1,x_2,\ldots,x_n)\;=\;\big[\{j\mid x_j=1\}\in E\big]\label{keplet7-59}
\end{equation}
függvény leírja a $H$ éleit. (\ref{keplet7-56}) és (\ref{keplet7-57}) hipergráfja például a
\begin{equation}
(x_1\xor x_2\xor x_4)\land
  (x_2\xor x_3\xor x_5)\land
  (x_3\xor x_4\xor x_6)\land
  (x_4\xor x_5\xor x_7)\nonumber
 \end{equation}
 \begin{equation}
\land(x_5\xor x_6\xor x_1)\land
  (x_6\xor x_7\xor x_2)\land
  (x_7\xor x_1\xor x_3)\land
  (\bar x_1\lor\bar x_2\lor\bar x_3)\label{keplet7-60}
\end{equation}
logikai képlettel is leírható.

Kissé zavaró lehet, hogy a kombinatorikai objektumok ilyen sokféleképpen felfoghatók. 
Ez azonban egyúttal roppant hasznos is, mivel ekvivalens problémák megoldásához számos 
ötletet kapunk. Ha egy problémát több oldalról is górcsõ alá veszünk, 
az agyunk természetes módon több irányból is próbál a megoldáshoz eljutni. 
Idõnként a mátrix sorai és oszlopai cserélgetésének 
végiggondolása vezethet el a probléma mélyebb megértéséhez. 
Más esetben a csúcsok útvonalként való értelmezésével vagy pontosztályok térbeli 
megjelenítésével érhetünk el haladást.
Megint máskor, a Boole-algebra\angolnevindex{Boole, George (1815--1864)}\index{Boole-algebra = Boolean algebra} 
a megfelelõ eszköz. Ha az egyik megközelítéssel elakadunk, egy másik siethet a segítségünkre.

\medskip
\noindent \textbf{Lefedés és függetlenség.}
Egy $H=(V,E)$ gráf vagy hipergráf esetén, csúcsok egy $U$ halmaza 
\textit{lefedi} a $H$-t, ha minden él tartalmazza az $U$ legalább egy elemét.
Csúcsok egy $W$ halmazát \textit{függetlennek}\inddef{független csúcsok = independent vertices} (vagy \textit{stabilnak}) 
nevezzük\index{stabil halmaz = stable set \textit{lásd} független csúcsok = independent vertices} 
a $H$-ban ha, a $W$ egyetlen élt sem tartalmaz teljesen.

Az elõfordulási mátrixot tekintve, egy lefedés olyan sorok egy halmaza,
amelyek oszlopösszege sehol sem nulla. Amennyiben $H$ speciálisan egy gráf,
a mátrix minden oszlopa csak két 1-est tartalmaz;
vagyis egy gráf egy független halmaza egymásra kölcsönösen 
\textit{merõleges} sorok egy halmazát jelenti -- azaz egy olyan halmazt,
amelyre bármely két különbözõ sor \textit{skaláris szorzata} nulla.

Ezek a fogalmak egyazon érme két oldalát jelentik. Ha az $U$ lefedi a $H$-t,
akkor $W=V\setminus U$ független a $H$-ban; megfordítva, ha a 
$W$ független a $H$-ban, akkor $U=V\setminus W$ lefedi a $H$-t.
Mindkét állítás azzal ekvivalens, hogy az indukált
$H\rest W$ hipergráfnak nincsenek élei.

A lefedésnek és függetlenségnek ez a duális kapcsolata, amelyet elõször Claude 
Berge\angolnevindex{Berge, Claude (1926--2002)} \cite{Berge1957} figyelt meg, meglehetõsen paradox. 
Habár logikailag nyilvánvaló és könnyen ellenõrizhetõ, 
intuitíve mégis meglepõ. Ha egy gráfot vizsgálunk, és egy nagy méretû
független halmazt próbálunk találni, másképpen gondolkodunk, mint amikor 
egy kis méretû csúcs lefedõt keresünk ugyanazon gráfban;
miközben a cél mindkét esetben ugyanaz.

Egy lefedõ $U$ halmaz \textit{minimális}\inddef{minimális lefedõ halmaz = minimal covering set}, 
ha $U\setminus u$ nem lefedõ minden $u\in U$ esetén. Hasonlóan, egy független $W$ halmaz 
\textit{maximális}\inddef{maximális lefedõ halmaz = maximal covering set}, 
ha $W\cup w$ nem független minden $w\notin W$ esetén.
Lejjebb példaként megadjuk a 49-csúcsú \textit{folytonos Egyesült Államok} (\ref{keplet7-17}) gráf
egy minimális lefedését és a kapcsolódó maximális független halmazt:
\begin{equation}
%\advance\abovedisplayskip4pt
%  \advance\belowdisplayskip20pt
%\def\\#1#2,#3#4{\vcenter{\eightrm\baselineskip=8.5pt
%  \halign{\hfil##\hfil\cr
%    \epsfxsize=.35\hsize\epsfbox{\figdir/v4a.151#1}\cr
%    \noalign{\vskip2pt}
%    #2,\cr
%    34 csúccsal\cr
%    \noalign{\vskip-20pt}}}}
%\ \hskip-4em\ \mbox{}Minimális csúcs lefedés 38 csúccsal}  \qquad\qquad
\mbox{Ábraaláírás: Maximális független halmaz 11 csúccsal}\label{keplet7-61}
\end{equation}

Egy lefedést {\it minimumnak} nevezünk, ha a mérete a lehetõ legkisebb,
illetve egy lefedõ halmazt {\it maximumnak}, ha a mérete a lehetõ legnagyobb.
Például a (\ref{keplet7-17})-es gráffal a (\ref{keplet7-61})-esnél lényegesen jobb eredményt érhetünk el:
\begin{equation}
%\advance\abovedisplayskip4pt
%  \advance\belowdisplayskip20pt
%\def\\#1#2,#3#4{\vcenter{\eightrm\baselineskip=8.5pt
%  \halign{\hfil##\hfil\cr
%    \epsfxsize=.35\hsize\epsfbox{\figdir/v4a.151#1}\cr
%    \noalign{\vskip2pt}
%    #2,\cr
%    34 csúccsal\cr
%    \noalign{\vskip-20pt}}}}
%\ \hskip-4em\\3 \mbox{Minimum csúcs lefedés 30 csúccsal}  \qquad\qquad
%\\2 
\mbox{Ábraaláírás: Maximális független halmaz 19 csúccsal}\label{keplet7-62}
\end{equation}
Ezen a ponton figyeljük meg a \idez{minimális} és a \idez{minimum} közötti finom különbséget:
Általában (bár angol terminológia esetén az \textit{angol szótáraktól} eltérõen)
\index{minimális és minimum közötti különbség = minimal versus minimum}
\index{maximális és maximum közötti különbség = maximal versus maximum}
\index{optimális és optimum közötti különbség = optimal versus optimum}
a kombinatorikai algoritmusokkal dolgozók a \idez{minimális} vagy \idez{optimális}  
szóhasználattal élnek a \textit{lokálisan} legjobb kombinatorikai konfigurációk megjelöléséhez,
amelyek kisebb módosítások hatására nem javulnak. 
A \idez{minimum} vagy \idez{optimum} terminológia az összes szóba jövõ között \textit{globálisan} legjobb 
konfigurációk számára van fenntartva. Minden optimalizációs
problémára könnyû találni egy gyengébb, helyi értelemben optimális megoldást,
folyamatosan mászva a hegyet a csúcs eléréséig.
A valódi optimumot szolgáltató megoldások megkeresése általában jóval nehezebb feladat.
Így például a 7.9. alfejezetben látni fogjuk, hogy egy adott gráf 
\textit{maximum független halmazának} megkeresése a bonyolult, \textit{NP-teljes} feladatok
osztályába tartozik.

Nem kell azonban kétségbe esnünk NP-teljes problémák esetén sem. 
Minimum lefedõk keresésére használt technikákat a fejezet számos pontján tárgyalni fogunk,
amelyek kisebb problémák esetén jól mûködnek; A (\ref{keplet7-62}) optimum megoldása
kevesebb, mint egy másodperc alatt megtalálható volt 
a $2^{49}$ lehetõség csak egy kis szeletének átvizsgálásával.
Továbbá, NP-teljes problémák speciális esetei gyakran bizonyulnak
az általános esetnél egyszerûbbnek. A 7.5.1. pontban látható lesz, hogy 
egy minimum csúcs lefedõ gyorsan megkereshetõ egy \textit{páros gráfban} vagy
ennek a gráfnak egy \textit{duális} hipergráfjában. 
A 7.5.5. pontban pedig hatékony módszereket tárgyalunk 
maximum \textit{párosítás}\index{párosítás = matching} keresésére, ami egy adott gráf \textit{vonalgráfjának}
maximum független halmaza.

Egy független halmaz méretének maximalizálása egy annyira gyakori probléma, hogy 
célszerû saját jelöléssel ellátni:
Egy $H$ hipergráf esetén az\index{alfa@$\alpha(H)$ = $\alpha(H)$}
\begin{equation}
\alpha(H)\;=\;\max\bigl\{\vert W\vert\bigm\vert
  \hbox{$W$ csúcsok egy független halmaza $H$-ban}\bigr\}\label{keplet7-63}
\end{equation}
értéket a $H$ {\it{függetlenségi számának}} (vagy {\it stabilitási számának})
nevezzük. Hasonlóan, a
\begin{equation}
\chi(H)\;=\;\min\{k\mid 
  \hbox{$H$ $k$-színezhetõ}\}\label{keplet7-64}
\end{equation}
értéket a $H$ {\it{színezési számának}} nevezzük. Vegyük észre, hogy 
$\chi(H)$ a $H$ független halmazokkal való minimum lefedõjének a mérete, 
mivel az egyes színeket kapó csúcsoknak a definíciónk szerint
függetlennek kell lenniük.

Az $\alpha(H)$ és $\chi(H)$ ezen definíciói elsõsorban arra az esetre vonatkoznak,
amikor $H$ egy szokásos gráf, és ilyenkor természetesen gyakran használjuk az 
$\alpha(G)$ és $\chi(G)$ jelölést is.
A gráfokhoz kapcsolódik még egy másik fontos érték, az
\begin{equation}
\omega(G)\;=\;\max\bigl\{\vert X\vert\bigm\vert
  \hbox{$X$ egy klikk $G$-ben}\bigr\}\koz,\label{keplet7-65}
\end{equation}
{\it{klikkszám}}, ahol egy \idez{\textit{klikk}} kölcsönösen szomszédos csúcsok egy halmaza. 
\begin{equation}
\omega(G)\;=\;\alpha(\overline G)\koz,\label{7-66}
\end{equation}
nyilvánvalóan fennáll, mivel egy $G$-beli klikk a \textit{komplementer gráf} egy \textit{független halmaza}.
Hasonlóan látható, hogy $\chi(\overline G)$ egy \textit{klikk lefedõ} legkisebb mérete,
ami az összes csúcsot lefedõ klikkek egy halmaza.

A szakaszban több helyen is említettünk \idez{pontos\textit{lefedési} problémákat} anélkül, hogy
precízen elmagyaráztuk volna egy ilyen probléma mibenlétét. 
Mostanra készen állunk a definícióra: Egy $H$ hipergráf \textit{elõfordulási mátrixa} esetén,
a $H$ egy \textit{pontos lefedése} a mátrix olyan sorainak egy halmaza, 
amelyek összege $(1\,1\,\ldots\,1)$. Más szóval, egy pontos lefedés olyan csúcsok egy halmaza,
amelyek minden hiperélt pontosan egyszer érintenek;
egy szokásos lefedésnek minden hiperélt \textit{legalább}
egyszer kell érintenie.\index{gráf = graph}



{\small
\vspace{8mm}
\textbf{GYAKORLATOK}\small
\vspace{2mm}
\begin{gyak}
%%% 1
\ujgyak \label{gyak70-1}
\sz{25}
%%% 2
\ujgyak \label{gyak70-2}
\sz{18}
\setcounter{gyakcounter}{144}
\vspace{3mm}
\textbf{\ldots}
\vspace{3mm}
%%% 145

\setcounter{gyakcounter}{68}
\ujgyak \label{gyak7-69} \sz{20}
A \ref{keplet7-31}. képletet kiterjesztve magyarázzuk el, hogyan kell egy SGB formátumban ábrázolt gráf \textit{minden} 
csúcsához kiszámítani a KIFOK(v) kifokot és a BEFOK(v) befokot.
\ujgyak \label{gyak7-70} \sz{M20}
Hányszor futnak le a B algoritmus egyes lépései, amikor az algoritmus
sikeresen 2-színez egy $m$ élû és $n$ csúcsú gráfot?
\ujgyak \label{gyak7-71} \sz{M26}
Implementáljuk a B algoritmust az MMIX számítógép számára úgy, hogy
a MMIXAL assembly nyelvet használjuk. Tegyük fel, hogy a program kezdetekor a $v0$ regiszter
az elsõ csúcspontra mutat, és az $n$ regiszter a csúcsok számát tartalmazza.
\ujgyak \label{gyak7-72} \sz{M22}
Amikor a B6-os lépésben beállítjuk a SZÍN(v) értéket, akkor $u$-t nevezzük $v$
\textit{szülõjének}; viszont amikor a B3-as lépésben állítjuk be a SZÍN(w)-t, akkor mondjuk azt, hogy
$w$-nek nincs szülõje. Definiáljuk a $v$ csúcs \textit{õseit} rekurzívan $v$ és $v$ szülõjének õseivel,
már ha van szülõje.
a) Bizonyítsuk be, hogy ha a B algoritmus mûködése során $v$ lejjebb van a veremben, mint
$u$, akkor $v$ szülõje egyben $u$ õse is.
b) Továbbá, ha a B6-os lépésben SZÍN($v$) = SZÍN($u$), akkor $v$ aktuálisan a veremben van.
c) Használjuk fel ezeket az összefüggéseket, a B algoritmus kiterjesztéséhez úgy, hogy
ha a gráf nem páros, akkor a kimenet a csúcsok nevei legyenek egy páratlan hosszúságú körben.
\ujgyak \label{gyak7-73} \sz{15}
Hogyan nevezzük másképpen a \textit{véletlen\_gráf}$(10,45,0,0,0,0,0,0,0,0)$-t?
\ujgyak \label{gyak7-74} \sz{21}
A \textit{roget}$(1022,0,0,0)$ mely csúcsának van a legnagyobb kifoka?
\ujgyak \label{gyak7-75} \sz{22}
A \textit{tábla}$(n_1,n_2,n_3,n_4,p,w,o)$ SGB gráf generátor egy olyan gráfot hoz létre,
amelynek csúcsai az $(x_1, \ldots, x_t)$ $t$-dimenziós egész vektorok, ahol $0 \le x_i < b_i$, amelyet az elsõ négy
$(n_1,n_2,n_3,n_4)$ paraméter határoz meg a következõképpen: Legyen $n_5\gets 0$
és $j\ge 0$ az a minimális érték, hogy $n_{j+1}\le 0$ teljesül. Ha $j=0$, akkor
legyen $b_1\gets b_2\gets 8$ és $t\gets 2$; ez lesz az alapértelmezett
$8\times\nobreak 8$-as tábla. Egyébként, ha $n_{j+1}=0$, akkor legyen $b_i\gets n_i$, ahol 
$1\le i\le j$ és $t \leftarrow j$. Végül, ha $n_{j+1}<0$, akkor legyen $t\gets\vert n_{j+1}\vert$,
és legyen $b_i$ az $i.$ eleme az $(n_1,\ldots,n_j,\allowbreak
n_1,\ldots,n_j,n_1,\ldots{})$
periodikus sorozatnak. (Például az $(n_1, n_2, n_3, n_4)=(2,3,5,-7)$ eset olyan ravasz,
amilyen csak lehet; egy 7-dimenziós táblát állít elõ $(b_1, \ldots, b_7) = (2,3,5,2,3,5,2)$-
vel, tehát egy $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 2 = 1800$ csúcsú gráfot.)

A maradék $(p,w,o)$ paraméterek a gráf éleit határozzák meg.
Elõször tegyük fel, hogy $w=o=0$. Ha $p>0$, $(x_1,\ldots,x_t)\dadj(y_1,\ldots,y_t)$
pontosan akkor, ha $y_i=x_i+\delta_i$ $1\le i\le t$-re, ahol $(\delta\losub1,\ldots,\delta\losub t$) 
egész megoldása a $\delta_1^2+\cdots+\delta_t^2=\vert p\vert$ egyenletnek. Ha $p<0$, akkor megengedett az 
$y_i=x_i+k\delta_i$ eset is, ahol $k\ge1$, amely megfelel annak, hogy $k$ azonos irányba mozog.

Ha $w\neq 0$, akkor legyen $w=(w_t\ldots w_1)_2$ bináris alakban. Engedélyezzük a
\idez{bekerítést}: $y_i=(x_i+\delta_i)\mod b_i$ vagy $y_i=(x_i+k\delta_i)\mod b_i$,
minden olyan $i$ koordinátára, amelyre $w_i = 1$.

Ha $o \neq 0$, akkor a gráf irányított; a $(\delta_1, \ldots , \delta_t)$ eltolás csak
akkor hoz létre éleket, ha lexikografikus rendezés szerint nagyobbak, mint $(0, \ldots, 0)$.
De ha $o = 0$, akkor a gráf nem irányított.

Találjunk olyan $(n_1,n_2,n_3,n_4,p,w,o)$ konfigurációt, amikor a \textit{tábla} a következõ alapgráfot
hozza létre: (a) a $k_n$ teljes gráf; (b) a $P_n$ út; (c) a $C_n$ kör;
(d) a $K\orie_{n}$ tranzitív verseny; (e) a $P\orie_{\!n}$ irányított út;
(f) a $C\orie_{n}$ irányított kör; (g) a $P_m\cprod P_n$ $m\times n$-es rács;
(h) a $P_m\cprod C_n$ $m\times n$-es henger; (i) a $C_m\cprod C_n$ $m\times n$-es tórusz;
(j) a $K_m\cprod K_n$ $m\times n$-es bástya gráf 
(k) a $C\orie_{m}\cprod C\orie_{n}$ $m\times n$-es irányított tórusz;
(l) a $\overline{K_n}$ zérusgráf; (m) A $P_2\cprod\cdots\cprod P_2$ ${2^n}$ csúcsú $n$-kocka.
\ujgyak \label{gyak7-76} \sz{20}
A \textit{tábla}$(n_1,n_2,n_3,n_4,p,w,o)$-ban lehetnek körök vagy többszörös élek?
\ujgyak \label{gyak7-77} \sz{M20}
Legyen adva egy $G$ gráf, amelynek átmérõje $\ge 3$. Bizonyítsuk be, hogy
$\overline{G}$-nek az átmérõje $\le 3$.
\ujgyak \label{gyak7-78}
Legyen $G=(V,E)$ olyan gráf, hogy $\vert V\vert=n$ és $G \cong \overline{G}$ teljesül. 
(Tehát a G gráf \textit{komplementerével megegyezõ}:
$V$-nek van olyan $\varphi$ permutációja, hogy $u \adj v$ pontosan akkor, ha $\varphi(u) \nadj \varphi(v)$ és $u \neq v$.
Elképzelhetõ, hogy $K_n$ élei fekete vagy fehér színnel vannak színezve; a fehér élek egy olyan gráfot definiálnak, 
amely izomorf a fekete élek gráfjával.)

(a) Bizonyítsuk be, hogy $n \mod 4$ értéke $0$ vagy $1$ lehet. Készítsünk ábrát minden olyan gráfhoz, amelyre $n<8$ teljesül.

(b) Bizonyítsuk be, hogy ha $n \mod 4=0$, akkor a $\varphi$ permutációban lévõ minden kör hosszúsága $4$ többszöröse.

(c) Megfordítva, minden $\varphi$ permutációban, amelyben elõfordul ilyen kör, valamilyen G gráfból adódik.

(d) Terjesszük ki az eredményeinket az $n \mod 4=1$ esetre.
\ujgyak \label{gyak7-79} \sz{M22}
Legyen adva $k \ge 0$. Készítsünk egy olyan gráfot, amelynek csúcsai ${0,1,\ldots,4k}$, valamint reguláris és 
komplementerével megegyezõ.
\ujgyak \label{gyak7-80} \sz{M22}
A \ref{gyak7-77}. gyakorlatból következõen a komplementerével megegyezõ gráfoknak $2$ vagy $3$ lehet az átmérõje. 
Ha adva van $k \ge 2$, készítsünk komplementerével megegyezõ gráfot mindkét lehetséges átmérõre, amikor

(a) $V = \{1,2,\ldots,4k\}$; (b) $V = \{0,1,2,\ldots,4k\}$.
\ujgyak \label{gyak7-81} \sz{20}
Egy egyszerû, körmentes irányított gráf komplementere (35) és (36) kiterjesztésével történik úgy, hogy
$\underline{D}$-ben $u\to v$ akkor és csakis akkor teljesül, ha $D$-ben $u \neq v$ és $u\not\to v$.
Melyek a $3$-rendû, komplementerükkel megegyezõ irányított gráfok?
\ujgyak \label{gyak7-82} \sz{M21}
A vonal gráf következõ állításai közül melyek igazak és melyek hamisak?

(a) Ha $G$-t tartalmazza $G'$, akkor $L(G)$ indukált részgráfja $L(G')$-nek.

(b) Ha $G$ reguláris gráf, akkor $L(G)$ is az.

(c) $L(K_{m,n})$ reguláris minden $m,n>0$-ra.

(d) $L(K_{m,n,r})$ reguláris minden $m,n,r>0$-ra.

(e) $L(K_{m,n})\cong K_m\cprod K_n$.

(f) $L(K_4) \cong K_{2,2,2}$.

(g) $L(P_{n+1}) \cong P_n$.

(h) $G$ és $L(G)$ gráfoknak ugyanannyi komponense van.
\ujgyak \label{gyak7-83} \sz{16}
Ábrázoljuk az $\overline{L(K_5)}$ gráfot.
\ujgyak \label{gyak7-84} \sz{M21}
Az $L(K_{3,3})$ gráf komplementerével megegyezõ?
\ujgyak \label{gyak7-85} \sz{M22}
(O. Ore,\angolnevindex{Ore, \O ystein} 1962.) Mely $G$ gráfokra igaz, hogy $G \cong L(G)$?
\ujgyak \label{gyak7-86} \sz{M20}
(R. G. Wilson.\angolnevindex{Wilson, Richard Michael}) Keressünk olyan $6$-od rendû G gráfot, melyre igaz, 
hogy $\underline{G} \cong L(G)$.
\ujgyak \label{gyak7-87} \sz{20}
A Petersen-gráf

(a) $3$ színezhetõ?

(b) $3$ él-színezhetõ?
\ujgyak \label{gyak7-88} \sz{M20}
A $W_n = K_1 \adj C_{n-1}$ gráfot $n$-ed rendû \textit{keréknek} nevezzük, ha $n \ge 4$.
Hány kör található benne, mint részgráf?

\textbf{IDE KELL a $W_8$ "KERÉK" ÁBRÁJA}

%%%\hangindent-.75in\hangafter-2\hfill\rlap{\hbox to.75in{\hfil
%%%\smash{\lower7pt\vbox{\halign{\hfil#\hfil\cr
%%%\epsfxsize=.3in\epsfbox{\figdir/v4a.88}\cr
%%%\noalign{\vskip-3pt}\eightpoint$W_8$\cr}}}\qquad}} 
\ujgyak \label{gyak7-89} \sz{M20}
Bizonyítsuk be a (\ref{keplet7-42}) és (\ref{keplet7-43}) asszociatív szabályokat.
\ujgyak \label{gyak7-90} \sz{M24}
Egy gráfot {\it generáltnak} nevezünk, ha az 1 elemû gráfból algebrailag konstruálható 
a komplementer képzés és/vagy a direkt összeg mûveleteket használva. Például $4$ darab nem izomorf
$3$-ad rendû gráf létezik, és ezek mindegyike generált: $\overline{K_3}=K_1\dirsum K_1\dirsum K_1$ és
a komplementere, $K_3$; $\overline{K_{1,2}}=K_1\dirsum K_2$ és a komplementere, $K_{1,2}$, ahol
$K_2=\overline{K_1\dirsum K_1}$.

Hosszú felsorolás munkája árán kiderül, hogy $11$ darab nem izomorf $4$-ed rendû gráf létezik.
Adjunk algebrai kifejezéseket, amellyel bebizonyíthatjuk, hogy közülük $10$ generált. Melyik nem az?
\ujgyak \label{gyak7-91} \sz{20}
Készítsünk ábrát a $4$ csúcsú gráfokhoz, amelyekre

(a) $K_2\cprod K_2$ (b) $K_2\dprod K_2$; (c) $K_2\sprod K_2$; (d) $K_2\oprod K_2$; (e) $K_2\lprod K_2$; (f) $\overline{K_2}\lprod K_2$; 
(g) $K_2\lprod\overline{K_2}$.
\ujgyak \label{gyak7-92} \sz{21}
A gráfok szorzatára definiált $5$-féle lehetõség mûködik egyszerû irányított gráfokra és közönséges gráfokra is.
Készítsünk ábrát a $4$ csúcsú irányított gráfokhoz, amelyekre

(a)~$K\orie_{2}\cprod K\orie_{2}\,$;
(b)~$K\orie_{2}\dprod K\orie_{2}\,$;
(c)~$K\orie_{2}\sprod K\orie_{2}\,$;

(d)~$K\orie_{2}\oprod K\orie_{2}\,$;
(e)~$K\orie_{2}\lprod K\orie_{2}\,$. 
\ujgyak \label{gyak7-93} \sz{15}
A gráf szorzatok közül melyek viszik át $K_m$ és $K_n$-et $K_{mn}$-be?
\ujgyak \label{gyak7-94} \sz{10}
Az SGB \textit{szó}-gráfok\index{szógráf@\textit{szó}-gráf = \textit{words} graph} a $P_{26}\cprod P_{26}\cprod P_{26}\cprod P_{26}\cprod P_{26}$ indukált részgráfjai?
\ujgyak \label{gyak7-95} \sz{M20}
Ha a $G$ gráf $u$ csúcsának $d_u$ a foka, a $H$ gráf $v$ csúcsának $d_v$ a foka, akkor mennyi a foka az $(u,v)$ csúcsnak a
következõ gráfokban:

(a)~$G\cprod H$?
(b)~$G\dprod H$?
(c)~$G\sprod H$?
(d)~$G\oprod H$?
(e)~$G\lprod H$?
\ujgyak \label{gyak7-96} \sz{M22}
Legyen $A$ $m \times m'$-es mátrix $a_{uu'}$ elemekkel az $u$ sorban és $u'$ oszlopban; 
Legyen $B$ $n \times n'$-es mátrix $b_{vv'}$ elemekkel z $v$ sorban és $v'$ oszlopban. Az $A \otimes B$ \textit{direkt szorzat} 
egy $mn \times m'n'$-es mátrix $a_{uu'}b_{vv'}$ elemekkel az $(u,v)$ sorban és $(u',v')$ oszlopban. Ennél fogva 
$A \otimes B$ a $G \otimes H$ szomszédsági mátrixa lesz, ha $A$ és $B$ rendre a $G$, illetve $H$ szomszédsági mátrixai.

Keressünk hasonló formulákat a következõ mûveletek szomszédsági mátrixára:
(a)~$G\cprod H$;
(b)~$G\sprod H$;
(c)~$G\oprod H$;
(d)~$G\lprod H$.
\ujgyak \label{gyak7-97} \sz{M25}
Keressünk annyi érdekes kapcsolatot a gráf szorzások és összeadások között, amennyit csak tudunk.
(Például az $(A \oplus B) \otimes C = (A \otimes C) \oplus (B \otimes C)$ disztributív szabály 
a mátrixok direkt összegére és szorzatára
indukálja, hogy $(G\dirsum G')\dprod H=(G\dprod H)\dirsum(G'\dprod H)$. Teljesül például az is, hogy 
$\overline{K_m}\cprod H=H\dirsum\cdots\dirsum H$, H-nak $m$ példányára, stb.)
\ujgyak \label{gyak7-98} \sz{M20}
Ha a $G$ gráfnak $k$ komponense van, a $H$ gráfnak pedig $l$ komponense, akkor hány komponense van 
$G\cprod H$-nak és $G\sprod H$-nak?
\ujgyak \label{gyak7-99} \sz{M20}
Legyen $d_G(u,u')$ a $G$ gráfban az $u$ és $u'$ csúcsok távolsága. Bizonyítsuk be, hogy 
%$d_{G\subsqprod H}((u,v),(u',v'))=
$d_{G\cprod H}((u,v),(u',v'))=
d_G(u,u')+d_H(v,v')$, és keressünk hasonló formulát $d_{G\sprod H}((u,v),(u',v'))$-re.
\vspace{-1mm}
\ujgyak \label{gyak7-100} \sz{M21}
Mely összefüggõ gráfok $G\dprod H$ összefüggõek?
\ujgyak \label{gyak7-101} \sz{M25}
Keressük meg az összes olyan összefüggõ $G$ és $H$ gráfot, amelyekre $G\cprod H\cong G\dprod H$.
\vspace{-4mm}
\ujgyak \label{gyak7-102} \sz{M20}
Milyen egyszerû algebrai formulát lehet adni a {\it király lépés} gráfjára egy $m \times n$-es táblán?
(Egy lépést tesz vízszintesen, függõlegesen vagy átlósan.)
\ujgyak \label{gyak7-103} \sz{20}
Fejezzük be a (\ref{keplet7-54})-es tablót. Ezen kívül alkalmazzuk a H algoritmust a $866444444$ sorozatra.
\ujgyak \label{gyak7-104} \sz{18}
Magyarázzuk el az $i,t,r$ változók manipulálását a H3 és H4 lépésben.
\ujgyak \label{gyak7-105} \sz{M34}
Tegyük fel, hogy $d_1 \ge \cdots \ge d_n \ge 0$, és legyen $c_1 \ge \cdots c_{d_1}$ ennek konjugáltja, úgy mint 
a H algoritmusban. Bizonyítsuk be, hogy $d_1 \ldots d_n$ pontosan akkor grafikus, ha $d_1+ \cdots + d_n$ páros és 
$d_1 + \cdots + d_k \le c_1 + \cdots c_k -k$, ahol $1 \le k \le s$ és $s$ az a maximális érték, melyre $d_s \ge s$.
\ujgyak \label{gyak7-106} \sz{20}
Igaz-e a következõ állítás: Ha $d_1 = \cdots = d_n = d <n$ és $nd$ páros, akkor a H algoritmus {\it összefüggõ gráfot} konstruál.
\ujgyak \label{gyak7-107} \sz{M21}
Bizonyítsuk be, hogy egy komplementerével megegyezõ gráf $d_1 \ldots d_n$ foksorozata $1 \le j \le n/2$-re teljesíti a $d_j+d_{n+1-j}=n-1$ és
a $d_{2j-1}=d_{2j}$ egyenlõségeket.
\ujgyak \label{gyak7-108} \sz{M23}
Tervezzünk egy olyan H algoritmushoz hasonló algoritmust, amely adott ${1, \ldots, n}$ csúcsok és
azokhoz tartozó $d_k^{-}$ és a $d_k^{+}$ be- és kifokok esetén
{ó\textit egyszerû irányított gráfot} konstruál, ha létezik egyáltalán ilyen gráf.
\ujgyak \label{gyak7-109} \sz{M20}
Tervezzünk egy olyan H algoritmushoz hasonló algoritmust, amely adott ${1, \ldots, m+n}$ csúcsok és azokhoz 
tartozó $d_k$ fokszámok esetén \textit{páros gráfot}
konstruál, ha létezik egyáltalán ilyen gráf; Minden $j \adj k$ élre teljesülnie kell, hogy $j \le m$ és $k>m$.
\ujgyak \label{gyak7-110} \sz{M22}
A H algoritmus használata nélkül mutassunk egy direkt konstrukciót arra, hogy ha $n>d1 \ge \cdots \ge d_n \ge d_1-1$ és
$d_1 + \cdots + d_n$ páros, akkor a $d_1, \ldots, d_n$ grafikus.
\ujgyak \label{gyak7-111} \sz{25}
Legyen adva a $G$ gráf a $V=\{1,\ldots,n\}$ csúcsokkal, és legyen $d_k$
a $k$ foka és $\max(d_1,\ldots,$ $d_n)=d$. Bizonyítsuk be, hogy létezik egy olyan $N$ egész, $n\le N \le 2n$ és egy 
$H$ gráf, amelynek csúcsai $\{1,\ldots,N\}$ úgy, hogy $H$ reguláris $d$ fokkal és $H\rest V=G$. 
Magyarázzuk meg, hogy miként lehet ilyen reguláris gráfot készíteni a lehetõ legkisebb $N$ esetén. 
\ujgyak \label{gyak7-112} \sz{20}
A \textit{mérföldek}$(128,0,0,0,0,127,0)$
hálóban van három, egyenlõ távolságra lévõ város?
Ha nem, akkor mely $3$ város van a legközelebb az egyenlõ oldalú háromszög elrendezéshez?
\ujgyak \label{gyak7-113} \sz{05}
Ha $H$ egy hipergráf $m$ éllel és $n$ csúccsal,
akkor mennyi sora és oszlopa van az elõfordulási mátrixának?
\ujgyak \label{gyak7-114} \sz{M20}
Tegyük fel, hogy a (\ref{keplet7-26})-ban lévõ multigráfot hipergráfnak tekintjük.
Mi az ennek megfelelõ elõfordulási mátrix? Mi az ennek megfelelõ páros gráf?
\ujgyak \label{gyak7-115} \sz{M20}
Ha $B$ a $G$ gráfnak az elõfordulási mátrixa, akkor mi a 
$B^TB$ és $BB^T$ szimmetrikus mátrixok jelentõsége?
\ujgyak \label{gyak7-116} \sz{M17}
Írja le az éleit a teljes, páros, $r$-egyenletes $K^{(r)}_{m,n}$ hipergráfnak.
\ujgyak \label{gyak7-117} \sz{M22}
Hány, egymással nem izomorf 1-egyenletes hipergráfnak van $m$ éle és $n$ csúcsa? (Többszörös él elõfordulhat.) 
Soroljuk fel az összeset $m=4$ és $n=3$ esetén.
\ujgyak \label{gyak7-118} \sz{M20}
A \idez{hipererdõ} egy olyan hipergráf, ami körmentes.

Ha egy hipererdõnek $m$ éle, $n$ csúcsa, és $p$ komponense van, akkor mennyi lesz a csúcsai fokszámának összege?
\ujgyak \label{gyak7-119} \sz{M18}
Mely hipergráf feleltethetõ meg a (60)-nak a $(\bar x_1\lor\bar x_2\lor\bar x_3)$ záró tagot elhagyva?
\ujgyak \label{gyak7-120} \sz{M20}
Definiáljuk az {\it irányított hipergráfot} az irányított gráfok általánosításával. 
\ujgyak \label{gyak7-121} \sz{M19}
Legyen adva a $H=(V,E)$ hipergráf, és legyen $I(H)=(V,F)$, ahol 
$F$ a $H$ összes maximálisan független halmazainak családja.

Fejezzük ki $\chi(H)$-t a \/ $\vert V\vert$, $\vert F\vert$, és az $\alpha(I(H)^T)$ segítségével. 
\ujgyak \label{gyak7-122} \sz{M24}
Találjunk egy maximálisan független halmazt és egy minimális színezést a következõ hármas rendszereknek:

(a) (\ref{keplet7-56}) hipergráf; (b) a Petersen gráf duálisa.
\ujgyak \label{gyak7-123} \sz{17}
Mutassuk meg, hogy a $K_n\cprod K_n$ optimális színezései ekvivalensek egy híres kombinatorikai probléma megoldásával.
\ujgyak \label{gyak7-124} \sz{M22}
Mi a \textit{Chvátal-gráf}\angolnevindex{Chvátal, Václav} (2(f) ábra) színezési száma?
\ujgyak \label{gyak7-125} \sz{M48}
Milyen $g$ értékhez van 4-reguláris, 4-színezési számú, $g$ kerületû gráf? 
\ujgyak \label{gyak7-126} \sz{M22}
Találjunk optimális színezést a $C_m\sprod C_n$ \idez{\textit{király alapú tórusznak}}, ha $m,n \ge 3$.
\ujgyak \label{gyak7-127} \sz{M22}
Bizonyítsuk be, hogy (a) $\chi(G)+\chi(\overline G)\le n+1$ és 
(b) $\chi(G)\chi(\overline G)\ge n$ ha 
$G$ ~$n$-ed rendû gráf, 
és találjunk olyan gráfokat, ahol egyenlõség áll fenn.
\ujgyak \label{gyak7-128} \sz{M18}
Fejezzük ki $\chi(G\cprod H)$-t a $\chi(G)$ és $\chi(H)$-vel, ahol $G$ és $H$ gráfok.
\ujgyak \label{gyak7-129} \sz{23}
Írjuk le a $8\times 8$-as (\ref{keplet7-37}) \textit{királynõ gráfnak} a maximális klikkjeit.
\ujgyak \label{gyak7-130} \sz{M20}
Hány maximális klikkje van egy teljes, $k$-paritású gráfnak?
\ujgyak \label{gyak7-131} \sz{M20}
Legyen $N(n)$ az $n$ csúcsú gráf maximális klikkjeinek legnagyobb lehetséges száma. 
Bizonyítsuk be, hogy $3^{\lfloor n/3\rfloor}\le N(n)\le 3^{\lceil n/3\rceil}$.
\ujgyak \label{gyak7-132} \sz{M20}
$G$-t \textit{alig színezhetõnek}\gyakindex{alig színezhetõ gráf = tightly colorable graph}
\index{gráf = graph!alig színezhetõ gráf = tightly colorable graph} nevezzük, ha $\chi(G)=\omega(G)$.
Bizonyítsuk be, hogy $\chi(G\sprod H)=\chi(G)\chi(H)$ ha $G$ és $H$ alig színezhetõek.
\ujgyak \label{gyak7-133} \sz{21}
\parshape 12
0pt 212.51pt
0pt 204.45pt
0pt 198.75pt
0pt 194.93pt
0pt 192.72pt
0pt 192pt
0pt 192.72pt
0pt 194.93pt
0pt 198.75pt
0pt 
204.45pt
0pt 212.51pt
0pt 224.04pt
Az itt látható \idez{\textit{zenei gráf}} egy kellemes lehetõséget ad arra, hogy áttekintsünk számos definíciót, 
amit ebben a részben adtunk meg, hiszen a tulajdonságai könnyen elemezhetõk.  Határozzuk meg a  
(a) \textit{rendjét};
(b) \textit{méretét};
(c) \textit{kerületét};
(d) \textit{átmérõjét};
(e) $\alpha(G)$ \textit{függetlenségi számát};
(f) $\chi(G)$ \textit{színezési számát};
(g) $\chi(L(G))$ \textit{él-színezési számát};
(h) $\omega(G)$ \textit{klikk számát};
(i) algebrai alakját jól ismert kisebb gráfok szorzataként.

Mekkora a mérete 
(j) egy \textit{minimum csúcs lefedésnek}?
(k) a \textit{maximális illesztésnek}?

A $G$ gráf
(l) reguláris?
(m) síkgráf?
(n) összefüggõ?
(o) irányított?
(p) szabad fa?
(q) Hamilton-gráf?
   
IDE ÁBRA KELL      
%%%\smash{\raise3pt\rlap{\epsfbox{\figdir/v4a.1812}}}\par} 
\ujgyak \label{gyak7-134} \sz{M22}
Hány \textit{automorfizmusa} van a zenei gráfnak?
\ujgyak \label{gyak7-135} \sz{F26}
Tegyük fel, hogy egy zeneszerzõ tesz egy \textit{véletlen lépést} a \textit{zenei gráfban} a $C$ csúcsból kiindulva, 
és utána minden lépésnél $5$ ehhez teljesen hasonló döntést hoz. Mutassuk meg, hogy páros számú lépés után, 
több az esélye, hogy a séta a $C$ csúcsban fejezõdik be, mint bármely más csúcsban. Egy $12$ lépéses sétánál 
mennyi a pontos valószínûsége annak, hogy a séta a $C$-bõl $C$-be megy?
\ujgyak \label{gyak7-136} \sz{HM23}
Egy \textit{Cayley irányított gráf} egy olyan irányított gráf, amelynek $V$ csúcsai egy adott csoport elemei, és amelynek 
irányított élei $v\dadj v\alpha_j$, ahol $1\le j\le d$ és minden csúcsa $v$,
ahol $(\alpha_1,\ldots,\alpha_d)$ fix elemek a csoportban.

A \textit{Cayley-gráf} egy olyan Cayley irányított gráf, ami egyben gráf is.
A \textit{Petersen-gráf} Cayley-gráf? 
\ujgyak \label{gyak7-137} \sz{M25}
({\it Általánosított tóruszok.}) Egy $m\times n$-es tórusz tekinthetõ a sík egy felosztásának. 
Képzeljük el például, hogy az (\ref{keplet7-50})-beli $3\times 4$-es tórusz végtelen sok másolata 
el van helyezve egy rácsban, ahogy ez a fenti ábra bal oldalán látható; egy megadott csúcsból tudunk mozogni északra, 
délre, keletre, vagy nyugatra a tórusz egy másik csúcsába. A csúcsok itt meg vannak számozva, tehát egy észak lépés a
~$v$-bõl a $(v+4)\mod 12$-be megy, és egy kelet lépés $(v+3)\mod 12$-be stb. 
A jobb oldali ábra ugyanazt a tóruszt mutatja más alakú elrendezéssel; 
\textit{Bármely} utat választjuk a $12$ lehetséges útból: 
$\{0,1,\ldots,11\}$, az ki fogja parkettázni a síkot, pontosan ugyanazzal az alapul vett gráffal.

Ha egy alakzatnak az eltolt másolatát alkalmazzuk, akkor is ki fogják parkettázni a síkot, 
ha \textit{általánosított} tóruszt alkotnak, 
amennyiben az $(x,y)$ cella ugyanannak a csúcsnak felel meg, mint az $(x+a,y+b)$ és $(x+c,y+d)$ cellák, 
ahol $(a,b)$ és $(c,d)$ egész vektorok, valamint $n=ad-bc>0$. 
Az általánosított tórusznak $n$ pontja lesz. Ezek az $(a,b)$ és $(c,d)$ vektorok  
$(4,0)$ és $(0,3)$ értékûek a fenti $3\times 4$-es példában; amikor pedig az értékük
$(5,2)$ és $(1,3)$, akkor 
\begin{equation}
%%%\vcenter{\epsfbox{\figdir/v4a.1522}}\koz.\
\mbox{IDE ÁBRA KELL}
\end{equation}
Itt $n=13$, és egy észak lépés $v$-bõl
$(v+4)\mod 13$-ba megy; egy kelet lépés $(v+1)\mod 13$-be. Bizonyítsuk be, hogy ha $lnko(a,b,c,d)=1$, 
akkor az ilyen általánosított tóruszok csúcsaihoz mindig hozzá lehet rendelni 
$\{0,1,\ldots,n{-}1\}$ egész címkéket oly módon, hogy 
a $v$ szomszédai $(v\pm p)\mod n$ és $(v\pm q)\mod n$
valamilyen $p$ és $q$ egész értékekre.
\ujgyak \label{gyak7-138} \sz{F27}
A \ref{gyak7-137}. gyakorlatot folytatva, mi lehet egy jó módszer a 
$k$-dimenziós $x=(x_1,\ldots,x_k)$ csúcsok egy címkézéséhez, 
amikor adottak $\alpha_j$ egész vektorok úgy, hogy minden ~$x$ vektor ekvivalens 
$x+\alpha_j$-vel, ahol $1\le j\le k$?
 
Illusztráljuk a módszert a $k=3$,
$\alpha_1=(3,1,1)$, $\alpha_2=(1,3,1)$, $\alpha_3=(1,1,3)$ esetben.
\ujgyak \label{gyak7-139} \sz{M22}
Legyen $H$ egy $h$-ad rendû fix gráf, és legyen 
$\#(H{:}G)$ azon elõfordulások száma, amikor a $H$ elõfordul egy adott $G$ gráf {\it indukált részgráfjában}. 
Ha $G$-t véletlenszerûen választjuk ki a $V=\{1,2,\ldots,n\}$ csúcsú, összesen $2^{n(n-1)/2}$ gráf közül, 
mennyi az átlagos értéke $\#(H{:}G)$-nek, ha $H$ 
(a)~$K_h$; (b)~$P_h$, ahol $h>1$; (c)~$C_h$, ahol $h>2$; (d)~tetszõleges?
\ujgyak \label{gyak7-140} \sz{M30}
A $G$ gráfot \textit{arányosnak} nevezzük, ha az indukált részgráfjainak száma 
$\#(K_3{:}G)$, $\#(\overline{K_3}{:}G)$, és
$\#(P_3{:}G)$, amelyek mindegyike megfelel a \ref{gyak7-139}. gyakorlatban kiszámolt értékeknek.
\begin{itemize}
\item
Mutassuk meg, hogy a $W_8$ \textit{kerék gráf}\gyakindex{kerék gráf = wheel graph}\gyakindex{gráf = graph!kerék gráf = wheel graph} 
a \ref{gyak7-88}. gyakorlatban arányos ebben az értelemben.
\item Bizonyítsuk be, hogy $G$ pontosan akkor arányos, ha $\#(K_3{:}G)=
\frac{1}{8}\binom{n}{n3}$ és a csúcsainak $d_1\ldots d_n$ \textit{foksorozata}\gyakindex{foksorozat = degree sequence} 
kielégíti a következõ egyenlõségeket: 
$$d_1+\cdots+d_n=\Bigl(\binom{n}{2}\Bigr),\qquad
  %d_1^2+\cdots+d_n^2=\fraction{n}{2}\Bigl(\binom{n}{2}\Bigr)\koz.\EQNO(*)$$ 
d_1^2+\cdots+d_n^2=\frac{n}{2}\Bigl(\binom{n}{2}\Bigr)\koz.\hfill (*)$$
\end{itemize}
\ujgyak \label{gyak7-141} \sz{26}
A \ref{gyak7-140}(b) gyakorlatban leírt feltétel csak akkor áll fenn, ha $n\mod 16\in \{0,1,8\}$. 
Írjunk programot az összes olyan arányos gráf megtalálására, aminek $n=8$ csúcsa van.
\ujgyak \label{gyak7-142} \sz{M30}
(S. Janson\angolnevindex{Janson, Carl Svante} és J. Kratochvíl,\angolnevindex{Kratochvíl, Jan} 1991.) 
Bizonyítsuk be, hogy egy $4$ vagy több csúcsú $G$ 
gráf sem lehet \idez{túlarányos} abban az értelemben, hogy a $(H{:}G)$ részgráf száma  
megegyezik a \ref{gyak7-139}. gyakorlatban kiszámolt értékkel mind a $11$ lehetséges nemizomorf 4-ed rendû $H$ gráfban.
\textit{Útmutató:} $(n-3)\# (K_3{:}G)= 4\# (K_4{:}G)+2\# (K_{1,1,2}{:}G)+\# (K_1{\dirsum}K_3{:}G)$.
\ujgyak \label{gyak7-143} \sz{M25}
Legyen $A$ tetszõleges mátrix, melynek $m>1$ {\it különbözõ sora}, és $n\ge m$ oszlopa van. 
Bizonyítsuk be, hogy legalább egy oszlopát törölhetjük az $A$-nak 
anélkül, hogy a mûvelet után 2 megegyezõ sor keletkezne.
\ujgyak \label{gyak7-144} \sz{21}
Legyen $X$ egy $m\times n$-es mátrix, amelynek $x_{ij}$ elemei 0,~1, vagy ~$\ast$. 
Az $X$ mátrix \textit{kiegészítése}\gyakindex{mátrix kiegészítése = completion of a matrix} egy olyan $X^\ast$
 mátrix, ahol minden $\ast$-ot $0$-ra vagy $1$-re cserélünk ki. 
Bizonyítsuk be, hogy a lehetõ legkevesebb sorral rendelkezõ kiegészítõ 
mátrix meghatározásának problémája ekvivalens egy gráf 
\textit{színezési számának}\gyakindex{színezési szám = chromatic number} megkeresésével.
\ujgyak \label{gyak7-145} \sz{25}
(R. S. Boyer\angolnevindex{Boyer, Robert Stephen} és J. S. Moore,\angolnevindex{Moore, Ronald Williams} 1980.) 
Tegyük fel, hogy az $a_1\ldots a_n$ tömb tartalmaz egy \textit{gyakori elemet},\gyakindex{gyakori elem = majority element} 
nevezetesen egy értéket, ami több, mint $n/2$ alkalommal elõfordul. Készítsünk olyan algoritmust, ami megtalálja az 
elemet kevesebb, mint $n$ összehasonlítással.
\textit{Útmutatás}: Ha $n \ge 3$ és $a_{n-1}\neq a_n$, akkor az $a_1\ldots a_n$
gyakori eleme egyben gyakori eleme az $a_1\ldots a_{n-2}$-nek is.
\end{gyak}
}

\newpage
{
\quoteformat
Yet now and then your men of wit
Will condescend to take a bit.
\author JONATHAN SWIFT, \textsl{Cadenus and Vanessa} (1713) \cite{Swift1713}
\angolnevindex{Swift, Jonathan Dean (1667--1745)}
}
{
\quoteformat
If the base 2 is used the resulting units may be called binary digits,
or more briefly \textrm{bits}, a word suggested by J. W. Tukey.
\author CLAUDE E. SHANNON, (1948) \cite{Shannon1948}
\angolnevindex{Shannon, Claude Elwood, Jr. (1916--2001)}
}
{
\quoteformat
bit (bit), {\rm n} .\thinspace.\thinspace.~[A] boring tool \ldots 
JESS STEIN AND LAURENCE URDANG \textsl{Random House Dictionary of the English Language} (1966) \cite{Stein1987}
\angolnevindex{Stein, Jess}\angolnevindex{Urdang, Laurence}
}

\markboth{\sf 7. KOMBINATORIKAI KERESÉS (4. kötet 0. rész)}{\sf 7.1. EGYESEK ÉS NULLÁK}
\pagestyle{myheadings}
\section{Egyesek és nullák \label{alfejezet71}}




\markboth{\sf 7. KOMBINATORIKAI KERESÉS (4. kötet 0. rész)}{\sf 7.1.1. LOGIKAI ALAPOK}
\pagestyle{myheadings}
\subsection{Logikai alapok\label{pont711}}
\setcounter{equation}{0}
\index{Boole-függvény = Boolean function|(}


{
\quoteformat
Let us conceive, then, of an Algebra
in which the symbols \textrm{x}, \textrm{y}, \textrm{z}, \&\textrm{c}.\ %
  admit indifferently of
the values \textrm{0} and \textrm{1}, and of these values alone.
\author GEORGE BOOLE \textsl{An investigation of  the Laws of Thought} (1854) \cite[2. fejezet 15. alfejezete]{Boole1854}
\angolnevindex{Boole, George (1815--1864)}
}
\medskip
{
\quoteformat
`Contrariwise,' continued Tweedledee\index{Tweedledee = Tweedledee}, `if it was so, it might be;
and if it were so, it would be;
but as it isn't, it ain't. That's logic.'
\author LEWIS CARROLL \textsl{Through the Looking Glass} (1871) \cite[4. fejezet]{Boole1854}
\angolnevindex{Carroll, Lewis (= Dodgson, Charles Lutwidge, 1832--1898)}
}
\bigskip

Boole \cite{Boole1847,Boole1854}

Jevons \cite[69. \&]{Jevons1864}



\begin{equation}
(x\vee y) \wedge z \ = \ (x \wedge z) \wedge (y \vee z)\koz;\label{keplet711-1}
\end{equation}
\begin{equation}
(x\wedge y)\vee z \ = \ (x\vee z) \wedge (y\vee z)\koz.\label{keplet711-2}
\end{equation}


Peirce \cite{Peirce1867}

Peirce \cite[32. oldal]{Peirce1880}

Megarai Philo \cite{PhiloBC300}\angolnevindex{Philo, Megarai (= Philo the Dialectician, {\grk F'ilwn <o~Megar'iths})}


\begin{table}[t!]
\caption{\label{tablazat71-1}}
\centerline{A TIZENHAT KÉTVÁLTOZÓS LOGIKAI MÛVELET}
\vspace{4mm}
\centering
          \begin{tabular}{cccc}
		  \hline 
igazságtábla & jelölések                                                         & operátor szimbóluma & nevek  \\ \hline
0 0 0 0      &      0                                                            & $\contra$           & ellentmondás \\ \hline
0 0 0 1      &$xy, \ x\wedge y, \ x \& y$                                        & $\land$            & konjunkció; és \\ \hline
0 0 1 0      &$x\land\bar y, \ x\bool{{\not\supset}}y, \ [x>y], \ x\dotminus y$& $\nimp$             &             \\ \hline
0 0 1 1      &           $x$                                                       &$\lproj$           &             \\ \hline
0 1 0 0      &$\bar x\land y, \ x\bool{{\not\subset}}y, \ [x<y], \ y\dotminus x$& $\cnimp$            &             \\ \hline
0 1 0 1      &           $y$                                                       &$\rproj$            &             \\ \hline
0 1 1 0      &$x\xor y, \ x\bool{\not\equiv}y, \ x\bool{\hat{}}y$                & $\xor$             &            \\ \hline
0 1 1 1      &   $x\lor y, \ x|y$                                                & $\lor$              & vagy       \\ \hline
1 0 0 0      &           $y$                                                       & $\nor$            &            \\ \hline
1 0 0 1      &$x\leqv y,\ x\leftrightarrow y,\ x\mathbin\Leftrightarrow y$& $\equiv$           & ekvivalencia  \\ \hline
1 0 1 0      &$\bar y, \ \lnot y, \ !y, \ {\sim}y$                              &$\rcomp$                 &            \\ \hline
1 0 1 1      &$x\lor\bar y, x\cimpl y, x\Leftarrow y,\ [x\ge y], x^y$    & $\cimpl$              & ha          \\ \hline
1 1 0 0      &$\bar x, \ \lnot x, \ !x, \ {\sim}x$                              &$\lcomp$          &            \\ \hline
1 1 0 1      &$\bar x\lor y, x\impl y, x\Rightarrow y, \ [x\le y], y^x$   & $\impl$              & ha \ldots akkor    \\ \hline
1 1 1 0      &$\bar x\lor\bar y,\ \overline{x\land y},\ x\nand y,\ x \vert y$ &$\nand$           &            \\ \hline
1 1 1 1      &           1                                                       & $\affirm$     &            \\ \hline
			\end{tabular}
\end{table}


Galen\angolnevindex{Galenus, Claudius Aelius (129--200)} \cite{Galen150}


Boche$\acute{\textnormal{n}}$ski\angolnevindex{Boche$\acute{\textnormal{n}}$ski, Józef (= Innocenty) Maria (1902--1995)} \cite{Bochenski1956}

Scheffer \cite{Scheffer1913}


Peirce \cite[4. kötet \&\&12--20., 264. oldal]{Peirce1933}

\medskip
\noindent \textbf{Alapvetõ azonosságok.}

Morgan\angolnevindex{De Morgan, Augustus (1806--1871)} \cite{DeMorgan1858}

Ockham\angolnevindex{William of Ockham (= Guilelmus ab Occam, kb. 1285--1348)} \cite{Ockham1323}

Burley \cite{Burley1330}

\medskip
\noindent \textbf{$n$-változós függvények.}


Zsegalkin\angolnevindex{Zsegalkin (= G\'egalkine), Iván Ivanovics, 1869--1947 ({\rus Zhegalkin, Ivan Ivanovich})} \cite{Zhegalkin1928} 

Peirce \cite{Peirce1880}

Bernays \cite{Bernays1918}

Quine \cite{Quine1952}

McCluskey \cite{McCluskey1965}

Fi\v{s}er és Jan Hlavi\v{c}ka \cite{Fiser2003}

\textbf{Q tétel.}

\textit{Bizonyítás.} Quine \cite{Quine1953} A \slug

\textbf{Q következmény.}

\medskip
\noindent \textbf{Kielégíthetõség.}

\medskip
\noindent \textbf{Egyszerû speciális esetek.}

\textbf{H tétel.}

\textit{Bizonyítás.} Horn \cite[7. lemma]{Horn1951} A \slug

\textbf{C algoritmus}

Dowling és Gallier \cite{Dowling1984}

\epskepnagy{\figdir/lisa16}{THE DIGRAPH \ldots  HIBÁS ÁBRA.\label{abra70-6}}{width=4cm}

\textbf{K tétel.}

\textit{Bizonyítás.} Krom \cite[2.2. következmény]{Krom1967} A \slug

Tarjan \cite{Tarjan1972}

Knuth \cite{Knuth1993}

\medskip
\noindent \textbf{Mediánok.}
\setcounter{equation}{42}
\begin{equation}
\langle xyz \rangle \;=
\end{equation}
Post \cite{Post1920}

\noindent \textbf{P tétel.}

\noindent \textit{Bizonyítás.} A \slug

Miiller \cite{Miiller1962}


\medskip
\noindent \textbf{Medián algebrák és medián gráfok.}

\textbf{M lemma.}

\noindent \textit{Bizonyítás.} A \slug

\noindent \textbf{G tétel.}

\noindent \textit{Bizonyítás.} A \slug

\epskepnagy{\figdir/ch7a.31}{INTERVALS -- HIBÁS ÁBRA.\label{abra70-7}}{width=4cm}

\medskip
\noindent \textbf{Medián címkék.}
\setcounter{equation}{62}
\begin{equation}
\epsfbox{\figdir/v4a.81}\label{keplet711-63}
\end{equation}

\noindent \textbf{C tétel.}

\noindent \textit{Bizonyítás.} A \slug

\noindent \textbf{C következmény.}

\noindent \textit{Bizonyítás.} A \slug

Jha \cite{Jha1992}

Hagauer \cite{Hagauer1999}

\noindent \textbf{H algoritmus.}

\noindent \textbf{I szubrutin.}

\begin{table}[t!]
\caption{\label{tablazat71-2}}
\centerline{LABELS ---- NEM JÓ TÁBLÁZAT}
\vspace{4mm}
\centering
          \begin{tabular}{cccc}
		  \hline 
igazságtábla & jelölések                                                         & operátor szimbóluma & nevek  \\ \hline
0 0 0 0      &      0                                                            & $\contra$             & ellentmondás \\ \hline
0 0 0 1      &$xy, \ x\wedge y, \ x \& y$                                        & $\land$            & konjunkció; és \\ \hline
0 0 1 0      &$x\land\bar y, \ x\bool{{\not\supset}}y, \ [x>y], \ x\dotminus y$& $\nimp$             &             \\ \hline
0 0 1 1      &           $x$                                                       &                     &             \\ \hline
0 1 0 0      &$\bar x\land y, \ x\bool{{\not\subset}}y, \ [x<y], \ y\dotminus x$& $\cnimp$            &             \\ \hline
0 1 0 1      &           $y$                                                       &                     &             \\ \hline
0 1 1 0      &$x\xor y, \ x\bool{\not\equiv}y, \ x\bool{\hat{}}y$                & $\xor$                &            \\ \hline
0 1 1 1      &   $x\vee y, \ x|y$                                                & $\lor$              & vagy       \\ \hline
			\end{tabular}
\end{table}


\medskip
\noindent \textbf{*Medián halmazok.}

\noindent \textbf{S tétel.}

\setcounter{equation}{68}
\begin{equation}
\epsfbox{\figdir/v4a.1005}
\end{equation}


\noindent \textbf{F tétel.}

\noindent \textit{Bizonyítás.} Feder \cite{Feder1995} Wiedemann \cite{Wiedemann1986}

\setcounter{equation}{73}

\begin{equation}
\epsfbox{\figdir/v4a.1001}\label{keplet711-74}
\end{equation}

\noindent \textbf{F következmény.} 

\noindent \textit{Bizonyítás.} \slug

Hell \cite{Hell1974}

\medskip
\noindent \textbf{Küszöbfüggvények.}

McCullough és Pitts \cite{McCullough1943}


Chow \cite{Chow1961}

Muroga \cite{Muroga1971}

\medskip
\noindent \textbf{Szimmetrikus Boole-függvények.}

Minnick \cite{Minnick1961}

Sasaki \cite{Muroga1971}

\medskip
\noindent \textbf{Kényszerítõ függvények.}

Kauffman \cite{Kauffman1974}


\medskip
\noindent \textbf{Mennyiségi meggondolások.}

\begin{table}[t!]
\caption{\label{tablazat71-3}}
\centerline{BOOLEAN \ldots $n$ ---- NEM JÓ TÁBLÁZAT}
\vspace{4mm}
\centering
          \begin{tabular}{cccc}
		  \hline 
igazságtábla & jelölések                                                         & operátor szimbóluma & nevek  \\ \hline
0 0 0 0      &      0                                                            & $\contra$             & ellentmondás \\ \hline
0 0 0 1      &$xy, \ x\wedge y, \ x \& y$                                        & $\land$            & konjunkció; és \\ \hline
0 0 1 0      &$x\land\bar y, \ x\bool{{\not\supset}}y, \ [x>y], \ x\dotminus y$& $\nimp$             &             \\ \hline
0 0 1 1      &           $x$                                                       &                     &             \\ \hline
0 1 0 0      &$\bar x\land y, \ x\bool{{\not\subset}}y, \ [x<y], \ y\dotminus x$& $\cnimp$            &             \\ \hline
0 1 0 1      &           $y$                                                       &                     &             \\ \hline
0 1 1 0      &$x\xor y, \ x\bool{\not\equiv}y, \ x\bool{\hat{}}y$                & $\xor$                &            \\ \hline
0 1 1 1      &   $x\vee y, \ x|y$                                                & $\lor$              & vagy       \\ \hline
			\end{tabular}
\end{table}


\begin{table}[t!]
\caption{\label{tablazat71-4}}
\centerline{BOOLEAN \ldots OF VARIABLES ---- NEM JÓ TÁBLÁZAT}
\vspace{4mm}
\centering
          \begin{tabular}{cccc}
		  \hline 
igazságtábla & jelölések                                                         & operátor szimbóluma & nevek  \\ \hline
0 0 0 0      &      0                                                            & $\contra$             & ellentmondás \\ \hline
0 0 0 1      &$xy, \ x\wedge y, \ x \& y$                                        & $\land$            & konjunkció; és \\ \hline
0 0 1 0      &$x\land\bar y, \ x\bool{{\not\supset}}y, \ [x>y], \ x\dotminus y$& $\nimp$             &             \\ \hline
0 0 1 1      &           $x$                                                       &                     &             \\ \hline
0 1 0 0      &$\bar x\land y, \ x\bool{{\not\subset}}y, \ [x<y], \ y\dotminus x$& $\cnimp$            &             \\ \hline
0 1 0 1      &           $y$                                                       &                     &             \\ \hline
0 1 1 0      &$x\xor y, \ x\bool{\not\equiv}y, \ x\bool{\hat{}}y$                & $\xor$                &            \\ \hline
0 1 1 1      &   $x\vee y, \ x|y$                                                & $\lor$              & vagy       \\ \hline
			\end{tabular}
\end{table}



\begin{table}[t!]
\caption{\label{tablazat71-5}}
\centerline{BOOLEAN \ldots /PERMUTATION ---- NEM JÓ TÁBLÁZAT}
\vspace{4mm}
\centering
          \begin{tabular}{cccc}
		  \hline 
igazságtábla & jelölések                                                         & operátor szimbóluma & nevek  \\ \hline
0 0 0 0      &      0                                                            & $\contra$             & ellentmondás \\ \hline
0 0 0 1      &$xy, \ x\wedge y, \ x \& y$                                        & $\land$            & konjunkció; és \\ \hline
0 0 1 0      &$x\land\bar y, \ x\bool{{\not\supset}}y, \ [x>y], \ x\dotminus y$& $\nimp$             &             \\ \hline
0 0 1 1      &           $x$                                                       &                     &             \\ \hline
0 1 0 0      &$\bar x\land y, \ x\bool{{\not\subset}}y, \ [x<y], \ y\dotminus x$& $\cnimp$            &             \\ \hline
0 1 0 1      &           $y$                                                       &                     &             \\ \hline
0 1 1 0      &$x\xor y, \ x\bool{\not\equiv}y, \ x\bool{\hat{}}y$                & $\xor$                &            \\ \hline
0 1 1 1      &   $x\vee y, \ x|y$                                                & $\lor$              & vagy       \\ \hline
			\end{tabular}
\end{table}


{\small
\vspace{8mm}
\textbf{GYAKORLATOK}
\vspace{2mm}
\begin{gyak}
%%% 1
\ujgyak \label{gyak711-1}
\sz{15} (Lewis Carroll\angolnevindex{Carroll, Lewis (= Dodgson, Charles Lutwidge, 1832--1898)})
%%% 2
\ujgyak \label{gyak711-2}
\sz{17}
\vspace{3mm}

\ldots
\vspace{3mm}
\setcounter{gyakcounter}{65}
%%% 66
\ujgyak \label{gyak711-66}
Garcia-Molina és Barbara \cite{GarciaMolina1985}
\vspace{3mm}

\ldots
\vspace{3mm}
\setcounter{gyakcounter}{23}
%%% 24
\ujgyak \label{711-24}
\epsfbox{\figdir/v4a.1999}
\vspace{3mm}

\ldots
\vspace{3mm}
\setcounter{gyakcounter}{55}
%%% 56
\ujgyak \label{711-56}
\epsfbox{\figdir/v4a.85}
\vspace{3mm}

\ldots
\vspace{3mm}
%%% 66
\ujgyak \label{gyak711-66}
\sz{M25} Lamport \cite{Lamport1978} Garcia-Molina \cite{GarciaMolina1985}
%%% 67
\ujgyak \label{gyak711-67}
\sz{M25} 
%%% 67
\ujgyak \label{gyak711-67}
\epsfbox{\figdir/v4a.82}

\epsfbox{\figdir/v4a.83}
\vspace{3mm}
\ldots
\vspace{3mm}
\setcounter{gyakcounter}{87}
%%% 88
\ujgyak\label{gyak711-88}
\epsfbox{\figdir/v4a.1002}
%%% 89
\ujgyak\label{gyak711-89}
%%% 90
\ujgyak\label{gyak711-90}
%%% 91
\ujgyak\label{gyak711-91}
Ajtai \cite{Ajtai1983}
\vspace{3mm}

\ldots
\vspace{3mm}
\setcounter{gyakcounter}{108}
%%% 109
\ujgyak\label{gyak711-109}

\epskepnagy{\figdir/ch7a.32}{OPTIMUM --- HIBÁS ÁBRA.\label{abra70-8}}{width=4cm}

\vspace{3mm}

\ldots
\vspace{3mm}
\setcounter{gyakcounter}{115}
%%% 116
\ujgyak\label{gyak711-116}
\vspace{3mm}

\ldots
\vspace{3mm}
\setcounter{gyakcounter}{132}
%%% 133
\ujgyak \label{gyak711-133} \sz{20}
\end{gyak}
}
\index{Boole-függvény = Boolean function|)}



{
\quoteformat
By and large the minimization of switching components
%outweighs all other engineering\index{??? = engineering} considerations
in designing economical logic circuits.
\author H. A. CURTIS \textsl{A New Approach to the Design of Switching Circuits} (1854) \cite[161. és 162. oldal]{Curtis1962} 
\angolnevindex{Curtis, Herbert Allen}
}

{
\quoteformat
He must be a great calculator indeed who succeeds.
Simplify, simplify.
\author HENRY D. THOREAU, \textsl{Walden; or, Life in the Woods} (1854) \cite[2. fejezet 17. \&]{Thoreau1854}
\angolnevindex{Thoreau, David Henry (= Henry David, 1817--1862)} 
}
\bigskip



\markboth{\sf 7. KOMBINATORIKAI KERESÉS (4. kötet 0. rész)}{\sf 7.1.2. BOOLE-FÜGGVÉNYEK KIÉRTÉKELÉSE}
\pagestyle{myheadings}
\subsection{Boole-függvények kiértékelése\label{pont712}}\angolnevindex{Boole, George (1815--1864)}
\setcounter{equation}{0}
\index{Boole-függvények értékelése = evaluation of Boolean functions|(}
\begin{equation}
(x_1 \wedge x_2) \ldots \label{keplet711-8}
\end{equation}

\epskepnagy{\figdir/ch7a.32}{7.9. ábra. OPTIMUM --- HIBÁS ÁBRA.\label{abra70-9}}{width=4cm}



\medskip
\noindent \textbf{Optimális láncok az $n = 4$ esetre.}

\noindent \textbf{L algoritmus.}

\begin{table}[t!]
\caption{\label{tablazat712-1}}
\centerline{7.6. táblázat. THE NUMBER  ---- NEM JÓ TÁBLÁZAT}
\vspace{4mm}
\centering
          \begin{tabular}{cccc}
		  \hline 
igazságtábla & jelölések                                                         & operátor szimbóluma & nevek  \\ \hline
0 0 0 0      &      0                                                            & $\contra$             & ellentmondás \\ \hline
0 0 0 1      &$xy, \ x\wedge y, \ x \& y$                                        & $\land$            & konjunkció; és \\ \hline
0 0 1 0      &$x\land\bar y, \ x\bool{{\not\supset}}y, \ [x>y], \ x\dotminus y$& $\nimp$             &             \\ \hline
0 0 1 1      &           $x$                                                       &                     &             \\ \hline
0 1 0 0      &$\bar x\land y, \ x\bool{{\not\subset}}y, \ [x<y], \ y\dotminus x$& $\cnimp$            &             \\ \hline
0 1 0 1      &           $y$                                                       &                     &             \\ \hline
0 1 1 0      &$x\xor y, \ x\bool{\not\equiv}y, \ x\bool{\hat{}}y$                & $\xor$                &            \\ \hline
0 1 1 1      &   $x\vee y, \ x|y$                                                & $\lor$              & vagy       \\ \hline
			\end{tabular}
\end{table}


\medskip
\noindent \textbf{*Kiértékelés minimális memóriával.}

\medskip
\noindent \textbf{*A minimális költség meghatározása.}

Aiken \cite{Aiken1951}

Hellerman \cite{Hellerman1963}

\begin{table}[t!]
\caption{\label{tablazat71-7}}
\centerline{7.7. táblázat. THE NUMBER OF FIVE  ---- NEM JÓ TÁBLÁZAT}
\vspace{4mm}
\centering
          \begin{tabular}{cccc}
		  \hline 
igazságtábla & jelölések                                                         & operátor szimbóluma & nevek  \\ \hline
0 0 0 0      &      0                                                            & $\contra$             & ellentmondás \\ \hline
0 0 0 1      &$xy, \ x\wedge y, \ x \& y$                                        & $\land$            & konjunkció; és \\ \hline
0 0 1 0      &$x\land\bar y, \ x\bool{{\not\supset}}y, \ [x>y], \ x\dotminus y$& $\nimp$             &             \\ \hline
0 0 1 1      &           $x$                                                       &                     &             \\ \hline
0 1 0 0      &$\bar x\land y, \ x\bool{{\not\subset}}y, \ [x<y], \ y\dotminus x$& $\cnimp$            &             \\ \hline
0 1 0 1      &           $y$                                                       &                     &             \\ \hline
0 1 1 0      &$x\xor y, \ x\bool{\not\equiv}y, \ x\bool{\hat{}}y$                & $\xor$                &            \\ \hline
0 1 1 1      &   $x\vee y, \ x|y$                                                & $\lor$              & vagy       \\ \hline
			\end{tabular}
\end{table}

Liang \cite{Liang1977}

\medskip
\noindent \textbf{*Az $n = 5$ eset.}

\epskepnagy{\figdir/ch7a.33}{7.10. ábra. OPTIMUM --- HIBÁS ÁBRA.\label{abra70-10}}{width=4cm}

\medskip
\noindent \textbf{*Többszörös kimenetek.}

Redkin \cite{Redkin1981}

\medskip
\noindent \textbf{*Aszimptotikus tények.}

\noindent \textbf{S tétel.}

\noindent \textit{Bizonyítás.} A \slug 

Shannon \cite{Shannon1949}

Lupanov \cite{Lupanov1958}

\noindent \textbf{L tétel.}

\noindent \textit{Bizonyítás.} A \slug 

\medskip
\noindent \textbf{Jó lánc szintetizálása.}

Wood \cite{Wood1910}

\medskip
\noindent \textbf{Tic-tac-toe játék.}

\begin{table}[t!]
\caption{\label{tablazat712-3}}
\centerline{7.8. táblázat. THE NUMBER OF 4-VARIABLE  ---- NEM JÓ TÁBLÁZAT}
\vspace{4mm}
\centering
          \begin{tabular}{cccc}
		  \hline 
igazságtábla & jelölések                                                         & operátor szimbóluma & nevek  \\ \hline
0 0 0 0      &      0                                                            & $\contra$             & ellentmondás \\ \hline
0 0 0 1      &$xy, \ x\wedge y, \ x \& y$                                        & $\land$            & konjunkció; és \\ \hline
0 0 1 0      &$x\land\bar y, \ x\bool{{\not\supset}}y, \ [x>y], \ x\dotminus y$& $\nimp$             &             \\ \hline
0 0 1 1      &           $x$                                                       &                     &             \\ \hline
0 1 0 0      &$\bar x\land y, \ x\bool{{\not\subset}}y, \ [x<y], \ y\dotminus x$& $\cnimp$            &             \\ \hline
0 1 0 1      &           $y$                                                       &                     &             \\ \hline
0 1 1 0      &$x\xor y, \ x\bool{\not\equiv}y, \ x\bool{\hat{}}y$                & $\xor$                &            \\ \hline
0 1 1 1      &   $x\vee y, \ x|y$                                                & $\lor$              & vagy       \\ \hline
			\end{tabular}
\end{table}

Keister \cite{Keister1940}

Babbage \cite{Babbage1864}

\medskip
\noindent \textbf{Funkcionális felbontás.}

Ashenhurst \cite{Ashenhurst1957}

Shen \cite{Shen1971}

\medskip
\noindent \textbf{*Parciális függvények felbontása.}

Hight \cite{Hight1973}

Boros \cite{Boros1995}

Curtis \cite{Curtis1961}

Curtis \cite{Curtis1976}

Karp \cite{Karp1963}


\medskip
\noindent \textbf{$n$ nagyobb értékei.}

Brayton \cite{Brayton1990}

Micheli \cite{Micheli1994}

\medskip
\noindent \textbf{Alsó korlátok.}

Blum \cite{Blum1984}

Stockmeyer \cite{Stockmeyer1974}

Büchi \cite{Buchi1960,Elgot1961}

Stockmeyer \cite{Stockmeyer2002}

\medskip
\noindent \textbf{További olvasnivaló.}

Wegener \cite{Wegener1987}

Razborov \cite{Razborov1985,Razborov1985b}

{\small
\vspace{8mm}
\textbf{GYAKORLATOK}\small
\vspace{2mm}
\begin{gyak}
%%% 1
\ujgyak \label{gyak712-1}
\sz{24}
%%% 2
\ujgyak \label{gyak712-2}
\sz{21}
\vspace{3mm}

\textbf{\ldots}
\vspace{3mm}
\setcounter{gyakcounter}{87}
%%% 88
\ujgyak \label{gyak712-88}
\sz{25}
\end{gyak}
}
\index{Boole-függvények értékelése = evaluation of Boolean functions|)}


\chapter*{MEGOLDÁSOK}
\addcontentsline{toc}{chapter}{MEGOLDÁSOK}
\markboth{\sf 7. KOMBINATORIKUS ELEMZÉS (4. kötet, 0. rész)}{\sf 7.0. ALFEJEZET GYAKORLATAINAK MEGOLDÁSA}
\pagestyle{myheadings}
\section*{A 7.0. alfejezet gyakorlatainak megoldása}
\addcontentsline{toc}{section}{A 7.0. alfejezet gyakorlatainak a megoldása}
\small{
\begin{gyak}
%%% 1
\ujgyak \label{megold70-1} \cite{Davies1959}
%%% 2
\ujgyak \label{megold70-2} \cite{Leahy1952}

\cite{Skolem1957} \cite{Simpson1983}

\cite{Knuth1994} 
\vspace{3mm}
\textbf{\ldots}
\vspace{3mm}
\setcounter{gyakcounter}{7}
%%% 8
\ujgyak \label{megold70-8} Langford \cite{Langford1958}

Baron \cite{Baron1970}

Knuth \cite{Knuth2000b}

Ibn \cite{Ibn1322}

Doutte \cite{Doutte1909}

Ahrens \cite{Ahrens1917}

Andersen \cite{Andersen2007}

Sauveur \cite{Sauveur1710}

Mann \cite{Mann1944}
\setcounter{gyakcounter}{13}
%%% 14
\ujgyak \label{megold70-14}
%%% 15
\ujgyak \label{megold70-15}
Brown \cite{Brown1993}

Ganter \cite{Ganter1978}

Weisner \cite{Weisner1963}

McKay \cite{McKay2007}

Wang \cite{Wang1978}

Todorov \cite{Todorov1985}
%%% 16
\ujgyak \label{megold70-16}
Brualdi \cite[§8.2.]{Brualdi1991}
%%% 17
\ujgyak \label{megold70-17}
%%% 18
\ujgyak \label{megold70-18}
Rao \cite{Rao1949}
%%% 19
\ujgyak \label{megold70-19}
Moore \cite{Moore1896a,Moore1896b}

\cite[12. és 13. fejezet]{Hall1967}
%%% 20
\ujgyak \label{megold70-20}
%%% 21
\ujgyak \label{megold70-21}
%%% 22
\ujgyak \label{megold70-22}
Bruck \cite{Bruck1951,Bruck1963}

\cite{Golomb1964}

Hsiao \cite{Hsiao1970}

\cite{Leighton1992}

\cite{Gordon1990}

\cite{McManus1992}

Morris \cite{Morris1994}

Cohen \cite{Cohen1977}

Grant \cite{Grant1978}

Kempe \cite{Kempe1886} 

Dudeney \cite{Dudeney1913}

Redei \cite{Redei1934}

Szele \cite{Szele1943}

Landau \cite{Landau1953}

Harary \cite{Harary1962}

Brown,  Brown \cite{Brown1967a,Brown1967b}

Aschbacher \cite{Aschbacher1971}


\vspace{3mm}
\textbf{\ldots}
\vspace{3mm}
%%% 68
\setcounter{gyakcounter}{68}
\ujgyak \label{megold7-69}
Elõször legyen $\texttt{BEFOK}(v)\gets 0$ minden $v$ csúcsra. 
Utána alkalmazzuk (\ref{keplet7-31})-et minden $v$-re, és legyen $u\gets\texttt{TIP}($a$)$ és 
$\texttt{BEFOK}(u)\gets\texttt{BEFOK}(u)+1$ a mini-algoritmus második sorában.

Ahhoz, hogy az SGB formátumban elvégezzük a \idez{minden $v$-re} mûveletet, elõbb legyen 
$v\gets\texttt{CSÚCSOK}(g)$; majd, amíg $v<\texttt{CSÚCSOK}(g)+\texttt{N}(g)$, végezzük el a mûveletet, és legyen $v\gets v+1$.
\ujgyak \label{megold7-70}
A B1-es lépés egyszer kerül végrehajtásra (de $O(n)$ idõbe kerül).

A (B2, B3, \dots, B8) lépések egyenként $(n+1,n,n,m+n,m,m,n)$ alkalommal kerülnek végrehajtásra, mindegyik $O(1)$ költséggel. 
\ujgyak \label{megold7-71}
Sok lehetõség van. Mi itt 32-bites mutatókat alkalmazunk, és mindegyik relatív egy \texttt{Sor} szimbolikus címhez, ami 
az \texttt{Adat\_Szegmens}-ben található.

A következõ deklaráció segítségével alakíthatjuk ki azokat a szabályokat, hogy alap SGB adatstruktúrával tudjunk dolgozni.

\newpage
\assembly{
\komment{VSIZE IS 32 ;ASIZE IS 24\hspace{17mm}Csomópont méretek}\cr
\komment{ARCS IS 0 ;COLOR IS 8 ;LINK IS 12\hspace{2mm}Eltolások a csúcs mezõkben}\cr
\komment{TIP IS 0 ;NEXT IS 4\hspace{25mm}Eltolás az irányított él mezõben}\cr
\komment{arcs  GREG Pool+ARCS ;color GREG Pool+COLOR ;link  GREG Pool+LINK}\cr
\komment{tip   GREG Pool+TIP ;next  GREG Pool+NEXT}\cr
\komment{u  GREG ;v  GREG  ;w GREG ;s GREG ;a GREG ;mone GREG -1}\cr
AlgB  &BZ  &n,Success&Kilépés, ha a gráf nullgráf.\cr
      &MUL &\$0,n,VSIZE&\underline{\textit{B1. Kezdõértékek megadása.}}\cr
      &ADDU&v,v0,\$0&$v\gets v_0+n$.\cr
      &SET &w,v0&$w\gets v_0$.\cr
1H&STT &mone,color,w&$COLOR(w)\gets-1$.\cr
       &ADDU&w,w,VSIZE&$w\gets w+1$.\cr
       &CMP &\$0,w,v\cr
       &PBNZ&\$0,1B&Repeat until $w=v$.\cr
0H     &SUBU&w,w,VSIZE&$w\gets w-1$.\cr
3H     &LDT &\$0,color,w&\underline{\textit{B3. Ha szükséges, $w$ színezése.}}\cr
       &PBNN&\$0,2F&To B2 if $COLOR($w$)\ge 0$.\cr
       &STCO&0,link,w&$COLOR(w)\gets 0$, $LINK(w)\gets\Lambda$.\cr
       &SET &s,w&$s\gets w$.\cr
4H     &SET &u,s&\let\|=\Rightarrow\underline{\textit{B4. Tegyük${}\|u$-t a verembe.}} Set $u\gets s$.\cr
       &LDTU&s,link,s&$s\gets LINK(s)$.\cr
       &LDT &\$1,color,u\cr
       &NEG &\$1,1,\$1&$\$1\gets 1-COLOR(u)$.\cr
       &LDTU&a,arcs,u&$a\gets ARCS(u)$.\cr
5H     &BZ  &a,8F&\underline{\textit{B5. Végeztünk $u$-val?}} Ha $a=\Lambda$, menjünk B8-ra.\cr
5H     &LDTU&v,tip,a&$v\gets TIP(a)$.\cr
6H     &LDT &\$0,color,v&\underline{\textit{B6. v feldolgozása.}}\cr
       &CMP &\$2,\$0,\$1&(A program itt meglehetõsen okos)\cr
       &PBZ &\$2,7F&To B7 if $COLOR(v)=1-COLOR(u)$.\cr
       &BNN &\$0,Failure&Nem sikerül, ha $COLOR(v)=COLOR(u)$.\cr
       &STT &\$1,color,v&$COLOR(v)\gets 1-COLOR(u)$.\cr
       &STTU&s,link,v&$LINK(v)\gets s$.\cr
       &SET &s,v&$s\gets v$.\cr
7H     &LDTU&a,next,a&\underline{\textit{B7. Ciklus a szerint}}. Legyen $a\gets NEXT(a)$.\cr
       &PBNZ&a,5B&To B5 if $a\neq\Lambda$.\cr
8H     &PBNZ&s,4B&\underline{\textit{B8. A verem nem üres?}} Ha $s\neq\Lambda$, menj B4-re.\cr
2H     &CMP &\$0,w,v0&\underline{\textit{B2. Kész?}}\cr
       &PBNZ&\$0,0B&Ha $w\neq v_0$, csökkentsük $w$-t és menjünk B3-ra.\cr
Siker&LOC&@&(Sikeres befejezés)\quad\slug
}
	   

\ujgyak \label{megold7-72}
(a) Ez a feltétel tisztán invariáns marad, amikor a csúcs bekerül a verembe, vagy kikerül onnan.

(b) A $v$ csúcs ki lett már színezve, de még nincs felfedezve, mivel minden felfedezett csúcs szomszédai már megfelelõ színûek.

(c) Éppen azelõtt a lépés elõtt, mielõtt beállítjuk $s\gets v$-t a B6-os lépésben, legyen \texttt{SZÜLÕ}$(v) \gets u$,
ahol \texttt{SZÜLÕ} egy új segédmezõ. Továbbá, mielõtt sikeresen befejezõdne a mûködés ebben a lépésben, tegyük a következõt: 
\idez{Ismétlõdõen tegyük a kimenetre \texttt{NÉV}$(u)$-t, és legyen $u\gets$\texttt{SZÜLÕ}$(u)$, amíg $u = $\texttt{SZÜLÕ}$(v)$; 
majd tegyük kimenetre \texttt{NÉV}$(u)$-t és \texttt{NÉV}$(v)$($v$)-t.} 
\ujgyak \label{megold7-73}
$K_{10}$. (Továbbá, a \textit{véletlen\_gráf}$(10,100,0,1,1,0,0,0,0,0)$ a $J_{10}$.)
\ujgyak \label{megold7-74}
A \textit{rosszaság}-nak $22$ a kifoka; nincs másik olyan csúcs, aminek a kifoka $>20$.
\ujgyak \label{megold7-75}
Legyenek az $(n_1,n_2,n_3,n_4,p,w,o)$ paraméterek rendre

(a) $(n,0,0,0,-1,0,0)$;

(b) $(n,0,0,0, 1,0,0)$;

(c) $(n,0,0,0, 1,1,0)$;

(d) $(n,0,0,0,-1,0,1)$;

(e) $(n,0,0,0, 1,0,1)$;

(f) $(n,0,0,0, 1,1,1)$;

(g) $(m,n,0,0, 1,0,0)$;

(h) $(m,n,0,0, 1,2,0)$;

(i) $(m,n,0,0, 1,3,0)$;

(j) $(m,n,0,0,-1,0,0)$;

(k) $(m,n,0,0, 1,3,1)$;

(l) $(n,0,0,0, 2,0,0)$;

(m) $(2,-n,0,0,1,0,0)$. 
\ujgyak \label{megold7-76}
Igen, például a \ref{megold7-75}(c) válaszban a $C_1$ és $C_2$-ben. 
(De valódi hurok elõfordulhat a $p<0$ esetben, hiszen az $x\dadj y=x+k\delta$
 irányított élek $k=1, 2, \dots$ esetén generálásra kerülnek egészen addig,
amíg $y$ kilép a tartományból, vagy $y=x$.) 
\ujgyak \label{megold7-77}
Tegyük fel, hogy $x$ és $y$ olyan csúcsok, melyekre igaz, hogy $d(x,y)>2$. Így $x\not{-} y$;
és ha $v$ bármely más csúcs, akkor vagy $v\not{-} x$, vagy $v\not{-} y$. 
Ezek az összefüggések $\overline G$-ban megengednek 
bármely két $u$ és $v$ csúcs között egy legfeljebb $3$ hosszúságú utat. 
\ujgyak \label{megold7-78}
(a) Az élek száma ${n\choose2}/2$, egésznek kell lennie.

A legkisebb példa $K_0$, $K_1$, $P_4$, $C_5$, és  IDE ÁBRA KELL.

(b) Ha $q$ egy tetszõleges páratlan szám, 
akkor $u\adj v$ akkor és csakis akkor, ha $\varphi^q(u)
\nadj\varphi^q(v)$. Ezért $\varphi^q$-nek nem lehet két fixpontja,
és nem lehet benne 2-kör.\par

(c) $V$-nek egy ilyen permutációja egyben definiál egy újabb $\widehat\varphi$
 permutációt a $K_n$ élein, 
mivel $\{u,v\}\mapsto
\widehat\varphi(\{u,v\})=\{\varphi(u),\varphi(v)\}$, és könnyen belátható, hogy a
~$\widehat\varphi$ köreinek a hossza mind ~4 többszöröse.

Ha $\widehat\varphi$-ben $t$ kör van, akkor $2^t$ komplementerével megegyezõ gráfot kapunk úgy, 
hogy minden körnek az éleit váltakozó színnel színezzük.\par

(d) Ez esetben $\varphi$-nek van egy egyedi $v$ fixpontja, és $G'=G\setminus v$ a komplementerével megegyezõ. 
Tegyük fel, hogy $\varphi$-ben $r$ kör van ~$(v)$-n kívül;
ekkor $\widehat\varphi$-ben $r$ kör van, amely magába foglalja azokat az éleket,
amelyek érintik a ~$v$ csúcsot, és $2^r$ módon terjeszthetõ ki a $G'$ gráf egy ~$G$ gráffá.\par

{\textit{Hivatkozások}: Sachs\angolnevindex{Sachs, Horst} \cite{Sachs1962} 
és Ringel\angolnevindex{Ringel, Gerhard} \cite{Ringel1963}}.
\ujgyak \label{megold7-79}
1. megoldás (H. Sachs) $\varphi=(1\,2\,\ldots\,4k)$ esetén:
Legyen $u\adj v$, ha $u>v>0$ és $u+v\mod 4\le 1$; ezzel együtt
$0\adj v$ ha $v\mod 2=0$.

2. megoldás, $\varphi=(a_1\,b_1\,c_1\,d_1)\ldots(a_k\,b_k\,c_k\,d_k)$ esetén,
ahol $a_j=4j-3$, $b_j=4j-2$, $c_j=4j-1$, és $d_j=4j$:
Legyen $0\adj b_j\adj a_j\adj c_j\adj d_j\adj 0$, ha $1\le j\le k$, és
$a_i\adj a_j\adj b_i\adj d_j\adj c_i\adj c_j\adj d_i\adj b_j\adj a_i$,
ha $1\le i<j\le k$.
\ujgyak \label{megold7-80}
(G. Ringel megoldása.) Legyen $\varphi$ olyan, mint a 79. feladat 
2. megoldásában. Legyen $E_0$ a $3k$ $b_j\adj a_j\adj c_j\adj d_j$ él, ha
$1\le j\le k$; legyen $E_1$ a $8{k\choose2}$ él
$\{a_i,b_i,c_i,d_i\}$ és $\{b_j,d_j\}$ között, ha $1\le i<j\le k$;
legyen $E_2$ a $8{k\choose2}$ él
$\{a_i,b_i,c_i,d_i\}$ és $\{a_j,c_j\}$ között, ha $1\le i<j\le k$.
Az ~(a) esetben, $E_0\cup E_1$ ~2 átmérõt ad; $E_0\cup E_2$ pedig
~3 átmérõt. A ~(b) eset hasonló, de itt hozzáadjuk a következõ $2k$ élt:
$b_j\adj 0\adj d_j$-t $E_1$-hez,
$a_j\adj 0\adj c_j$-t $E_2$-höz.
\ujgyak \label{megold7-81}
$C\orie_{\!3}$, $K\orie_{\!3}$, $D = \epsfbox{\figdir/v4a.585}$, és 
\vspace{3mm}
\textbf{\ldots}
\vspace{3mm}
%%%$D^T=\vcenter{\epsfbox{\figdir/v4a.587}}$. 
IDE KELL MÉG EGY ÁBRA

(A $D$ irányított gráf $D^T$ \textit{fordítottját}
megkaphatjuk úgy, hogy irányított éleinek megfordítjuk az irányát.

16, egymással nem izomorf \textit{egyszerû, 3-ad rendû, irányított, körmentes gráf} van,
 közülük 10 \textit{önfordított}, beleértve $C\orie_{\!3}$-t és $K\orie_{\!3}$-t.)
\ujgyak \label{megold7-82}
(a) Igaz, definíció szerint.

(b)~Igaz: Ha minden csúcsnak $d$ szomszédja van, akkor minden 
$u\adj v$ élnek $d-1$ $u\adj w$ szomszédja van és $d-1$ $w\adj v$ szomszédja.

(c)~Igaz: $\{a_i,b_j\}$-nek $m+n-2$ szomszédja van, ha $0\le i<m$ és $0\le j<n$.

(d)~Hamis: $L(K_{1,1,2})$-nek 5~ csúcsa és 8~ éle van.

(e)~Igaz.

(f)~Igaz: A nem szomszédos élek csak: $\{0,1\}\nadj\{2,3\}$,
$\{0,2\}\nadj\{1,3\}$, $\{0,3\}\nadj\{1,2\}$.

(g)~Igaz,minden $n>0$.

(h)~Hamis, feltéve ha $G$-ben nincs \textit{izolált csúcs}. 
\ujgyak \label{megold7-83}
Ez a \textit{Petersen-gráf} {lásd Kowalewski cikkét \cite{Kowalewski1917}.}\angolnevindex{Kowalewski, Arnold (1873--1945)}
\ujgyak \label{megold7-84}
Igen: Legyen $\varphi(\{a_u,b_v\})=\{a_{(u+v)\mod 3},b_{(u-v)\mod 3}\}$, ahol $0\le u,v<3$. 
\ujgyak \label{megold7-85}
Legyenek a csúcsok fokszámai $\{d_1,\ldots,d_n\}$. Ekkor $G$-nek 
$\half(d_1+\cdots+d_n)$, $L(G)$-nek pedig $\half(d_1(d_1-1)+\cdots+d_n(d_n-1))$ éle van.
Így $G$-nek és $L(G)$-nek pontosan $n$~ éle van pontosan akkor, ha
$(d_1-2)^2+\cdots+(d_n-2)^2=0$. Ebbõl következõen az \ref{gyak7-58}. gyakorlat megadja a választ.

{Lásd Menon\angolnevindex{Menon, Vairelil Vishwanath} cikkét \cite{Menon1965}.}
\ujgyak \label{megold7-86}
Ha 
%$G=\vcenter{\epsfxsize=12pt \epsfbox{\figdir/v4a.1607}}$ 
\textbf{ÁBRA KELL}, 
akkor  \textbf{ÁBRA KELL} $=L(G)$.
\ujgyak \label{megold70-87}
(a) Igen, könnyedén. {Valójában, Brooks bebizonyította \cite{Brooks1941}, hogy 
\textit{minden} összefüggõ gráf, amelynek a maximális csúcs fokszáma $d>2$, $d$-színezhetõ, 
kivéve a $K_{d+1}$ teljes gráfot.}

(b) Nem. Alapvetõen csak egy módja van, hogy 3-színezzük a belsõ 
5-kör éleit a 2(e) ábrán; ez ellentmondásban van a belsõ 5-körrel.
{Petersen 1898-ban bebizonyította.} 
\ujgyak \label{megold7-88}
Egy kör nem használja a középsõ csúcsot, és van $(n-1)(n-2)$ kör, ami igen (nevezetesen van egy minden, a szélén lévõ 
különbözõ csúcsokból rendezett párban.) A $C_0$-t nem számítjuk bele.
\ujgyak \label{megold7-89}
Mindkét oldal egyenlõ rendre a következõ mátrixokkal:
$$\begin{pmatrix}
A & O & O \cr O & B & O \cr O & O & C
\end{pmatrix}, \quad
\begin{pmatrix}
A & J & J \cr J & B & J \cr J & J & C
\end{pmatrix}, \quad
\begin{pmatrix}
A & J & J \cr O & B & J \cr O & O & C
\end{pmatrix}, \quad
\begin{pmatrix}
A & O & O \cr J & B & O \cr J & J & C
\end{pmatrix}\koz .
$$
%$\eightpoint\let\quad=
%\enspace\pmatrix{A&O&O\cr O&B&O\cr O&O&C\cr}$,
%$\eightpoint\let\quad=\enspace\pmatrix{A&J&J\cr J&B&J\cr J&J&C\cr}$,
%$\eightpoint\let\quad=\enspace
%\pmatrix{A&J&J\cr O&B&J\cr O&O&C\cr}$,
%$\eightpoint\let\quad=\enspace\pmatrix{A&O&O\cr J&B&O\cr J&J&C\cr}$-vel. 
\ujgyak \label{megold7-90}
$K_4$ és $\overline{K_4}$; $K_{1,1,2}$ és $\overline{K_{1,1,2}}$;
$K_{2,2}=C_4$ és $\overline{K_{2,2}}$; $K_{1,3}$ és $\overline{K_{1,3}}$;
$K_1\dirsum K_{1,2}$ és a komplementere; 
minden $K_\alpha$ gráf generált (\ref{keplet7-47}) alapján. A $P_4=\overline{P_4}$ hiányzik.
(Egy generált gráf minden összefüggõ részgráfjának átmérõje $\le 2$;
$W_5$ generált, de $W_6$ nem.)
\ujgyak \label{megold7-91} IDE ÁBRÁK KELLENEK
(a) 1; 
(b) 2; 
(c) 3; 
(d) 1; 
(e) 3; 
(f) 4; 
(g) 5.

(Általánosan $K_2\oprod 
H=(K_2\cprod H)\cup(K_2\dprod\overline H)$,és $K_2\lprod H=H\adj H$. Így a $K_2\oprod H=K_2\cprod H$ és a 
$K_2\lprod H=K_2\sprod H$ egyenlõségek pontosan akkor teljesülnek, ha $H$ teljes gráf.)

\textit{Hivatkozások}:
A $G\cprod H$ és a $G\sprod H$ \textit{jelölés} szépen megfeleltethetõ az (a) és~(c) jelölésének, ahogy ezt 
Ne\v{s}et\v{r}il\angolnevindex{Ne\v{s}et\v{r}il, Jaroslav} \cite{Nesetril1981} javasolta.  
A $G\times H$ analóg jelölés szintén csábító a 
(b)-re; de ezt itt nem vezettük be, hiszen írók százai használták a $G\times H$ jelölést a $G\cprod H$-ra. 
\ujgyak \label{megold7-92} IDE ÁBRÁK KELLENEK
(a) ; \ (b) ; \ (c) ; \ (d) ; \ (e) . 
\ujgyak \label{megold7-93}
$K_m\sprod K_n=K_m\lprod K_n\cong K_{mn}$. 
\ujgyak \label{megold7-94}
Nem; ezek $K_{26}\cprod K_{26}\cprod K_{26}\cprod K_{26}\cprod K_{26}$ indukált részgráfjai. 
\ujgyak \label{megold7-95}
(a) $d_u+d_v$. (b)~$d_ud_v$. (c)~$d_ud_v+d_u+d_v$.
(d)~$d_u(n-d_v)+(m-d_u)d_v$. (e)~$d_un+d_v$.
\ujgyak \label{megold7-96}
(a) $A\cprod B=A\otimes I+I\otimes B$.
(b) $A\sprod B=A\cprod B+A\otimes B$.
(c)~$A\oprod B=A\otimes J+J\otimes B-2A\otimes B$.
(d)~$A\lprod B=A\otimes J+I\otimes B$.

{Az (a), (b), és (d) formulák tetszõleges \textit{irányított gráfra}\gyakindex{irányított gráf = directed graph} 
és \textit{multigráfra}\gyakindex{multigráf = multigraph} definiálják a \textit{gráf szorzást}\gyakindex{gráf szorzat = graph product}. 
A (c) \textit{egyszerû irányított gráfok}\gyakindex{egyszerû irányított gráf = simple directed graph} 
esetén is igaz; de elõfordulhatnak negatív elemek is, ha $A$ és $B$ tartalmaz $>1$ értékeket.}

\textit{Történelmi megjegyzés.} A mátrixok direkt szorzatát gyakran 
\textit{Kronecker szorzatnak}\angolnevindex{Kronecker, Leopold (1823--1891)}\index{Kronecker-szorzat = Kronecker product} 
nevezzük, mivel Hensel\angolnevindex{Hensel, Kurt Wilhelm Sebastian (1861--1941)} elmondása szerint \cite{Hensel1889} 
Kronecker elõadásain hallotta; Kronecker azonban soha nem publikált semmit róla. Az elsõ ismert megjelenése 
Zehfuss\angolnevindex{Zehfuss, Johann Georg} cikkében \cite{Zehfuss1858} történt, 
aki bebizonyította, hogy $\det(A\otimes B)=(\det A)^n(\det B)^m$, ha $m=m'$ és $n=n'$. Az alapvetõ 
$(A\otimes B)^T=A^T\otimes B^T$,
$(A\otimes B)(A'\otimes B')=AA'\otimes BB'$, 
és $(A\otimes B)\_=A\_\otimes B\_$ formulák A-nak következménye 
{lásd Hurwitz\angolnevindex{Hurwitz, Adolf (1859--1919)} cikkét \cite{Hurwitz1894}}.
\ujgyak \label{megold7-97}
A szomszédsági mátrixokkal elvégezhetõ mûveletek bizonyítják, hogy 
$(G\dirsum G')\cprod H=(G\cprod H)\dirsum(G'\cprod H)$;
$(G\dirsum G')\sprod H=(G\sprod H)\dirsum(G'\sprod H)$;
$(G\dirsum G')\lprod H=(G\lprod H)\dirsum(G'\lprod H)$. Mivel $G\cprod H\cong H\cprod G$,
$G\dprod H\cong H\dprod G$, és $G\sprod H\cong H\sprod G$, így vannak 
$G\cprod(H\dirsum H')\cong(G\cprod H)\dirsum(G\cprod H')$;
$G\dprod(H\dirsum H')\cong(G\dprod H)\dirsum(G\dprod H')$;
$G\sprod(H\dirsum H')\cong(G\sprod H)\dirsum(G\sprod H')$ jobb-disztributív szabályok is.

A lexikografikus szorzás kielégíti a 
$\overline{G\lprod H}=\overline G\lprod\overline H$ egyenlõséget; tehát 
$K_m\lprod H=H\adj\cdots\adj H\!$, így 
$K_m\lprod\overline K_n=K_{n,\ldots,n}$.

Továbbá, $G\lprod K_n=G\sprod K_n$; $K_m\dprod K_n=\overline{K_m\cprod K_n}=L(K_{m,n})$.
\ujgyak \label{megold7-98}
$kl$ komponens van (Az elõzõ gyakorlat \textit{disztributív szabályai}, valamint az alapján, hogy $G\cprod H$ és $G\sprod H$
összefüggõ, ha $G$ és $H$ összefüggõ). 
\ujgyak \label{megold7-99}
Minden út $(u,v)$-ból $(u',v')$-be a $G\cprod H$-ban legalább $d_G(u,u')$ \idez{$G$-lépést} és legalább $d_H(v,v')$ 
\idez{$H$-lépést} használ; és ez a minimum elérhetõ. Hasonló érvelés mutatja, hogy 
$d_{G\sprod H}((u,v),(u',v'))=\max(d_G(u,u'),d_H(v,v'))$.
%\par\begingroup \advance\parindent by 4pt 
% for them BIG answer numbers
%
%\begingroup \advance\parindent by 4pt % for them BIG exercise numbers
\ujgyak \label{megold7-100}
Ha $G$ és $H$ összefüggõ, és mindkettõnek van legalább 2 csúcsa, $G\dprod H$ pontosan akkor nem összefüggõ, 
ha $G$ és $H$ páros.
A \idez{ha} rész könnyû; megfordítva, ha van egy páratlan kör $G$-ben, akkor $(u,v)$-ból $(u',v')$-be eljuthatunk a következõ módon: 
Elõször menjünk $(u'',v')$-be, ahol $u''$ $G$-nek egy megfelelõ csúcsa.
Majd menjünk páros számú lépést $G$-ben $u''$-bõl $u'$-be, míg a $H$-ban a $v'$ és az egyik szomszédja között 
ingázunk {lásd Weichsel\angolnevindex{Weichsel, Paul Morris} cikkét \cite{Weichsel1962}.} 
\ujgyak \label{megold7-101}
Válasszuk ki az $u$ és $v$ csúcsokat maximális fokszámmal. 
Ekkor $d_u+d_v=d_ud_v$ a ~\ref{gyak7-95}. gyakorlat alapján; tehát vagy $G=H=K_1$, vagy 
$d_u=d_v=2$. Utóbbi esetben, $G=P_m$ vagy $C_m$, és $H=P_n$ vagy $C_n$. $G\cprod H$ azonban összefüggõ, 
tehát $G$ vagy $H$ mindenképpen páratlan, mondjuk $G$. Ekkor $G\cprod H$ páratlan, tehát $H$-nak mindenképpen 
páratlannak kell lennie; így $G=C_m$ és $H=C_n$,
miközben $m$ és $n$ is páratlan. 
$C_m \cprod C_n$-ben a legrövidebb kör hossza $\min(m,n)$; $C_m\dprod C_n$-ben a hossza $\max(m,n)$; így $m=n$.

Megfordítva, ha $n \ge 3$ páratlan, akkor $C_n \cprod C_n\cong C_n \dprod C_n$, azon izomorfizmus alatt, 
amelynek alakja: $(u,v)\mapsto((u+v)\mod n,(u-v)\mod n)$, ahol $0\le u,v<n$ 
{lásd Miller\angolnevindex{Miller, Donald John} cikkét \cite{Miller1968}.} 
\ujgyak \label{megold7-102}
$P_m\sprod P_n$. (Ez csak akkor {\it síkgráf}, ha $\min(m,n)\le2$ vagy $m=n=3$.) 
\ujgyak \label{megold7-103}  IDE JÓ ÁBRA KELL!
\ujgyak \label{megold7-104}
Az éleket kissé körülményes sorrendben kell létrehozni, hogy fenntartsuk a tabló alakját. 
Az $r$ és $i$ változók jelölik a kezdõ - és utolsó sorát a ~$t$ oszlopban. Például, a 
\ref{gyak7-103}. gyakorlat második része a következõképpen kezdõdik: 
$i\gets 1$, $t\gets 8$, $r\gets 1$; majd $9\adj 1$, $i\gets 2$, $t\gets 6$,
$r\gets 3$; utána $9\adj 3$, $9\adj 2$, $i\gets 4$, $t\gets 4$, $r\gets 8$; végül $9\adj 8$. 
\ujgyak \label{megold7-105}
Vegyük észre, hogy $d_k\ge k$ pontosan akkor, ha $c_k\ge k$.

Ha $d_k\ge k$, akkor $$c_1+\cdots+c_k\;=\;k^2+\min(k,d_{k+1})+\min(k,d_{k+2})+\cdots+\min(k,d_n);$$
ennek következtében a $d_1+\cdots+d_k\le c_1+\cdots+c_k-k$ feltétel ekvivalens a következõvel: 
$$d_1+\cdots+d_k\le f(k),\quad\hbox{ahol} f(k)=k(k{-}1)+
\min(k,d_{k+1})+\cdots+\min(k,d_n)\hfill(*)$$

Ha $k\ge s$, akkor $f(k+1)-f(k)=2k-d_{k+1}\ge d_{k+1}$; így $(*)$ fennáll $1\le k\le n$ esetén pontosan akkor, 
ha fennáll $1\le k\le s$-re.

A $(*)$ kifejezést Erd\H{o}s\angolnevindex{Erdõs Pál (= Paul, 1913--1996)} és Gallai\angolnevindex{Gallai Tibor (1912--1992)}
\cite{Erdos1960} fedezték fel. Használata nyilvánvalóan szükséges, ha az $\{1,\ldots,k\}$ és $\{k{+}1,\ldots,n\}$ 
közötti éleket tekintjük.

 Legyen $a_k=d_1+\cdots+d_k-c_1-\cdots-c_k+k$, és tegyük fel, hogy 
$a_k>0$ valamely ~$k\le s$-re miután a H3 és H4 lépés életbe lépett.
Legyen $A_j$, $C_j$, $D_j$, $N$, és $S$ rendre az $a_j$, $c_j$, $d_j$, $n$, 
és $s$-nek megfelelõ számok a H3 és H4 lépések \textit{elõtt}; így
$N=n+1$, $D_j=d_j+(0$~or~1), stb. Be akarjuk bizonyítani, hogy $A_K>0$
 valamely $K\le S$ esetén. A H3 és H4 eltávolította a legalsó $q$ cellát a ~$t$ oszlopban, 
valamely $t\ge S$-re, az $1$-tõl ~$p$. sor legjobboldali celláival együtt, ahol 
$q+p=D_N$. Így $A_j=a_j$, ha $1\le j\le p$; továbbá $A_j=a_j$, ha $j\ge C_t$.
Legyen $k$ minimális $a_k>0$-val, és legyen $d_k=d$; vegyük észre, hogy $c_k\le d$. Ha $d>t$, akkor $k\le p$, 
tehát $A_k=a_k>0$. Ennélfogva feltehetjük, hogy 
$d=t-(0$ or~1), és $D_k=t$. Ha $k<j\le C_t$, 
akkor $d_j\ge D_j-1=t-1\ge d-1\ge c_k-1\ge c_j-1$.Ennek következtében $A_K=a_K\ge a_k$, ha $K=C_t$; feltehetjük, 
hogy $C_t>S$. Most $D_S=D_{S+1}=t$, tehát $S=t$. $k=t$ szintén fennáll; egyébként $c_k\ge S+1>t\ge d$.

Így $s=S$ és $d=t=c_t$. További vizsgálatok megmutatják, hogy az egyetlen 
lehetõség $A_t\le 0$-ra $D_j=t + [j\ge t]$, ha $1\le j\le N=t+2$.
 A H algoritmus tényleg kicseréli ezt a \idez{jó} sort 
egy \idez{rosszra}; de $D_1+\cdots+D_N=t^2+3t-1$ páratlan. 
\ujgyak \label{megold7-106}
Hamis az olyan triviális esetekben, mint $d\le 1$ és $n\ge d+2$. Egyébként igaz: Valójában, a H4-es lépés során 
generált elsõ $n-1$ él körmentes, tehát feszítõfát alkot. 
\ujgyak \label{megold70-107}
A \ref{gyak7-78}. gyakorlat $\varphi$ permutációja megfeleltet egy $d$ fokú csúcsot egy $n-1-d$ fokú csúcsnak. 
$\varphi^2$ pedig egy \textit{automorfizmus}, ami két egyenlõ fokú csúcsot párosít össze, kivéve egy lehetséges 
$(n-1)/2$ fokú fixpontot. (Megfordítva, a H algoritmus egy kissé bonyolult kiterjesztése egy komplementerével megegyezõ 
gráfot konstruál minden grafikus sorozatból, ami kielégíti a feltételeket, feltéve, hogy 
$d_{(n-1)/2}=(n-1)/2$ ha $n$ páratlan. Lásd Clapham\angolnevindex{Clapham, Christopher Robert Jasper} és 
Kleitman\angolnevindex{Kleitman, Daniel J (Isaiah Solomon)} cikkét \cite{Clapham1976}.
\ujgyak \label{megold7-108}
Feltehetõ, hogy $d^+_1\ge\cdots\ge d^+_n$; a $d_k^-$ befokoknak nem szükséges egy megadott sorrendben állniuk. 
Alkalmazzuk a H algoritmust a $d\losub1\ldots d\losub n=d^+_1\ldots d^+_n$ sorozatra, de változtassuk meg a következõket: 
A H2-es lépés a következõ lesz: `\idez{[Kész?] Sikeresen befejezõdik, ha $d_1=n=0$; sikertelenül fejezõdik be, ha $d_1>n$.'} 
Miután beállítottuk az $i$, $t$, és~$r$ értékét a H3-as lépésben, sikertelenül fejezõdjön be, 
ha $d_n^->c_1$; egyébként hajtsuk végre a H4-es lépést, ha $1\le j\le d_n^-$, 
és legyen $n\gets n-1$, majd térjünk vissza H2-höz.
H5-ben hagyjuk el a \idez{$c_j\gets c_j-1$}-t, és készítsük el a $k\rightarrow n$ irányított élt a $k\adj n$ él helyett. 
Az M lemma és H következmény igazolja megközelítésünket.

(A 7.2.1.4--57. gyakorlat bebizonyítja, hogy ilyen irányított gráf pontosan akkor létezik, ha 
$d_1^-+\cdots+d_n^-=d_1^++\cdots+d_n^+$ és $d_1^-\ldots d_n^-=\{d_1',\ldots,d_n'\}$, 
ahol $d_1'\ge\cdots\ge d_n'$ és $d_1'\ldots d_n'$ {\it majorálva} van a 
$c_1\ldots c_ n=(d_1^+\ldots d_n^+)^T$ {\it konjugált partícióval}.
Nehezebb az az eset, amikor a $v\dadj v$ hurok nem megengedett; lásd 
Fulkerson\angolnevindex{Fulkerson, Delbert Ray (1924--1976)} cikkét \cite{Fulkerson1960}. 
\ujgyak \label{megold7-109}
Ugyanaz, mint a \ref{gyak7-108}. gyakorlat a következõ kiegészítésekkel: $d_k^+=d_k[k\le m]$ és $d_k^-=d_k[k>m]$.
\ujgyak \label{megold7-110}
$p$ csúcs van, amely $d=d_1$ fokú, és $q$ csúcs van, amely $d-1$ fokú, ahol $p+q=n$. 
 1.eset, $d=2k+1$. 
Legyen $u\adj v$, ha $(u-v)\mod n\in
\{2,3,\ldots,k+1,\allowbreak n-k-1,\ldots,n-3,n-2\}$; továbbá vegyük fel a $p/2$ darab
$1\adj2$, $3\adj4$, \dots,~$(p{-}1)\adj p$ élt.

2. eset,  $d=2k$.
Legyen $u\adj v$, ha $(u-v)\mod n\in \{2,3,\ldots,k,\allowbreak n-k,\ldots,\allowbreak n-3,n-2\}$;
továbbá vegyük fel az $1\adj 2$, \dots, $(q{-}1)\adj q$ éleket, valamint a 
$(q=0{?}\ n{:}\ q)\adj(q{+}1)\adj\cdots\adj(n{-}1)\adj n$ kört vagy utat. 
{Wang\angolnevindex{Wang Da@\string\WangDa} és Kleitman\angolnevindex{Kleitman, Daniel J (Isaiah Solomon)} 
 bebizonyították \cite{Wang1973}, hogy az ilyen gráfok erõsen összefüggõek.}
\vspace{-2mm}
\ujgyak \label{megold7-111}
Tegyük fel, hogy $N=n+n'$, és $V'=\{n+1,\ldots,N\}$. Konstruálni akarunk 
$e_k=d-d_k$ éleket $k$ és~$V'\!$ között, és további éleket~$V'\!$-n belül
úgy, hogy ~$V'$ minden csúcsának ~$d$ legyen a foka. Legyen $s=e_1+\cdots+e_n$.
Ez a lépés pontosan akkor végezhetõ el, ha (i)~$n'\ge\max(e_1,\ldots,e_n)$;
(ii)~$n'd\ge s$; 
(iii)~$n'd\le s+n'(n'-1)$; és (iv)~$(n+n')d$ páros.

Ilyen élek léteznek, már ha $n'$ kielégíti (i)--(iv)-et: Elõször, (i) miatt,
$s$ megfelelõ él $V$ és~$V'$ között létrehozható úgy, hogy ciklikusan választjuk végpontnak 
$(n{+}1,n{+}2,\ldots,n{+}n',\allowbreak
n{+}1,\ldots{})$-et. Ez a folyamat hozzárendeli vagy az $\lfloor s/n'\rfloor$ vagy az $\lceil s/n'\rceil$ éleket 
~$V'$ minden csúcsához; $\lceil s/n'\rceil\le d$ teljesül ~(ii) miatt, és 
$d-\lfloor s/n'\rfloor\le n'-1$ ~(iii) miatt. Ennél fogva a további élek, amelyek szükségesek~$V'$-n belül, 
megkonstruálhatók a 110-es feladathoz hasonlóan (iv) segítségével.

Az $n'=n$ választás mindig jó. Megfordítva, ha
$G=K_n(V)\setminus\{1\adj2\}$, az (iii) feltétel megköveteli, hogy $n'\ge n$, ha $n \ge 4$. 
{lásd Erdõs\angolnevindex{Erdõs Pál (= Paul, 1913--1996)} és Kelly \angolnevindex{Kelly, Paul Joseph} \cite{Erdos1963}}.
\ujgyak \label{megold7-112}
Az egyetlen legjobb háromszög a \textit{mérföldek} adatban 

IDE ÁBRA KELL

%%%$$\advance\abovedisplayskip-6pt
%%%\line{${Saint Louis, MO} \hfil \buildrel 748 
%%%\over \adj \hfil
%%%{Toronto, ON} \hfil \buildrel 746 \over \adj \hfil
%%%{Winston-Salem, NC} \hfil \buildrel 748 \over \adj \hfil
%%%{Saint Louis, MO}$.}$$
% next is Washington, DC (210) 
%%%Williamsport, PA (210) Uniontown, PA (207) Wash 
\ujgyak \label{megold7-113}
Murphy törvénye\index{Murphy törvénye = Murphy's law} szerint, 
$n$ sora és $m$ oszlopa van; tehát $n\times m$-es, nem pedig $m\times n$-es. 
\ujgyak \label{megold7-114}
Egy \textit{hurok} egy adott multigráfban egy $\{a,a\}$ él, amelyben ismétlõdõ csúcsok vannak,
és egy multigráf 2-egyenletes hipergráf. Így egy általános hipergráfnak az elõfordulási mátrixában meg vannak engedve 
$1$-nél nagyobb értékek, ha egy él egy megadott csúcsot többször is tartalmaz. 
Egy vaskalapos ember valószínûleg ezt \idez{\textit{multihipergráfnak}} hívná abból a megfontolásból, hogy 
a (\ref{keplet7-26})-nak megfelelõ illeszkedési mátrix és páros gráf a következõ: 

%%%\vcenter{\epsfbox{\figdir/v4a.1516}}\,.

IDE ÁBRA KELL

\noindent \ujgyak \label{megold7-115}
A $B^T\!B$ $e$ sorban és $f$ oszlopban lévõ eleme $\sum_v b_{ve}b_{vf}$; tehát $B^T\!B$ megegyezik $2I$ plusz 
az $L(G)$ szomszédsági mátrixával. 
Hasonlóan, $BB^T$ a $D$ plusz $G$ szomszédsági mátrixa, 
ahol $D$ a diagonális mátrix, melyben $d_{vv}$ a $v$ \textit{foka}.
(Lásd a 2.3.4.2--18., 19. és 20. gyakorlatokat.)
\ujgyak \label{megold7-116}
$\overline{K^{(r)}_{m,n}}=K^{(r)}_m\dirsum K^{(r)}_n$, (\ref{keplet7-38})-at általánosítva minden $r\ge 1$-re.
\ujgyak \label{megold7-117}
$m=4$ és $V=\{0,1,2\}$ esetén az egyszeres élek nemizomorf multihalmazai a következõk lehetnek:  

$\{\{0\},\{0\},\{0\},\{0\}\}$,
$\{\{0\},\{0\},\{0\},\{1\}\}$,
$\{\{0\},\{0\},\{1\},\{1\}\}$ és 
$\{\{0\},\{0\},\{1\},\{2\}\}\koz.$

A válasz általában az $m$ legfeljebb $n$ részre való \textit{felosztásának} a száma, nevezetesen 
$\begin{vmatrix} m + n \\ n\end{vmatrix}$
%$m+n\parts n$ 
a 7.2.1.4. alpont jelöléseit használva. (Természetesen kevés ok van arra, hogy a partíciókra úgy tekintsünk, mint 
1-egyenletes hipergráfokra, kivéve, ha speciális feladatokat akarunk megoldani.) 
\vspace{-4mm}
\ujgyak \label{megold70-118}
Legyen $d$ a csúcs fokszámok összege. 
A megfelelõ páros gráf egy erdõ $m+n$ csúccsal, $d$ éllel és $p$ komponenssel. 
Így $d=m+n-p$, a 2.3.4.1.A tétel szerint. 
\ujgyak \label{megold7-119}
Van egy további él, ami tartalmazza mind a $7$ csúcsot.
\ujgyak \label{megold7-120}
Azt mondhatjuk, hogy az irányított (hiper) élek csúcsok tetszõleges sorozata, vagy különbözõ csúcsok sorozata. 
A legtöbb szerzõ az \textit{irányított hiperélt} azonban $A\rightarrow v$-nek definiálja, ahol az $A$ csúcsok rendezetlen halmaza.

A legjobb definíciót úgy találhatjuk meg, hogy megnézzük, melyiknek van a legfontosabb gyakorlati alkalmazása.
\ujgyak \label{megold7-121}
$\chi(H)=\vert F\vert-\alpha(I(H)^T)$ a $V$ minimális lefedésének a mérete az ~$F$ halmazokkal. 
\ujgyak \label{megold7-122}
(a) Igazolható, hogy csak $7$ darab 3-elemû lefedés van, nevezetesen az él csúcsai; 
tehát $7$ darab 4-elemû független halmaz létezik, nevezetesen az élek komplementerei. Nem tudjuk 2-színezni 
a hipergráfot, mivel egy színt 4~alkalommal kellene használni, és a maradék 3 szín egy él lenne. 
(Az (\ref{keplet7-56}) hipergráf alapvetõen a $7$ pontból, és $7$ egyenesbõl álló 
\textit{projektív sík}.)

(b) Mivel duálist használunk, nevezzük a Petersen-gráf csúcsait és éleit \idez{pontoknak} és\linebreak
\noindent \idez{egyeneseknek}; így a duális csúcsai és élei rendre az egyenesek és a pontok. Színezzük pirosra azt az 
5 egyenest, melyek egy külsõ pontot belsõ ponttal kötnek össze.

A maradék $10$ egyenes független (nem tartalmazzák mind a három, valamely pontot érintõ egyenest); tehát zöldre színezhetõk.

Bármely 11 egyenes halmaza nem lehet független, mivel nincs olyan 4 egyenes, amely egyszerre tudná érinteni mind a $10$ pontot. 
(Így a Petersen duálisa a \textit{páros hipergráf}, annak ellenére, hogy van benne 5 hosszúságú kör.) 
\ujgyak \label{megold7-123}
Megfeleltethetõek az $n\times n$ \textit{latin négyzetnek}, amelynek elemei csúcs színek. 
\ujgyak \label{megold7-124}
$4$ szín bõven elegendõ. Ha \textit{3-színezhetõ} lenne, akkor minden színre jutna 4 csúcs, 
mivel nincs olyan 5 csúcs, ami független lenne.
Így $2$ ellentétes saroknak ugyanolyan színûnek kell lenni, vagyis ellentmondásra jutunk. 
\ujgyak \label{megold7-125}
A \textit{Chvátal-gráf}\angolnevindex{Chvátal, Václav} a legkisebb gráf $g=4$-gyel.
\textit{Brinkmann}\angolnevindex{Brinkman, Gunnar} megtalálta a legkisebbet $g=5$-tel: 
21 csúcsa van: 
$a_j$, $b_j$, $c_j$, ha $0\le j<7$, élei $a_j\adj a_{j+2}$,
$a_j\adj b_j$, $a_j\adj b_{j+1}$, $b_j\adj c_j$, 
$b_j\adj c_{j+2}$,
$c_j\adj c_{j+3}$ és az alsó indexei mod 7.
Meringer megmutatta, hogy legalább 35 csúcsnak kell lennie, ha $g>5$. Grünbaum\angolnevindex{Grünbaum, Branko} azt sejtette, 
hogy $g$ tetszõlegesen nagy lehet; de további konstrukciók nem ismertek {lásd \cite{Grunbaum1970,Grunbaum1997}}. 
\ujgyak \label{megold7-126}
Amikor $m$ és $n$ páros, mind a $C_m$ és $C_n$ páros, és könnyû a {\it 4-színezés}. 
Egyébként egy 4-színezés lehetetlen. Ha $m=n=3$, egy 9-színezés megfelelõ a \ref{gyak7-93}. gyakorlat alapján. 
Ha $m=3$ és $n=4$ vagy 5, akkor legfeljebb két csúcs független; könnyû találni egy megfelelõ 6- vagy 8-színezést.

Egyébként megkapunk egy 5-színezést úgy, hogy a $(j,k)$ csúcsot 
$(a_j+2b_k)\mod 5$-tel színezzük, ahol az $\langle a_j\rangle$
és $\langle b_k\rangle$ periodikus sorozatok léteznek rendre $m$ és ~$n$ periódussal 
úgy, hogy $a_j-a_{j+1}\equiv\pm1$ és $b_k-b_{k+1}\equiv\pm1$ minden $j$-re és~$k$-ra 
{lásd K. Vesztergombi cikkét\angolnevindex{Vesztergombi Katalin} \cite{Vesztergombi1978}}.
\ujgyak \label{megold7-127}
(a) Az eredmény $n=1$ esetén igaz. Különben legyen $H=G\setminus v$,
ahol $v$ tetszõleges csúcs. 
Ekkor $\overline H=\overline G\setminus v$, és $\chi(H)+\chi(\overline H)\le n$ indukció alapján. 
Világos, hogy $\chi(G)\le\chi(H)+1$ és $\chi(\overline G)\le\chi(\overline H)+1$; tehát nincs probléma egészen addig, 
amíg mindhárom esetben nem teljesül az egyenlõség. De ez nem történhet meg; ebbõl következik, hogy 
$\chi(H)\le d$ és $\chi(\overline H)\le n-1-d$, ahol $d$ a ~$v$ foka a ~$G$-ben
{lásd Nordhaus\angolnevindex{Nordhaus, Edward Alfred} és Gaddum\angolnevindex{Gaddum, Jerry William} cikkét \cite{Nordhaus1956}}.

Ahhoz, hogy egyenlõséget kapjunk, legyen $G=K_a\dirsum\overline{K_b}$, 
ahol $ab>0$ és $a+b=n$. Ekkor $\overline G=\overline{K_a}\join K_b$, $\chi(G)=a$, és $\chi(\overline G)=b+1$. 
{Minden gráf, amelyben fennáll az egyenlõség, megtalálható Finck\angolnevindex{Finck, Hans-Joachim} cikkében \cite{Finck1966}}.

(b) A $G$ egy $k$-színezésében van legalább $\lceil n/k\rceil$ színezett csúcs; 
azok a csúcsok, amelyek a~$\overline G$ egy klikkjében vannak. Így
$\chi(G)\chi(\overline G)\ge\chi(G)\lceil n/\chi(G)\rceil\ge n$.

Egyenlõség áll fenn, ha $G=K_n$.\par
(Az (a) és (b)-bõl következtetjük, hogy $\chi(G)+\chi(\overline G) \ge 2\sqrt n$ és
$\chi(G)\chi(\overline G)\le{1\over 4}(n+1)^2$.) 
\ujgyak \label{megold7-128}
$\chi(G\cprod H)=\max(\chi(G),\chi(H))$. Ennyi színre mindenképpen szükségünk van. 
Ha továbbá az $a(u)$ és $b(v)$ függvények kiszínezik $G$-t és $H$-t a $\{0,1,\ldots,k-1\}$ színekkel, 
ki tudjuk színezni $G\cprod H$-t $c(u,v)=(a(u)+b(v))\mod k$-val. 
\ujgyak \label{megold7-129}
Egy teljes sor vagy oszlop (16 eset);
egy teljes, 4 vagy több hosszú átló (18 eset);
egy 5-cellás minta $\{(x,y),(x{-}a,y{-}a),(x{-}a,y{+}a),(x{+}a,y{-}a),(x{+}a,y{+}a)\}$, ha $a\in\{1,2,3\}$ ($36+16+4$ eset);
egy 5-cellás minta $\{(x,y),(x{-}a,y),(x{+}a,y),(x,y{-}a),\allowbreak(x,y{+}a)\}$,
ha $a\in\{1,2,3\}$ ($36+16+4$ eset);
egy minta, amelyben az 5 cellából 4 van, ha az ötödik kívül esik a táblán ($24+32+24$ eset);
vagy egy 4-cellás $\{(x,y), (x{+}a,y), (x,y{+}a), (x{+}a,y{+}a)\}$ minta,
ha $a\in\{1,3,5,7\}$ ($49+25+9+1$ eset).

Összesen maximum 310 klikk, rendre $(168,116,4,4,18)$ és $(4,5,6,7,8)$ méretekkel. 
\ujgyak \label{megold7-130}
Ha a $G$ gráfnak $p$ maximális klikkje van, a ~$H$ gráfnak pedig $q$, akkor az {\it egyesített} $G\join H$-nak $pq$, 
mivel a $G\join H$ klikkjei egyszerûen a $G$ és~$H$ klikkjeinek az uniója. Továbbá, 
a $\,\overline{\!K_n}$
üres gráfnak $n$ maximális klikkje van (nevezetesen az egyszeres halmazai).

Így az $\{n_1,\ldots,n_k\}$ partícióméretekkel rendelkezõ teljes $k$-partíciós gráfnak, ami egyébként az adott méretû 
üres gráfok egyesítésével keletkezik, $n_1\ldots n_k$ maximális klikkje van.
\ujgyak \label{megold7-131}
Feltehetõ, hogy $n>1$. Egy teljes $k$-partíciós gráfban, akkor maximálisak az $n_1\ldots n_k$ számok, ha mindegyik 
résznek a mérete 3, kivéve talán egy vagy két részt, amelyek mérete 2.
(Lásd a 7.2.1.4--68(a) gyakorlatot.) Tehát be kell bizonyítani, hogy $N(n)$ ennél nem lehet nagyobb \textit{bármely} 
gráfban.

 Legyen $m(v)$ azon klikkeknek a maximális száma, amelyek tartalmazzák a ~$v$ csúcsot. Ha $u\nadj v$ és $m(u)\le m(v)$, 
 akkor készítsük el a ~$G'$ gráfot hasonlóan a~$G$-hez, kivéve, hogy $u$ most szomszédos ~$v$ minden szomszédjával, 
kivéve a korábbi szomszédjait. Minden ~$U$ maximális klikk valamelyik gráfban a következõ $3$ osztály egyikébe tartozik:
\begin{itemize}
\item{i)} $u\in U$; 
Ezek közül $m(u)$ a $G$-ben van és $m(v)$ a másikból $G'$-ben.
\item{ii)} $v\in U$; Ezek közül $m(v)$ a $G$-ben és a $G'$-ben is van.
\item{iii)} $u\notin U$ és $v\notin U$; az ilyen maximális klikkek a $G$-ben egyben maximálisak a $G'$-ben is.
\end{itemize}

\noindent Ebbõl következõen $G'$-nek legalább annyi maximális klikkje van, mint $G$-nek. 
Így, a folyamat megismétlésével megkaphatunk egy $k$-partíciós gráfot.

{Az érvelés Erd\H{o}s Páltól\angolnevindex{Erdõs Pál (= Paul, 1913--1996)} származik, lásd Moon\angolnevindex{Moon, John Wesley}  
és Moser cikkét \cite{Moon1965}}.
\ujgyak \label{megold7-132}
A $G$-ben és a $H$-ban lévõ klikkek erõs szorzata klikk 
$G\sprod H$-ban a 93-as gyakorlat szerint; így $\omega(G\sprod H)\ge\omega(G)\omega(H)=
\chi(G)\chi(H)$. Másrészt, 
a $G$ $a(u)$ és $H$ $b(v)$ színezése elvezet a $G\sprod H$ $c(u,v)=(a(u),b(v))$ színezéséhez;
tehát $\chi(G\sprod H)\le\chi(G)\chi(H)$. 
Továbbá, $\omega(G\sprod H) \le\chi(G\sprod H)$. 
\vspace{-2mm}
\ujgyak \label{megold7-133}
(a) 24; (b)~60; (c)~3; (d)~6; (e)~6; (f)~4; (g)~5; (h)~4;
(i)~$K_2\sprod C_{12}$; 
(j)~18; (k)~12.
(l)~Igen, 5 fokkal.
(m)~Nem. {Le lehet rajzolni 12 \textit{vonal} segítségével?}
(n) Igen; Valójában, 4-összefüggõ (lásd 7.4.1). 
(o)~Igen; \textit{minden} gráfot irányítottnak tekintünk, 2 irányított éllel egy élnél.
(p)~Természetesen nem.
(q)~Igen, könnyedén.

{A zenei gráf egyszerû modulációt reprezentál a kulcs hangjegyek között.
Megtekinthetõ Wilson\angolnevindex{Wilson, Robin James} és Watkins\angolnevindex{Watkins, John Jaeger} 
könyvében \cite[73.oldal]{Wilson1990}}. 
\ujgyak \label{megold7-134}
Ha elforgatjuk és/vagy kicseréljük a belsõ és külsõ csúcsokat, 
találhatunk egy automorfizmust, amely bármely csúcsot $C\null$-ba visz. Ha $C$ fix, akkor 
felcserélhetjük a külsõ és belsõ csúcsát a fennmaradó 11 pár bármely részhalmazában, 
és/vagy megejthetünk egy bal-jobb tükrözést.

Ebbõl következõen $24\times 2^{11}\times 2=98304$ automorfizmus van összesen. 
\ujgyak \label{megold7-135}
Legyen $\omega=e^{2\pi i/6}$, és definiáljuk a $Q=(q_{ij})$,
$S=(s_{ij})$ mátrixokat, 
ahol $q_{ij}=[j=(i+1)\mod 12]$ és $s_{ij}=\omega^{ij}$,
$0\le i,j<12$ esetén. A \ref{gyak7-96}(b) gyakorlat szerint a $K_2\sprod C_{12}$ zenei gráf szomszédsági mátrixa  
$A={1\,1\choose1\,1}\otimes(I+Q+Q^-)-I$. 
Legyen $T$ a ${1\,\phantom-1\choose1\,-1}\otimes S$ mátrix; ekkor $T^-\!AT$ egy ~$D$ diagonális mátrix, amelynek elsõ 12 
eleme $1+4\cos{j\pi\over 6}$, ha $0\le j<12$, és a maradék $12$ eleme $-1$.
Ezért $A^{2m}=TD^mT^-$, továbbá a $2m$-lépéses utak száma $C$-bõl $\rm(C,G,D,A,E,B,F^\sharp)$-be rendre
$$
\begin{array}{ccccccc}
{\rm C}_m&=&\frac{1}{24}(25^m   & + 2(13+4\sqrt 3)^m      & +3^{2m+1} & +2(13-4\sqrt 3)^m & +16)\koz;\\
{\rm G}_m&=&\frac{1}{24}(25^m   & +\sqrt 3(13+4\sqrt 3)^m &-\sqrt 3(13-4\sqrt 3)^m        & -1)\koz;\\
{\rm D}_m&=&\frac{1}{24}(25^m   & +(13+4\sqrt 3)^m         & + (13-4\sqrt 3)^m-3)          & \koz;\\
{\rm A}_m&=&\frac{1}{24}(25^m   & -3^{2m+1}+2)\koz;\\
{\rm E}_m&=&\frac{1}{24}(25^m   & - (13+4\sqrt 3)^m        & - (13-4\sqrt 3)^m+1)\koz;\\
{\rm B}_m&=&\frac{1}{24}(25^m   & -\sqrt 3(13+4\sqrt3)^m   & +\sqrt3(13-4\sqrt 3)^m-1)\koz;\\
{\rm F}^\sharp_m&=&\frac{1}{24}(25^m & -2(13+4\sqrt 3)^m & +3^{2m+1} & -2(13-4\sqrt 3)^m)\koz;\cr
\end{array}
$$
%{\advance\thickmuskip-3mu
Teljesül még, hogy ${\rm a}_m = {\rm C}_m -1$,
${\rm d}_m = {\rm F}_m = {\rm e}_m = {\rm G}_m$ stb. Speciálisan, 

$\rm(C_6,G_6,D_6,A_6,E_6,B_6,F^\sharp_6) =$ 
(15462617, 14689116, 12784356, 10106096, 7560696, 5655936, 5015296),
tehát a keresett valószínûség $15462617/5^{12}\approx 6.33$. Ha $m \to \infty$, akkor a 
valószínûségek mindegyike ${1\over 24}+O(0.8^m)$.
\ujgyak \label{megold7-136}
Nem. Csak két 10-ed rendû Cayley-gráf harmadfokú, nevezetesen $K_2\cprod C_5$ (amelynek csúcsai
$\{e,\alpha,\alpha^2,\alpha^3,\alpha^4,
\beta,\beta\alpha,\beta\alpha^2,\beta\alpha^3,\beta\alpha^4\}$ alakba írhatók, ahol
$\alpha^5=\beta^2=(\alpha\beta)^2=e$$\bigr)$ és a $\{0,1,\ldots,9\}$ csúcsokkal rendelkezõ gráf és 
irányított élei 
$v \to (v{\pm}1)\mod 10$, $v \to{(v{+}5)\mod 10}$.
{Lásd Holton\angolnevindex{Holton, Derek Alan} és Sheehan\angolnevindex{Sheehan, John} könyvét \cite[9.10. gyakorlat]{Holton1993}}.
Mellékesen, a {\it raman}$(p,q,t,0)$ SGB gráf Cayley-gráf.]

%%%\noindent$$\advance\abovedisplayshortskip30pt
%%%\vcenter{\epsfbox{\figdir/v4a.1520}} \qquad\qquad
           
%%%\vcenter{\epsfbox{\figdir/v4a.1521}}$$ 

\ujgyak \label{megold70-137}
Legyen $[x,y]$ az $(x,y)$ címkéjének a jelölése; Azt szeretnénk, hogy
$[x,y]=[x+a,y+b]=[x+c,y+d]$ legyen minden $x$-re és~$y$-ra. 
Ha $A$ az $\begin{pmatrix}a & b \cr c & d\end{pmatrix}$
%\smash{$\\abcd$} 
mátrix, akkor az $A$ legalsó sorát $t$-szer hozzáadva a felsõ sorhoz 
megváltoztatja az $A$ mátrixot az $A'=\begin{pmatrix}1 & t \cr 0 & 1\end{pmatrix} 
A= \begin{pmatrix}a' & b' \cr c' & d'\end{pmatrix}$ mátrixra,
ahol $a'=a+tc$, $b'=b+td$, $c'=c$, $d'=d$. Az új
$[x,y]=[x+a\prime,y+b\prime]=[x+c^\prime,y+d^\prime]$ feltételek ekvivalensek a régivel; és
$\mbox{lnko}(a',b',c',d')=\mbox{lnko}(a,b,c,d)$. Hasonlóan tudjuk az $A$-t $\begin{pmatrix}1 0 & t & 1\end{pmatrix}$-gyel
%$\\10t1$-gyel 
balszorozni a probléma megváltoztatása nélkül.

Az oszlopokkal is tudunk manipulálni úgy, hogy az $A$-t kicseréljük az 
$$
\begin{pmatrix}
1 & t\cr 0 & 1
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
a'' & b'' \cr c'' & d''
\end{pmatrix}
$$ 
mátrixra, 
%$A''=A\\1t01=\\{a''}{b''}{c''}{d''}$-re, 
ahol $a''=a$, $b''=ta+b$, $c''=c$, $d''=tc+d$.
Ez a mûvelet csak egy kicsit változtatja meg a gyakorlat lényegét: 
Ha találunk egy címkézést, ami kielégíti az $<x,y>=<x+a'',y+b''>=<x+c'',y+d''>$-t minden 
$x$-re és~$y$-ra, akkor $[x,y]=[x+a,y+b]=[x+c,x+d]$, ha
$[x,y]=<x,y+tx>$. Hasonlóan tudjuk az ~$A$-t jobbszorozni a
%%$\\10t1$-gyel; 
$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 \cr t & 1
\end{pmatrix}
$$
mátrixszal, a probléma majdnem ugyanaz marad.

Az ilyen sor- és oszlopmûveletek sorozata $A$-t az 
%$U\!AV=\\100n$ 
$\textit{UAV} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \cr 0 & n \end{pmatrix}$
alakra egyszerûsíti, ahol $U$ és $V$ egész mátrixok, melyekre teljesül, hogy $\det U=\det V=1$. 
Ha pedig $V=\begin{pmatrix}\alpha & \beta \cr \gamma & \delta\end{pmatrix}$, akkor a redukált feladat címkézése, ami kielégíti 
az $<x,y>=<x+1,y>=<x,y+n>$ feltételt, egy egyszerû megoldást ad az eredeti címkézési feladatra
$[x,y]=<\alpha x+\gamma y,\beta x+\delta y>$ megadással. 
Végül, a redukált címkézési probléma egyszerû: 
legyen $<x,y>=y\mod n$. Így a keresett válasz a $p=\beta$, $q=\delta$ beállítás. 
\ujgyak \label{megold70-138}
Folytatva azt, amit elkezdtünk, de most egy $k\times k$-os $A$ mátrixszal, a sor- és oszlop mûveletek redukálják a 
problémát az $U\!AV$ diagonális mátrixra. A $(d_1,\ldots,d_k)$ diagonális elemek azokkal a feltétellel vannak jellemezve, hogy 
$d_1\ldots d_j$ az $A$ minden $j\times j$-s részmátrixa determinánsainak a legnagyobb közös osztója. 
[Ez a \idez{\textit{Smith normál forma}}; {lásd Smith\angolnevindex{Smith, Mark Andrew} cikkét \cite{Smith1861}}.
Ha az $<x>$ címkézés kielégíti a redukált problémát, az eredeti feladat is meg van oldva
$[x]=<xV>$ választással. Az általánosított tórusz elemeinek száma $n=\det A=d_1\ldots d_k$.

Mint ahogy azt említettük, a redukált problémának van egyszerû megoldása, ha $d_1=\cdots=d_{k-1}=1$. 
De általánosságban a redukált címkézés egy rendes $r$-dimenziós tórusz $(d_{k-r+1},\ldots,d_k)$ dimenzióval, 
ahol $d_{k-r+1}>d_{k-r}=1$. (Itt $d_0=1$; lehetséges, hogy $r=k$.)

A kért példában azt találjuk, hogy $d_1=1$, $d_2=2$, $d_3=10$, $n=20$; valóban,
$$UAV = \begin{pmatrix}1 & -2 & 0\cr 0 & 1 & -1 \cr -1 & -1 & 4\cr\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}3 &  1 & 1\cr 1 & 3 &  1 \cr  1 &  1 & 3\cr\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1 &  5 & 6\cr 0 & 1 &  1\cr   0 &  0 & 1\cr\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}1 &  0 & 0\cr 0 & 2 &  0\cr   0 &  0 &10\cr\end{pmatrix}\koz.$$

Minden $(x,y,z)$ ponthoz most egy 2-dimenziós  
$(u,v)=((5x+y)\mod 2, (6x+ y+z)\mod 10)$ címke tartozik.

Az $(u,v)$ 6 szomszédja 
$((u\pm1)\mod2,v)$, $((u\pm1)\mod2,\allowbreak(v\pm1)\mod10)$,
$(u,(v\pm1)\mod 10)$.

Ez egy \textit{multigráf}, mivel az elsõ 2 szomszéd azonos; de ez nem ugyanaz, mint a $C_2\sprod C_{10}$ multigráf, 
amely 8-ad fokú.

{Az általánosított tóruszok tulajdonképpen az Ábel-csoportok {\textit{Cayley-gráfjai}; lásd a \ref{gyak7-136}. gyakorlatot.}  
Úgy vannak tervezve, mint megfelelõ összekapcsolt hálózatok, melyben fontos az átmérõ minimalizálása, 
amikor $k$ és~$n$ meg vannak adva. Lásd Wong\angolnevindex{Wong, Chak-Kuen} és Coppersmith\angolnevindex{Coppersmith, Don} 
\cite{Wong1974}, valamint Fiduccia\angolnevindex{Fiduccia, Charles Michael}, Forcade\angolnevindex{Forcade, Rodney Warring} 
és Zito\angolnevindex{Zito, Jennifer Snyder} cikkét \cite{Fiduccia1998}}. 
\ujgyak \label{megold7-139}
(Ez a gyakorlat segít tisztázni a különbséget a 
$G$ \textit{címkézett gráfok}\gyakindex{címkézett gráf = labeled graph}, ahol a csúcsoknak határozott neve van,
és a \ref{abra7-2}. ábrán látható $H$ \textit{címkézetlen gráfok}\gyakindex{címkézetlen gráf = unlabeled 
graph}\gyakindex{gráf = graph!címkézetlen gráf = unlabeled graph} között.) 
Ha $N_H$ azon címkézett gráfok száma $\{1,2,\ldots,h\}$ felett, amelyek izomorfak ~$H$-val, és ha $U$ bármely $h$-elemû 
részhalmaza ~$V$-nek, annak a valószínûsége, hogy 
$G\rest U$ izomorf ~$H$-val $N_H/2^{h(h-1)/2}$. Ezért a válasz $\binom{n}{h}N_H/2^{h(h-1)/2}$. 
Meg kell határoznunk az ~$N_H$ értékét, amely:
(a)~1; (b)~$h!/2$; (c)~$(h-1)!/2$; (d)~$h!/a$, ahol $H$-nak 
$a$\textit{automorfizmusa}\gyakindex{automorfizmus = automorphism} van.
\ujgyak \label{megold7-140}
(a) $\#(K_3{:}W_n)=n{-}1$ és 
$\#(P_3{:}W_n)= \binom{n -1}{2}$, ha $n\ge 5$; valamint $\#(\,\overline{\!K_3}{:}W_8)=7$.\par
(b) $G$ pontosan akkor arányos, ha 
$\#(K_3{:}G)=\#(\,\overline{\!K_3}{:}G) = \frac{1}{n}\binom{n}{3}$ és
$\#(P_3{:}G)=\#({\overline P}_{\!3}{:}G)= \frac{3}{8}\binom{n}{3}$.
Ha $G$-nek $e$ éle van, akkor $(n-2)e=3\#(K_3{:}G)+2\#(P_3{:}G)
+\#({\overline P}_{\!3}{:}G)$,  mivel minden csúcspár 
$n{-}2$ indukált részgráfban szerepel. Ha $G$-nek $d_1\ldots d_n$ foksorozata van, akkor 
$d_1+\cdots+d_n=2e$, \ ${d_1\choose2}+\cdots+{d_n\choose2}=3\#(K_3{:}G)+\#(P_3{:}G)$, és
$d_1(n{-}1{-}d_1)+\cdots+d_n(n{-}1{-}d_n)= 2\#(P_3{:}G)+2\#({\overline P}_{\!3}{:}G)$.

Ezért egy arányos gráf kielégíti ($*$)-ot -- kivéve ha $n=2$.
(A gyakorlatnak ki kell zárnia ezt az esetet.) 

Másrészt, ha $G$ kielégíti ($*$)-ot és megvan a helyes $\#(K_3{:}G)$ érték, akkor megvan a helyes
$\#(P_3{:}G)$, $\#({\overline P}_{\!3}{:}G)$,
és $\#(\,\overline{\!K_3}{:}G)$ érték is.

{\textit{Hivatkozások:} Janson\angolnevindex{Janson, Carl Svante} és Kratochvíl\angolnevindex{Kratochvíl, Jan} 
cikke \cite{Janson1991}. A \cite{Barbour1989} közleményben 
Barbour\angolnevindex{Barbour, Andrew David}, Karo$\acute{\textnormal{n}}$ski\angolnevindex{Karo$\acute{\textnormal{n}}$ski, 
Micha{\l}} és Ruci$\acute{\textnormal{n}}$ski\angolnevindex{Ruci$\acute{\textnormal{n}}$ski, Andrzej} megmutatta, 
hogy a $\#(H{:}G)$ eltérése arányos vagy $n^{2h-2}$-vel, vagy $n^{2h-3}$-mal, vagy $n^{2h-4}$-el, ahol az elsõ eset akkor áll elõ, 
ha $H$-nak nincsen $\half{\binom{h}{2}}$ éle, és a harmadik eset akkor áll elõ, ha $H$ arányos gráf.}
\ujgyak \label{megold7-141}
Csak 8 darab $d_1\ldots d_8$ foksorozat elégíti ki ($*$)-ot:
73333333\thinspace(1/2), 65433322\thinspace(26/64),\linebreak
\noindent 64444222\thinspace(2/10), 64443331\thinspace(8/22),
55543222\thinspace(8/20), 55533331\thinspace(2/10), 
55444321\thinspace(26/64), és \linebreak
\noindent 44444440\thinspace(1/2). Minden foksorozat itt $(N_1/N)$ statisztikával van bemutatva, 
ahol $N$ nemizomorf gráfnak van ez a sorozata, és $N_1$ közülük arányos. Az utolsó három eset az elsõ három komplementere.

Nincs olyan 8-ad rendû gráf, amely egyszerre arányos és {\it komplementerével megegyezõ}.
Maximálisan szimmetrikus példák az elsõ 5 esetre $W_8$,

IDE ÁBRA KELL
%%%$$\def\\#1{\vcenter{\epsfbox{\figdir/v4a.220#1}}}
%%%\\0\,\,,\qquad
%%%\\1\,,\qquad
%%%\\2\,,\qquad\hbox{és}\qquad
%%% \\3\,.$$
\ujgyak \label{megold7-142}
A tipp ugyanaz, mint amit az elõzõ feladatban csináltunk;
$(n-3)\#({\overline{K}}_{\!3}{:}G)$ és $(n-3)\#(P_3{:}G)$ 
kifejezhetõ négycsúcsok számában. Továbbá egy $e$ élû gráfra 
${e\choose2}=\#(P_3\subseteq G)+ \#(K_2\dirsum K_2\subseteq G)$, mivel bármely két él 
$P_3$-at vagy $K_2\dirsum K_2$-t alkot; ebben a formulában $\#(P_3\subseteq G)$ nem feltétlenül indukált 
részgráfot számol.

$\#(P_3\subseteq G)=
\#(P_3{:}G)+3\#(K_3{:}G)$, és egy hasonló formula kifejezi 
$\#(K_2\dirsum K_2\subseteq G)$-t az indukáltak megszámlálásának a segítségével.

Így egy túlarányos gráfnak arányosnak kell lenni és ki kell elégítenie 
$e={1\over2}{n\choose2}$-t, 
$\#(P_3\subseteq G)={3\over4}{n\choose3}$-t,
$\#(K_2\dirsum K_2\subseteq G)={3\over4}{n\choose4}$-t. 
Ezek az értékek azonban ellentmondanak az ${e\choose2}$ formulának.
\vspace{-2mm}
\ujgyak \label{megold7-143}
Tekintsük azt a gráfot, amelynek csúcsai az $A$-nak a sorai, és amelynek $u\adj v$ élei olyan $u$ és~$v$ sorokat
kötnek össze, amelyek a $j$ oszlop kivételével megegyeznek. Cimkézzünk egy ilyen élt $j$-vel.

Ha a gráfban van kör, töröljük valamely élét a körnek, és ismételjük a folyamatot mindaddig, amíg nem lesz kör. Vegyük észre, 
hogy a törölt élnek a címkéje valahol máshol feltûnik a körben; 
így a törlés nem befolyásolja az él címkék halmazát. Ekkor azonban már csak kevesebb, mint 
$m\le n$ él maradt a 2.3.4.1A tétel szerint; tehát kevesebb, mint $n$ különbözõ címke van.
{Lásd Bondy cikkét \cite{Bondy1972}.}
\ujgyak \label{megold7-144}
Legyen $G$ gráf az $\{1,\ldots,m\}$ csúcsokkal, és 
$i\adj j$ élekkel akkor és csakis akkor, ha $\ast\neq x_{il}\neq x_{jl}\ne\ast$ 
valamely ~$l$-re. Ez a gráf pontosan akkor $k$-színezhetõ, ha van egy kiegészítése legfeljebb $k$ különbözõ sorral. 
Másrészt, ha $G$ egy gráf 
$\{1,\ldots,n\}$ élekkel, $A$ \textit{szomszédsági mátrixszal},\gyakindex{illeszkedési mátrix = incidence matrix} 
az $n\times n$-es $X=A+\ast(J-I-A)$ mátrixnak van az a tulajdonsága, hogy 
$i\adj j$ pontosan akkor, ha $\ast\neq x_{il}\neq x_{jl}\neq\ast$ valamely~$l$-re.
{Lásd Sauerhoff\angolnevindex{Sauerhoff, Martin} és Wegener\angolnevindex{Wegener, Ingo Werner} cikkét \cite{Sauerhoff1996}.}
\ujgyak \label{megold7-145}
Legyen $c\gets 0$ és ismételjük a következõ mûveleteket 
$1\le j\le n$-re: Ha $c=0$, akkor legyen $x\gets a_j$ és $c\gets 1$;
egyébként, ha $x=a_j$, legyen $c\gets c+1$; egyébként legyen $c\gets c-1$. Ekkor $x$ a válasz.

Az ötlet az, hogy tartsuk szemmel a lehetséges $x$ gyakori elemet, amely $c$ alkalommal fordul elõ a nem elhagyott elemek között;
Elhagyjuk az $a_j$-t és egy $x$-et mindannyiszor, ha találunk $x\neq a_j$-t.
{Lásd Wos\angolnevindex{Wos, Larry} cikkét \cite{Wos1991}.} 

{Az összes olyan elem megkeresésének kiterjesztését $O(n\lg k)$ lépésben, amely több, mint $n/k$ alkalommal fordul elõ,
Misra\angolnevindex{Misra@\string\Misra} és Gries\angolnevindex{Gries, David Joseph} cikke tárgyalja \cite{Misra1982}.}
\end{gyak}
}



\markboth{\sf 7. KOMBINATORIKUS ELEMZÉS (4. kötet, 0. rész)}{\sf 7.1.1. PONT ALFEJEZET GYAKORLATAINAK MEGOLDÁSA}
\pagestyle{myheadings}
\section*{A 7.1.1. pont gyakorlatainak megoldása}
\addcontentsline{toc}{section}{A 7.1.1. pont gyakorlatainak a megoldása}
\small
\begin{gyak}
%%% 1
\ujgyak \label{megold711-1}
%%% 2
\ujgyak \label{megold711-2}
%%% 3
\ujgyak \label{megold711-3}
%%% 4
\ujgyak \label{megold711-4}
Scheffer \cite{Scheffer1913}
%%% 5
\ujgyak \label{megold711-5}
Bernstein \cite{Bernstein1914}
%%% 6
\ujgyak \label{megold711-6}
%%% 7
\ujgyak \label{megold711-7}
Jevons \cite[§151]{Jevons1864}
%%% 8
\ujgyak \label{megold711-8}
\vspace{3mm}

\textbf{\ldots}
\vspace{3mm}
\setcounter{gyakcounter}{23}
%%% 24
\ujgyak \label{megold711-24}
Knuth és Moore \cite{Knuth1975}
%%% 25
\ujgyak \label{megold711-25}
%%% 26
\ujgyak \label{megold711-26}
%%% 27
\ujgyak \label{megold711-27}
Fredman \cite{Fredman1996}
%%% 28
\ujgyak \label{megold711-28}
Cutler \cite{Cutler1987}
%%% 29
\ujgyak \label{megold711-29}
%%% 30
\ujgyak \label{megold711-30}
Morreale \cite{Morreale1967, Morreale1968}
%%% 31
\ujgyak \label{megold711-31}
Blake \cite{Blake1937}

Samson \cite{Samson1954}

Quine \cite{Quine1955}

Tison \cite{Tison1967}

Sloan \cite{Sloan2005,Sloan2008}

Chandra \cite{Chandra1978}

Laborde \cite{Laborde1980}
%%% 32
\ujgyak \label{megold711-32}
%%% 33
\ujgyak \label{megold711-33}
%%% 34
\ujgyak \label{megold711-34}
Mileto \cite{Mileto1964}

Weber \cite{Weber1983}
%%% 35
\ujgyak \label{megold711-35}
Ball \cite{Ball1988}
%%% 36
\ujgyak \label{megold711-36}
Boros \cite{Boros1988}
%%% 37
\ujgyak \label{megold711-37}
Ball \cite{Ball1979}
%%% 38
\ujgyak \label{megold711-38}
%%% 39
\ujgyak \label{megold711-39}
%%% 40
\ujgyak \label{megold711-40}
%%% 41
\ujgyak \label{megold711-41}
Cook \cite{Cook1985}

Peirce \cite{Peirce1887}
\textbf{\ldots}
\vspace{3mm}
\setcounter{gyakcounter}{48}
\textbf{\ldots}
\vspace{3mm}
%%% 49
\ujgyak \label{megold711-49}
Büning \cite[§5.6]{Kleine1994}
%%% 50
\ujgyak \label{megold711-50}
Istrate \cite{Istrate2002}
\setcounter{gyakcounter}{84}
%%% 85
\ujgyak \label{megold711-85}
\epsfbox{\figdir/v4a.86}
%%% 86
\ujgyak \label{megold711-86}
%%% 87
\ujgyak \label{megold711-87}
%%% 88
\ujgyak \label{megold711-88}
%%% 89
\ujgyak \label{megold711-89}
%%% 90
\ujgyak \label{megold711-90}
Ha $t = 2$, akkor \epsfbox{\figdir/v4a.1000}
\vspace{3mm}

\textbf{\ldots}
\vspace{3mm}
\setcounter{gyakcounter}{94}
%%% 95
\ujgyak \label{megold711-95}
\epsfbox{\figdir/v4a.1004}

\epsfbox{\figdir/v4a.1014}
\vspace{3mm}

\textbf{\ldots}
\vspace{3mm}
\setcounter{gyakcounter}{132}
%%% 133
\ujgyak \label{megold-133}
\end{gyak}

\markboth{\sf 7. KOMBINATORIKUS ELEMZÉS (4. kötet, 0. rész)}{\sf 7.1.2. PONT ALFEJEZET GYAKORLATAINAK MEGOLDÁSA}
\pagestyle{myheadings}
\section*{A 7.1.2. pont gyakorlatainak megoldása}
\addcontentsline{toc}{section}{A 7.1.2. pont gyakorlatainak a megoldása}
\small
\begin{gyak}
%%% 1
\ujgyak \label{megold712-1}
%%% 2
\ujgyak \label{megold712-2}
%%% 3
\ujgyak \label{megold712-3} Finikov \cite{Finikov1957}
%%% 4
\ujgyak \label{megold712-4} Spira \cite{Spira1971}
\vspace{3mm}

\textbf{\ldots}
\vspace{3mm}
\setcounter{gyakcounter}{30}
%%% 31
\ujgyak \label{megold712-31} Lupanov \cite{Lupanov1961}
\vspace{3mm}

\textbf{\ldots}
\vspace{3mm}
\setcounter{gyakcounter}{34}
%%% 35
\ujgyak \label{megold712-31} Wegener \cite{Wegener1987}
%%% 36
\ujgyak \label{megold712-36} Ladner \cite{Ladner1980}
%%% 37
\ujgyak \label{megold712-37} Snir \cite{Snir1986}
%%% 38
\ujgyak \label{megold712-38} Muller \cite{Muller1975}
%%% 39
\ujgyak \label{megold712-39} Paterson \cite{Paterson1980}
%%% 40
\ujgyak \label{megold712-40}
%%% 41
\ujgyak \label{megold712-41} Sklansky \cite{Sklansky1960}
%%% 42
\ujgyak \label{megold712-42} Weinberger \cite{Weinberger1956}

Brent \cite{Brent1982}

Hrapcsenko \cite{Khrapchenko1967}

Knuth [276--279]\cite{Knuth1994}

Babbage \cite{Babbage1889}

Fenwick \cite{Fenwick1987}
%%% 43
\ujgyak \label{megold712-43}
%%% 44
\ujgyak \label{megold712-44} Ofman \cite{Ofman1962}
Savage \cite{Savage1976}
%%% 45
\ujgyak \label{megold712-45}
Savage \cite{Savage1976}
%%% 46
\ujgyak \label{megold712-46}
%%% 47
\ujgyak \label{megold712-47}
%%% 48
\ujgyak \label{megold712-48} Knuth \cite{Knuth1994}
%%% 49
\ujgyak \label{megold712-49} Riordan \cite{Riordan1942}

Kricsevszki \cite{Krichevski1959}

Lupanov \cite{Lupanov1960}
%%% 50
\ujgyak \label{megold712-50} Ofman \cite{Ofman1962}
\vspace{3mm}

\textbf{\ldots}
\vspace{3mm}
\setcounter{gyakcounter}{87}
%%% 88
\ujgyak \label{megold-88}
\end{gyak}

\bibliography{KnuthAprilis3}
\bibliographystyle{infalg}

\begin{printindex}
\end{printindex}


\begin{printangolnevindex}
\end{printangolnevindex}

\chapter*{ANGOL--MAGYAR SZÓTÁR}
\addcontentsline{toc}{chapter}{ANGOL--MAGYAR SZÓTÁR}

\markboth{\sf 7. KOMBINATORIKUS ELEMZÉS (4. kötet 0. rész)}{\sf ANGOL--MAGYAR SZÓTÁR}
\pagestyle{myheadings}
\footnotesize

\vspace{4mm}
\textbf{Jelölések}\\
$\smile$, \see \texttt{smile} = $\smile$, \textit{lásd} mosoly \\
$0$--$1$ matrices, \also Adjacency matrices = $0$--1 mátrixok, \textit{lásd még} szomszédsági mátrixok\\
$0$--$1$ principle = $0$--$1$-elv \\
$0$-preserving functions, \see Normal Boolean functions = $0$-megõrzõ függvények, \textit{lásd} normál Boole-függvények\\
2-coloring = 2-színezés \\
2-monotonic functions, \see Regular Boolean functions = 2-monoton függvények, \textit{lásd} reguláris Boole-függvények\\
2-partite graphs, \see Bipartite graphs = páros gráfok\\
2-variable functions = 2 változós függvények

table of 2-variable functions = 2 változós függvények táblázata \\
$2^m$-way multiplexer = $2^m$-utas multiplexer\\
2CNF, \also Krom functions = 2CNF, \textit{lásd még} Krom-függvények\\
2SAT = 2SAT \\
2SAT functions, \see 2CNF = 2SAT függvények, \textit{lásd} 2CNF \\
3-coloring = 3 színezés \\
3-cube = 3 kocka \\
3-variable functions = 3 változós függvények

table of 3-variable functions = 3 változós függvények táblázata \\
3CNF = 3CNF\\
3SAT = 3SAT\\
4-coloring = 4-színezés \\
4-cycles = 4 körök \\
4-variable functions = 4 változós függvények \\
5-variable functions = 5 változós függvények
$\alpha(H)$ (independence number of a graph or hypergraph) = $\alpha(H)$ (gráf vagy hipergráf függetlenségi száma)\\
$\gamma$ (Euler's constant), as source of ``random'' data = $\gamma$ (Euler-konstans), mint \idez{véletlen} adatok forrása\\
$\nu x$ (sideways sum) = oldalösszeg\\
$\pi$ (circle ratio), as source of ``random'' data, \also Pi function = $\pi$ (körarány), mint \idez{véletlen} adatok forrása, 
\textit{lásd} Pi-függvény \\
$\pi$ =  $\pi$\\
$\Sigma(f)$ (true-vector sum) = $\Sigma(f)$ (igazság-vektor összeg)\\
$\phi$ (golden ratio) as source of ``random'' data = = $\phi$ (aranymetszés aránya) mint az \idez{véletlen} 
adatok forrása \\
$\chi(H)$ (chromatic number of a graph or hypergraph) = $\chi(H)$ (gráf vagy hipergráf kromatikus száma) \\
$\omega(G)$ (clique number of a graph) = \newline \newline
$a$-codes, \see Asterisk codes for subcubes = $a$-kódok, \textit{lásd} csillag-kódok részkockákra\\
Abelian (commutative) groups = Abel-féle (kommutatív) csoportok\\
Absorption laws = abszorpciós szabályok \\
Acyclic: Containing no cycles = körmentes: kört nem tartalmazó\\
Acyclic digraphs = körmentes irányított gráfok \\
Addition, binary = bináris összeadás\\
Addition modulo 3 and 5 = összeadás modulo 3 és 5\\
Addition modulo 4 = összeadás modulo 4\\
Addition table modulo $n$ = mod $n$ összeadási tábla\\
Adjacency lists = szomszédsági listák\\
Adjacency matrices = szomszédsági mátrixok\\
Adjacent vertices = szomszédos csúcsok \\
Affine Boolean functions = \\
Affirmation ($\top$) = \\
All-$0$s matrix = \\
All-1s matrix = \\
All-equal function ($S_{0,n}$) = \\
Alphabetic order = \\
Anagrams = anagrammák \\
Analysis of algorithms = algoritmusok elemzése \\
AND ($\wedge$) = AND ($\wedge$)

bitwise AND ($\&$) = bitenkénti AND ($\&$)\\
AND operation, bitwise = bitenkénti AND mûvelet \\
AND gates ($\wedge$) = AND kapuk ($\wedge$)

with vacuum tubes = \\
AND-OR chains = AND-OR láncok \\
AND-OR--NOT chains, \also Canalizing chains \\
Antisymmetric digraphs = antiszimmetrikus irányított gráfok\\
Apportionment = \\
Approximately decomposable functions = \\
Arabic mathematics = arab matematika \\
Arc lists = irányított élek listái \\
Arc variables =  \\
Arcs in a graph = irányított élek egy gráfban 

arcs in a graph as edges = irányított élek egy gráfban mint élek \\
\texttt{ARCS}($v$) (first arc of a vertex) = \texttt{ARCS}($v$) (egy csúcs elsõ irányított éle) \\
Arithmetic progressions = számtani sorozatok \\
Associative block designs = \\
Associative laws = asszociatív szabályok\\
Asterisk codes for subcubes = \\
Asterisks = \\
Asymptotic methods = aszimptotikus módszerek \\
Automated deduction = \\
Automorphisms = automorfizmusok\\
Availability polynomials = \newline \newline
$b$-codes, \see Bit codes for subcubes = \\
Backward-computation principle = \\
Bad pairs = rossz párok \\
Barycentric coordinates = baricentrikus koordináták \\
Bears, California Golden = \\
Bell Telephone Laboratories = \\
Bent functions = \\
Betweenness = \\
\textit{bi\_book} graphs = \\
\textit{bi\_lisa} graphs = \\
Bigraphs, \see Bipartite graphs \\
Bijunctive clauses, \see Krom clauses \\
Binary addition = \\
Binary comparison function = \\
Binary decoder = \\
Binary majorization lattices = \\
Binary number system = \\
Binary operator: A function of two variables = \\
Binary recurrences = \\
Binary strings = bináris füzérek \\
Binary trees = bináris fák

complete binarytrees = teljes bináris fák \\
Binary-coded decimal digits = \\
Bipartite graphs = páros gráfok

bipartite graphs corresponding to hypergraphs = hipergráfoknak megfelelõ páros gráfok \\
Bipartite hypergraphs = páros hipergráfok \\
Bipartite matching = \\
Bipartiteness testing = párosság tesztelése \\
Bishop moves on a chessboard = \\
Bit codes for subcubes = \\
Bitburger Brauerei = \\
Bitwise operations = bitenkénti mûveletek

AND ($\&$) = 

medians =  

OR ($|$) = 

saturating subtraction ($\dotminus$) =  

XOR ($\oplus$) =  \\
Block designs = \\
\textit{board} graphs = \\
\textit{book} graphs =   \\
Boolean binary operators = bináris Boole-operátorok

table of Boolean binary operators = bináris Boole-mûveletek táblázata \\
Boolean chains = Boole-láncok  

AND-OR Boolean chains = AND-OR Boole-láncok 

AND-OR-NOT Boolean chains = AND-OR-NOT Boole-láncok

canalizing of Boolean chains = 

definition of Boolean chains = Boole-láncok definíciója

monotone Boolean chains = monoton Boole-láncok 

Boolean chains of 3 variables = 3 változós Boole-láncok

Boolean chains of 4 variables = 4 változós Boole-láncok

Boolean chains of 5 variables = 5 változós Boole-láncok

Boolean chains of many variables = sokváltozós Boole-láncok

optimization of Boolean chains = Boole-láncok optimizálása

Boolean chains with several outputs = \\
Boolean functions = Boole-függvények

affine Boole functions = affin Boole-függvények

bent of Boole-functions =

canalizing of Boole-functions =

duals of Boole-functions = 

enumeration of Boole-functions = 

Horn = 

Krom = 

majority, \see Medians = 

monotone, \see Monotone Boolean functions = 

Boolean chains of 2 variables = 

Boolean chains of 3 variables = 

random Boolean chains = 

regular Boolean functions = reguláris Boole-függvények 

self-dual, \see Self-dual Boolean functions = 

symmetric Boole functions = szimmetrikus Boole-függvények 

threshold Boole functions = küszöb Boole-függvények

unate Boole functions = \\
Boolean games = Boole-játékok \\
Boolean values = Boole-értékek\\
Bootstrapping = \\
Bottom-up synthesis = \\
Breadth-first search = \\
Buddies = \\
BUT-NOT gates ($\nimp$) = \newline \newline
\CEE/ language = \\
$C(f)$, \see Cost of a Boolean function.
$C(f_1\ldots f_m)$ = \\
$C^{+\mathstrut}(f)$ = \\
$C_m(f)$ = \\
$C_n$ (cycle of order $n$) = \\
$C\orie_{\!n}$ (oriented cycle of order $n$) = \\
California Golden Bears = \\
Canalizing chains = \\
Canalizing functions = \\
Canalizing operators = \\
Cancellation laws = \\
Canonical forms, \see Full conjunction normal form, Full disjunctive normal
 form, Integer multilinear representation,
 Multilinear representation of a Boolean function = \\
Cardinal, Stanford = \\
Cares, \also Don't-cares = \\
Carry bits = átviteli bitek \\
Cartesian product of graphs = gráfok Descartes-szorzata \\
Cat's game = \\
Categorical product of graphs, \see Direct product of graphs = \\
Cayley digraphs = irányított Cayley-gráfok \\
Cayley graphs = Cayley-gráfok \\
Censorship = \\
Characteristic polynomial of a Boolean function = \\
\see Integer multilinear representation = \\
Chase sequence = Chase-sorozat \\
Chess = sakk \\
Chessboard-like graphs = skktáblaszerû gráfok

bishop moves = futó lépések

generalized piece moves = általánosított gyalog lépések 

king moves = király lépések

knight moves = huszár lépések

queen moves = vezér lépések

rook moves = bástya lépések \\
Chromatic index, \see Edge-chromatic number = \\
Chromatic number $\chi(G)$ = \\
Chow parameters $N(f)$ and $\Sigma(f)$ = \\
Christmas tree patterns = \\
Chvátal-graph = Chvátal-gráf \\
CI-nets = \\
Circuits, Boolean, \see Boolean chains = \\
Clause: A disjunction of literals = \\
Claw graph = \\
Clique covers = \\
Clique number $\omega(G)$ = \\
Cliques = klikkek \\
Closure under intersections = \\
Closure under medians = \\
Clustering = \\
CNF, \see Conjunctive normal form = \\
Coalitions = \\
Codewords, $b$-ary = $b$-áris kódszavak \\
Coding theory = kódelmélet \\
Cographs = \\
Coins, biased = \\
Colleges = \\
Coloring of graphs = gráfok színezése\\
Coloring of hypergraphs = hipergráfok színezése\\
Combinational complexity, \see Cost of a Boolean function = kombinációs bonyolultság, \textit{lásd} Boole-függvény költsége\\
Combinatorial explosion = \\
Combinatorics, \also Graphs \\
Comedy festival = \\
Commutative laws = \\
Comparator modules = \\
Comparator-inverter networks = \\
Comparison function, binary = \\
Compiler technology = \\
Complement, of a Boolean function = Boole-függvény komplemense 

complement of a graph = gráf komplemense

complement of a simple digraph = egyszerû irányított gráf komplemense

complement of an $r$-uniform hypergraph = $r$-egyenletes hipergráf komplemense \\
Complementation laws = komplementálási szabályok \\
Complete bigraphs ($K_{m,n})$ = teljes páros gáfok ($K_{m,n})$  \\
Complete binary trees = teljes bináris fák\\
Complete binary tries = \\
Complete bipartite graphs = teljes páros gráfok \\
Complete digraphs ($J_n$) = \\
Complete graphs ($K_n$) = teljes gráfok ($K_n$) \\
Complete $k$-partite graphs = \\
Complete $r$-uniform hypergraphs = teljes $r$-egyenletes hipergráfok

bipartite Complete $r$-uniform hypergraphs = páros teljes $r$-egyenletes hipergráfok \\
Complete ternary tries = \\
Complete tripartite graphs ($K_{m,n,r}$) = \\
Completion of a matrix = \\
Components = komponensek \\
Composition of functions = \\
Composition of graphs, \see Lexicographic product of graphs  = \\
Compositions of an integer = \\
Condensation principle = \\
Conditional-sum adders = \\
Conjugate of a partition = \\
Conjunction ($\wedge$), \see AND = \\
Conjunction of graphs, \see Direct product of graphs = \\
Conjunctive normal form (CNF) = konjunktív normál forma (CNF)

full conjunctive normal form = teljes konjuktív normál forma 

monotone conjunctive normal form = monoton konjuktív normál forma \\ 
Conjunctive prime form = \\
Connected digraphs = összefüggõ irányított gráfok \\
Connected graphs = összefüggõ gráfok \\
Connectivity of a graph = gráf összefüggõsége \\
Consecutive 1s = egymást követõ 1-esek \\
Consecutive arcs = egymást követõ irányított élek \\
Consensus = \\
Consonants = mássalhangzók \\
Context-free grammar = környezetfüggetlen nyelvtan \\
Contiguous United States of America = \\
Contradiction ($\perp$) = \\
Contrapositive = \\
Control grids = \\
Converse implication ($\subset$) = \\
Converse nonimplication ($\cnimp$) = \\
Converse of a digraph = \\
Convex hull of points = pontok konvex burka\\
Convex sets = konvex halmazok \\
Core of a Horn function = \\
Cost of a Boolean function = Boole-függvény költsége 

statistics = \\
Coteries = \\
Covering in a lattice = \\
Covering problems = 

exact covering problems = 

minimum covering problems \\
Crossings in a diagram = \\
Cube graphs ($k$-cubes) = \\
Cubes, \also Hypercubes, Subcubes = \\
Cubic graphs = \\
Cycle graph $C_n$ = \\
Cycles = 

cycles in a hypergraph = 

cycles of a permutation = 
oriented cycles = \\
Cylinders = \newline \newline
$D(f)$, \see Depth of a Boolean function = \\
$d^+(v)$ (out-degree of $v$) = \\
$d^-(v)$ (in-degree of $v$) = \\
$d(u,v)$ (distance in a graph) = 

directed distance in a graph = 

generalized distance in a graph = \\
Dags (directed acyclic graphs) = \\
Dancing links method = \\
Data replication = \\
De Morgan laws = \\
Decoder, binary = bináris dekóder \\
Decomposition of functions = \\
Decomposition of partial functions = \\
Decomposition or development laws = \\
Definite Horn clauses = \\
Definite Horn functions = \\
Degree of a vertex = csúcs fokszáma\\
Degree sequences = foksorozatok\\
Delaunay triangulation = \\
Depth of a Boolean function = 

statistics \\
Depth-first search = \\
Determinants = determinánsok\\
Diagonal matrices = \\
Diagonalization = \\
Diagrams for digraphs \\
Diagrams for graphs = \\
Diameter of a free median graph = \\
Diameter of a graph = gráf átmérõje \\
Dictionaries of English = \\
Digitized image = \\
Digraphs, \see Directed graphs = \\
Direct product of graphs = \\
Direct product of matrices = \\
Direct sum of graphs = \\
Direct sum of matrices = \\
Directed acyclic graphs = \\
Directed distance $d(u,v)$ = \\
Directed graphs = irányított gráfok

complete directed graphs = teljes irányított gráfok

components of directed graphs = irányított gráfok komponensei

converse of directed graphs = 

random directed graphs = 

representation of directed graphs =

strong components of directed graphs = irányított gráfok erõs komponensei \\
Directed hypergraphs = irányított hipergráfok \\
Directed join of digraphs = \\
Discrete Fourier transforms = diszkrét Fourier-transzformált \\
Disjoint decomposition = diszjukt dekompozíció\\
Disjoint graphs = diszjunkt gráfok \\
Disjoint sets = diszjunkt halmazok \\
Disjunctive normal form (DNF) = diszjunktív normál forma (DNF)

full disjunctive normal form = 

irredundant disjunctive normal form = 

monotone disjunctive normal form =

orthogonal disjunctive normal form

shortest disjunctive normal form = \\
Disjunctive prime form = \\
Distance $d(u,v)$ in a graph = 

generalized distance in a graph= \\
Distance of a code = \\
Distinct columns = különbözõ oszlopk\\
Distinct rows = különbözõ sorok\\
Distributed systems = \\
Distributive lattices = \\
Distributive laws = disztributív szabályok 

distributive laws for medians = mediánok disztributív szabályai\\
Divide and conquer = \\
DNF, \see Disjunctive normal form = \\
Dodecahedron = \\
Dominance order, \see Majorization lattices = \\
Dominated coteries = \\
Don't-cares = \\
Dot minus ($\dotminus$) = \\
Dot product of vectors = \\
Doublets game = \\
Doubly linked lists = \\
Dual identities = \\
Dual of a Boolean function: $F^D(x)=\bar F(\bar x)$; \also Self-dual Boolean functions = 

computing monotone CNF from DNF = \\
Dual of a hypergraph = hipergráf duálisa\\
Dynamic programming = dinamikus programozás \newline \newline
$e$, as source of ``random'' data = \\
Early neighbors = \\
\textit{econ} graphs = \\
Edge-chromatic number $\chi(L(G))$ = \\
Edges in a graph = gráf élei

edges in a graph as arcs = gráf élei mint irányított élek \\
Edges in a hypergraph = \\
Eigenvalues of a matrix = \\
Eigenvectors of a matrix = \\
Electoral districts = \\
Electrical engineers = villamosmérnökök\\
Elementary symmetric functions = \\
Empty graphs ($\overline{K_n}$) = \\
English language = angol nyelv\\
Enumeration of Boolean functions = Boole-függvények leszámlálása

asymptotic enumeration of Boole-functions = Boole-függvények aszimptotikus leszámlálása\\
Equidistant cities = \\
Equivalence operator ($\equiv$) = \\
Equivalence relations = \\
Equivalence under permutations = 

and complementations = \\
Error-correcting codes = hibajavító kódok \\
Euclidean distance = euklideszi távolság \\
Euclidean plane = euklideszi sík \\
Evaluation of Boolean functions, \see Boolean chains = \\
Even permutations = páros permutációk \\
Evolution of random graphs = véletlen gráfok fejlõdése\\
Exact cover problems = \\
Exclusive disjunction ($\oplus$), \see XOR = \\
Existential quantifiers = \\
Expander graphs = expander gráfok \\
Exponential growth: $2^{\Theta(n)}$ = \\
Exponential time = exponenciális idõ \\
Extended real numbers: Real numbers together with $-\infty $ and $+\infty $ = \newline \newline
Factorization of a graph = gráfok faktorizációja\\
Failing units = \\
Falsehood ($\perp$) = \\
Families of sets, \see Hypergraphs = \\
Families of subsets = \\
Fan-in: The number of inputs to a gate = \\
Fan-out: The number of uses of a gate = \\
Fibonacci numbers = Fibonacci-számok \\
Fibonacci strings = Fibonacci-füzérek \\
Fibonacci threshold functions = Fibonacci-küszöbfüggvények \\
Fields, finite = \\
Final vertex of an arc = irányított él végpontja\\
Finite fields = véges testek\\
Finite state transducers = \\
First-order predicate calculus = \\
Five-letter words = ötbetûs szavak\\
Five-variable functions = ötváltozós függvények\\
Flows of money = \\
Floyd lemma = Floyd-lemma\\
Football scores = football sorozatok\\
Footprints = \\
Forcing functions = kényszerítõ függvények \\
Formula complexity, \see Length of a Boolean function = \\
Four Color Theorem = négyszín tétel\\
Four-variable functions = négyváltozós függvények\\
Fourier transform, discrete = diszkrét Fourier-transzformáció \\
Free median algebras = \\
Free systems = \\
Free trees = szabad fák\\
Frequency of usage in English = \\
Full adders = \\
Full conjunctive normal form = \\
Full disjunctive normal form = \\
Functional decomposition = \newline \newline
Games, \also Tic-tac-toe = \\
\textit{games} graphs = \\
Gates, networks of = \\
Generalized consensus = \\
Generalized toruses = általánosított tóruszok\\
Generator routines = \\
Geometric nets = \\
Gherardini, Lisa, \see \textit{Mona Lisa} = \\
Giant component of a graph = \\
Girth of a graph = \\
Globally optimum solutions = \\
Golden Bears, California = \\
Good pairs = jó párok \\
GOST cipher = \\
Grammar, context-free = környezetfüggetlen nyelvtan \\
Graph homomorphisms = gráfok homomorfizmusa\\
Graph-paper graphs = \\
Graph theory, introduction to = bevezetés a gráfelmélethez \\
Graphical degree sequences = gráfok foksorozatai \\
Graphs = gráfok

algebra of graphs = gráfalgebra

bipartite graphs \see Bipartite graphs = páros gráfok \textit{lásd} páros gráfok

complete graphs = teljes gráfok

empty (null) graphs = üres gráfok (nullgráfok)

generators for graphs = gráfgenerátorok

labeled versus unlabeled graphs = címkézett és címkézetlen gráfok

graphs of orders 3 and 4 = 

products of graphs = gráfok szorzata

random graphs = véletlen gráfok

graphs regarded as digraphs = 

regular graphs = reguláris gráfok

representation of graphs = gráfok ábrázolása \\
Gray binary code = \\
Greatest lower bounds = legnagyobb alsó korlátok\\
Greedy algorithms = mohó algoritmusok \\
Greedy-footprint heuristic = \\
Greek logic = görög logika\\
Grid graphs = grid gráfok

triangular grid graphs = háromszög alakú grid-gráfok\\
Gropes = \\
\textit{gunion} (union of SGB graphs) = \newline \newline
Hadamard inequality = Hadamard-egyenlõtlenség \\ 
Hadamard matrix = Hadamard-mátrix \\
Hadamard transform = Hadamard-transzformált\\
Half adders = \\
Hamilton cycles and paths = \\
Hamiltonian graphs = Hamilton-gráfok\\
Hamming distance = Hamming-távolság\\
Hardware versus software = \\
Harvard University Computation Laboratory = \\
Hebraic-Gr{\ae}co-Latin squares = \\
Hebrew letters = héber betûk \\
Hexadecimal notation for truth tables = \\
Highways = \\
Homomorphisms in median algebras = \\
Homomorphisms of graphs = \\
Horn clauses = Horn-klózok \\
Horn functions = Horn-függvények \\
Horn functions, renamed = \\
Horn satisfiability = Horn-kielégíthetõség\\
Hotels and comedians = \\
Hyperarcs = irányított hiperélek\\
Hypercubes, \see $n$-cube = 

retracts of hypercubes = 

subgraphs of hypercubes = \\
Hyperedges = hiperélek\\
Hyperforests = hipererdõk \\
Hypergraphs = hipergráfok \\
Hyperrectangles ($P_{n_1}\cprod\cdots\cprod P_{n_m}$) = \\
Hypotheses = hipotézis \newline \newline
$I$ (identity matrix) = \\
IBM Type 650 computer = IBM 650 típusú számítógép\\
\textit{id} of an SGB graph = \\
\texttt{ID($g$)} = \\
Ideals in a median algebra = \\
Identity matrix = azonosság mátrix\\
\textit{IEEE Transactions} = \\
If-then-else function (mux) = \\
Image, digitized = \\
Implicants, \also Prime implicants = \\
Implication ($\supset$) = \\
Implicit data structure = \\
In-degree of a vertex = csúcs befoka\\
Incidence matrix of a graph or hypergraph = \\
Inclusion and exclusion principle = \\
Inclusive disjunction ($\vee$), \see OR = \\
Incremental changes = \\
Incompatible columns = inkompatibilis oszlopok\\
Independence number $\alpha(H)$ of a graph or hypergraph = \\
Independent vertices = független csúcsok\\
Induced subgraphs = indukált részgráfok\\
Induced subhypergraphs = \\
Infinity, point at = \\
Initial vertex of an arc = irányított él kezdõpontja\\
Integer multilinear representation = \\
Integer programming = egészértékû programozás \\
Internet = internet \\
ITE, \see If-then-else function = \\
Interpolating polynomials = interpolációs polinomok \\
Intersecting families of sets = \\
Intervals in graphs = intervallumok gráfokban\\
Intervals in median algebras = \\
Intruders = \\
Inverse permutation = \\
Inverter gates, \see Complement of a Boolean function.
Inverter modules = \\
Irredundant DNFs = \\
Islamic mathematics = \\
Isolated vertices: Vertices of degree 0 = izolást csúcsok: 0 fokú csúcsok\\
Isometric: Distance-preserving = 

subgraphs = \\
Isomorphic graphs = izomorf gráfok

directed isomorphic graphs = irányított izomorf gráfok \\
Isotone functions = \newline \newline
$J$ (all-ones matrix) = \\
$J_n$ (complete digraph of order $n$) = \\
Join of graphs = \\
Juxtaposition of graphs, \see Direct sum of graphs = \newline \newline
$k$-ary trees = $k$-áris fák\\
$k$-colorable graphs or hypergraphs = \\
$k$-edge-colorable graphs = \\
$k$-in-a-row function = \\
$k$-partite graphs or hypergraphs = 

complete = \\
$K_n$ (complete graph of order $n$) = $K_n$ ($n$ csúcsú teljes gráf)\\
$\smash{K^{(r)}_n}$ (complete $r$-uniform hypergraph) = \\
$K\orie_{\!n}^{\vphantom h}$ (transitive tournament of order $n$) = $K\orie_{\!n}^{\vphantom h}$ ($n$-ed rendû tranzitív verseny)\\
$K_{3,3}$ (utilities graph) = \\
$K_{m,n}$ (complete bipartite graph) = $K_{m,n}$ (teljes páros gráf)\\
$\smash{K^{(r)}_{m,n}}$ (complete $r$-uniform bipartite hypergraph) = \\
$K_{n_1,\ldots,n_k}$ (complete $k$-partite graph) = $K_{n_1,\ldots,n_k}$ (teljes $k$-részes graph)\\
Kernel of a graph, \see Maximal independent sets = gráf magja, \textit{lásd} maximális független halmazok \\
King moves on a chessboard = király lépések a sakktáblán \\
Kingwise torus = \\
Knapsacks = hátizsákok \\
Knight moves on a chessboard = huszár lépések a sakktáblán\\
Krom clauses = Krom-klózok \\
Krom functions, \also 2CNF = Krom-függvények, \textit{lásd még} 2CNF\\
Krom satisfiability = Krom-kielégíthetõség \\
Kronecker product = Kronecker-szorzat \newline \newline
$L(f)$, \see Length of a Boolean function = \\
$L(G)$ (line graph of $G$) = $L(G)$ ($G$ vonalgráfja)\\
Labeled graphs = címkézett gráfok \\
Labels of graph vertices = gráfok csúcsainak címkéi\\
LADDERS program = \\
Langford pairs = Langford-párok\\
Langford triples = Langford-hármasok\\
Las Vegas hotels = \\
Latch gates = \\
Late neighbors = \\
Latin squares = latin négyzetek \\
Lattices, \also Majorization lattices = hálók, \textit{lásd még} majorizáló hálók \\

distributive lattices = disztributív hálók \\
Least upper bounds = legkisebb alsó korlátok\\
Left complementation ($\lcomp$) = \\
Left projection ($\lproj$) = \\
Legitimate lattices of functions = \\
Length of a Boolean function = Boole-függvények hossza

statistics = statisztikai adataok Boole-függvények hosszáról\\
Lexicographic order = \\
Lexicographic product of graphs = \\
Line graph of a graph = \\
Linear inequalities = \\
Linear ordering = \\
Linear polynomials = lineáris polinomok \\
Linear programming = lineáris programozás \\
Linear subgraphs = lineáris részgrág\\
Linear time = lineáris idõ \\
Linked allocation = \\
Literals = literálok \\
Lo Shu magic square = \\
\texttt{LOC} (memory location) = \\
Local optimizations = lokális optimalizálás \\
Locally optimal solutions = lokálisan optimális megoldások \\
Logic = logika \\
Long distributive law = \\
Loops from a vertex to itself = \\
Lower bounds on combinational complexity = \newline \newline
$m{\times}n$ cylinders = \\
$m{\times}n$ grids = \\
$m{\times}n$ rook graphs = \\
$m{\times}n$ toruses = $m{\times}n$-es tóruszok

directed $m{\times}n$ toruses = irányított $m{\times}n$-es tóruszok \\
\texttt{M}($g$) (the number of arcs in an SGB graph) = \texttt{M}$(g))$ (irányított élek száma az SGB gráfban)\\
$M(n)$ (binary majorization lattice) = \\
Magic Fifteen = \\
Magic squares = bûvös négyzetek \\
Majority element = többségi elem\\
Majority functions, \see Medians \\
Majority law = \\
Majority of odd, \see Median of odd = \\
Majorization lattices, of binary vectors = bináris vektorok majorizációs hálói

of $n$-tuples = \\
Matching in a graph = \\
\texttt{MATE} (the converse arc) = \\
Mates in a Boolean chain = \\
Mates of arcs = \\
Matrix multiplication = \\
max (maximum operator) = \\
Maximal cliques = \\
Maximal independent sets = maximális független halmazok\\
Maximal intersecting families = \\
Maximal planar graphs = \\
Maximal subcubes = \\
Maximal versus maximum = \\
Maximum independent sets = maximális méretû független halmaz\\
Maximum matchings = maximális méretû párosítások\\
Maxterms, \see Minclauses = \\
Median algebras = medián algebrák \\
Median chains = medián láncok\\
Median expansion formula = \\
Median graphs = medián gráfok\\
Median labels = medián címkék\\
Median of odd = 

of five = \\
Median of seven = \\
Median operation = \\
Median sets = medián halmazok\\
Medians $\langle xyz \rangle $= mediánok

bitwise medians = bitenkénti mediánok\\
Mems: Memory accesses = mems: memória hozzáférések\\
\MF = \MF\\
\textit{miles} graphs = \\
min (minimum operator) = \\
Minclauses = \\
Minimal versus minimum = \\
Minimal vertex covers = \\
Minimum-memory evaluation = \\
Minimum vertex covers = \\
Minterms = \\
MIP-years = \\
Mirror pairs = \\
Mixed-radix majorization lattices = \\
Mixed-radix numbers = \\
\MMIX\ computer = \\
\texttt{MMIXAL} assembly language = \\
Mnemonics = \\
Mod 2 canonical form, \see Multilinear representation of a Boolean function.
Modular arithmetic = \\
{\sl Mona Lisa\/} = \\
Monadic logic: Logic with only unary operators = \\
Monotone Boolean chains = monoton Boole-láncok \\
Monotone Boolean functions = 

computing CNF from DNF = 

self-dual 

shellability of = 

threshold = \\
Monotone complexity = \\
Multilevel logic synthesis = \\
Multigraphs = multigráfok \\
Multihypergraphs = \\
Multilinear representation of a Boolean function \also Integer multilinear representation = \\
Multilinked data structures = \\
Multipairs = \\
Multiple outputs \\
Multiplexer, 2-way, \see Mux 

$2^m$-way = \\
Multiplication = \\
Multisets = multihalmazok \\
Murphy's Law = Murphy törvénye \\
Museum of Science and Industry = \\
Musical graph = \\
Mutual exclusion = kölcsönös kizárás \\
Mutually orthogonal latin squares = kölcsönösen ortogonális latin négyzetek \\
Mux (multiplex) operation = \newline \newline
$n$-ary Boolean functions = $n$-áris Boole-függvények \\
$n$-ary strings = $n$-áris füzérek \\
$n$-cube: The $2^n$ points $(x_1,\ldots,x_n)$ with ${x_j=0}$ or ${x_j=1}$ in each coordinate position = 

subcubes of an $n$-cube = \\
\texttt{N}($g$) (the number of vertices in an SGB graph) = \\
Name servers = \\
\texttt{NAME}($v$) (the name of a vertex) = \\
NAND ($\nand$) = 

with vacuum tubes = \\
Nanocomputer simulation = \\
Neighboring vertices = \\
Networks: Graphs or digraphs together with auxiliary data = \\
Neural networks = \\
\texttt{NEXT}($a$) (the next arc with the same initial vertex) = \texttt{NEXT}($a$) (a következõ irányított él ugyanazzal a kezdõcsúccsal)\\
Nodes in SGB format = \\
Nonconjunction ($\nand$), \see NAND = \\
Nondisjunction ($\nor$), \see NOR = \\
Nonimplication ($\nimp$) = \\
NOR gates ($\nor$) = \\
Normal Boolean functions = \\
Normal forms, \see Full conjunction normal form, Full disjunctive normal
 form, Integer multilinear representation, Multilinear representation of a
 Boolean function = \\
Normalization = normalizálás \\
NOT gates = \\
NOT-BUT gates ($\cnimp$) = tagadott implikáció kapuk (NOT-BUT, $\cnimp$) \\
Notation = \\
Notational conventions =

notational conventions for Boolean binary operators = 

notational conventions for symmetric Boolean functions = 

$\overline G$ (complementation) = 

${G\cong G'}$ (isomorphism) = ${G\cong G'}$ (izomorfizmus)

${G\rest V'}$ (induced subgraph) = 

${G\setminus e}$ (edge removal) = ${G\setminus e}$ (él eltávolítása)

${G\setminus v}$ (vertex removal) = ${G\setminus v}$ (csúcs eltávolítása) 

$[u\dts v]$ (closed interval) = $[u\dts v]$ (zárt intervallum)

${x\subseteq y}$ (componentwise $\le$) =

$\langle xyz\rangle$ (median) = $\langle xyz\rangle$ (médián)

$\langle x_1\ldots x_{2k-1}\rangle$ (median) = $\langle x_1\ldots x_{2k-1}\rangle$ (médian)\\
$x{?}\ y{:}\ z$, \see Mux (multiplex) operation = $x{?}\ y{:}\ z$, \see Mux (multiplex) mûvelet\\
Noughts and crosses, \see Tic-tac-toe = \\
Novels = \\
NP-complete problems = NP-teljes feladatok \\
Null graphs ($\overline{K_n}$) = \newline \newline
$O$ (all-zeros matrix) = \\
Oblivious sorting = \\
Odd permutations = \\
Odd product of graphs = \\
ODNFs = \\
Optimal versus optimum = \\
Optimization of Boolean chains = \\
Optimum Boolean evaluation = \\
Optimum coteries = \\
OR (inclusive or, $\vee$) = 

bitwise OR (|) = bitenkénti OR (|) \\
OR gates ($\vee$) = 

OR gates with vacuum tubes = \\
Order of a digraph = irányított gráf rendje \\
Order of a graph = gráf rendje\\
Order of a latin square = \\
Order of an orthogonal array = \\
Order ideals = \\
Organ-pipe order = \\
Oriented binary trees = \\
Oriented cycles = \\
Oriented paths = irányított utak

spanning oriented paths = feszítõ irányított utak\\
Orthogonal arrays = ortogonális tömbök

generalized orthogonal arrays = általánosított ortogonális tömbök \\
Orthogonal DNFs = \\
Orthogonal latin squares = ortogonális latin négyzetek\\
Orthogonal strings = ortogonális füzérek\\
Orthogonal vectors = ortogonális vektorok\\
Otter theorem-proving program = más tételbizonyító programok\\
Out-degree of a vertex = csúcs kifoka\\
Overlapping subtrees = \newline \newline
P = NP (?) = P = NP (?) \\
$P_n$ (path of order $n$) = \\
$P\orie_{\!n}$ (oriented path of order $n$) = \\
Palindromes = palindrómák\\
Parallel addition = párhuzamos összeadás\\
Parallel computation = párhuzamos számítás\\
Parallel edges of a multigraph = multigráf párhuzamos élei\\
Parallel lines = párhuzamos vonalak\\
Parity bits = paritásbitek \\
Parity function = paritás függvény \\
Partial cubes = \\
Partial functions = = parciális függvények \\
Partially symmetric functions = \\
Partitions of an integer = \\
\textit{parts} graphs = \\
Patents = szabadalmak \\
Path graph $P_n$ = \\
Paths in a graph = 

oriented paths in a graphs = irányított utak egy gráfban

shortest path in a graph = legrövidebb út egy gráfban \\
Perfect shuffles = \\
Permanent of a matrix = mátrix permanense\\
Permutation digraphs = irányított permutációs gráfok\\
Permutation matrices = permutációs mátrixok\\
Petersen graph = Petersen-gráf \\
Phi ($\phi$) = fi ($\phi$)\\
as source of ``random'' data = \\
Pi ($\pi$), as source of ``random'' data, \also Pi function = \\
Pi function = \\
Pigeonhole principle = skatulyaelv \\
Pincusian mathematics = \\
Pixels = pixelek \\
Planar graphs = síkgráfok\\
Planar Langford pairings = \\
\textit{plane\_lisa} graphs = \\
\textit{plane\_miles} graphs = \\
PLAs = \\
Playing cards, 3--4.
Poetry = költészet \\
Polish notation = lengyel jelölés \\
Polyhedral combinatorics = poliéderes kombinatorika \\
Polynomials, \see Availability polynomials, Integer multilinear representation, Interpolating polynomials, 
Multilinear representation of a Boolean function = \\
Portable programs = hordozható programok \\
Positive Boolean functions, \see Monotone Boolean functions = \\
Positive normal form, \see Multilinear representation of a Boolean function = \\
Positive threshold functions = \\
Postal codes = postai indexek\\
Precedence of operators = \\
Prefix problem = prefix feladat \\
Prefixes of strings = füzérek prefixei\\
Prime clauses = \\
Prime forms = \\
Prime graphs = \\
Prime implicants = 

of a majority function = \\
Prime-number function = \\
Priority encoders = \\
Product-of-sums expression, \see Conjunctive normal form = \\
Products of digraphs and multigraphs = \\
Products of graphs = gráfok szorzatai \\
Programmable logic arrays = \\
Programming languages = programozási nyelvek \\
Projection functions = \\
Projections in a median algebra = \\
Projective planes, finite = \\
Prolog language = Prolog nyelv\\
Proportional graphs = \\
Pseudorandom numbers = \\
Pun resisted = \\
Pure majority functions = \\
Puzzles = rejtvények \\
Pyramids, tetrahedral = \newline \newline
Quantified formulas = \\
Queen moves on a chessboard = \\
Queues = sorok \\
Quorums = \newline \newline
$r$-closed graphs = \\
$r$-families of edges = \\
$r$-uniform hypergraphs = \\
RainBones puzzle = \\
\textit{raman} graphs = \\
Ramanujan graphs = \\
Random Boolean functions = \\
\textit{random\_graph} graphs = \\
Random graphs = véletlen gráfok \\
Random number generation = véletlenszám generátorok \\
Random walks = véletlen séták \\
Randomization = véletlenítés \\
Real numbers = valós számok

extended real number = kiterjesztett valós számok \\
Recreations = \\
Recurrence relations = rekurzív egyenletek

binary recurrence relations = bináris rekurzív egyenletek = \\
Recursive procedures = rekurzív eljárások\\
Reduced median sets = \\
Redundant coordinates = redundáns koordináták\\
Redundant implicants = \\
Registers = regiszterek \\
Regular Boolean functions = reguláris Boole-függvények\\
Regular graphs = reguláris gráfok \\
Reliability polynomials = \\
Renaming (selectively complementing) Boolean variables = \\
Representation of graphs and digraphs = \\
Resolution principle = \\
Resolvents = \\
Restriction of a graph = \\
Retracts = \\
Retraction mappings = \\
Right complementation ($\rcomp$) = \\
Right projection ($\rproj$) = \\
Ring sum expansion, \see Multilinear representation of a Boolean function = \\
\textit{risc} graphs = \\
RISC: Reduced Instruction Set Computer = \\
\textit{roget} graphs = \\
Rook moves on a chessboard = \\
Rookwise connected pixels = \\
Runs of $0$s or 1s = \newline \newline
S-boxes = \\
$S_{k_1,\ldots,k_t}(x)$ notation, \see Symmetric functions = \\
Satisfiability problem = kielégíthetõségi feladat

satisfiability problem for Horn clauses = kielégíthetõségi feladat Horn-klózokra

satisfiability problem for Krom clauses = kielégíthetõségi feladat Krom-klózokra\\
Satisfiable Boolean formulas = kielégíthetõ Boole-formulák\\
Saturating subtraction ($\dotminus$) = \\
Scandalous fact = \\
Scheduling = ütemezés \\
Scrabble$^{\setbox0=\hbox{$\scriptstyle\bigcirc$}\rlap{\hbox to\wd0{\hss
 $\scriptscriptstyle\rm R$\hss}}\box0}\!$ = \\
Search trees = keresõfák\\
Second-order logic = másodrendû logika\\
Seed value for pseudorandom numbers = \\
Selection function, \see Mux = \\
Self-complementary graphs = \\
Self-converse graphs = \\
Self-dual Boolean functions = 

monotone self-dual Boolean functions =

threshold self-dual Boolean functions = \\
Self-dualization = \\
Self-loops = \\
Self-organizing data structures = \\
Self-reference = \\
Semidefinite programming = \\
Separable functions, \see Threshold functions = \\
Sequential algorithms = soros algoritmusok \\
Sequential allocation = \\
Series-parallel switching networks = \\
Server locations  =\\
Set systems, \see Hypergraphs = \\
Seven-segment display = \\
SGB, \see $\,$Stanford GraphBase = \\
Shadows of bit codes = bitkódok árnyékai\\
Sheep = \\
Shelling a monotone Boolean function = \\
Shortest normal forms = \\
Shortest paths in a graph = \\
Shrinking an edge = \\
Sideways addition function ($\nu x$) = \\
Signed permutations = \\
Simple digraphs = egyszerû irányított gráfok \\
Simple games = egyszerû játékok\\
Simple graphs, \see Graphs = \\
\textit{simplex} graphs = \\
Single-faced functions, \see Canalizing functions = \\
Sink vertex = \\
Sinks = nyelõk \\
Size of a digraph = \\
Size of a graph = \\
\texttt{smile} = \texttt{smile} \\
Smith normal form = \\
Sorting networks = rendezõ hálózatok \\
Source vertex = forráscsúcs\\
Sources = források\\
Spanning subgraphs = \\
Sparse graphs = ritka gráfok\\
Spectrum of an irrational number = \\
Spheres = \\
Stability number $\alpha(H)$ of a graph or hypergraph = \\
Stable sets, \see $\,$ Independent vertices = \\
Stack structures = \\
Standard fields in SGB format = \\
Stanford Cardinal = \\
Stanford GraphBase = Stanford GraphBase

complete guide to Stanford Graphbase = 

Stanford GraphBase format for digraphs and graphs = \\
Star graphs = \\
Steiner trees = Steiner-fák \\
Steiner triple systems = Steiner-féle hármas rendszerek \\
Stone representation = \\
Storage access function = \\
Straight insertion sorting = \\
Straight-line computations, \see Boolean chains = \\
Strong components: Strongly connected components = \\
Strong product of graphs = \\
Subcubes = 

maximal = \\ 
Subgraphs = 

subgraphs of a hypercube = \\
\textit{subsets} graphs = \\
Subwords = részszók \\
Suffixes of strings = \\
Sum-of-products expression, \see Disjunctive normal form = \\
SWAC computer = \\
Symmetric block designs = \\
Symmetric Boolean functions = \\
Symmetric functions = \\
Symmetric matrices = szimmetrikus mátrixok\\
Symmetries of a graph = \\
Syntax, context-free = \newline \newline
Tableaux = tabló\\
Tables of Boolean function counts = \\
Tags = \\
TAKE\_RISC program = \\
Tautology ($\top$) = \\
Taylor series = Taylor-sor \\
Tensor product of graphs, \see Direct product of graphs = \\
Terminology = \\
Ternary Boolean functions = \\
Ternary Boolean operations = ternáris Boole-mûveletek

table of ternary Boolean operations = ternáris Boole-mûveletek táblázata \\
Tetrahedra = \\
Tetrahedral pyramids = \\
\TeX \ = \TeX \ \\
Theorem proving = tételbizonyítás \\
Theory meets practice = \\
Three-variable functions = háromváltozós függvények 

table of three-variable functions = háromváltozós függvények táblázata \\
Threshold functions = küszöbfüggvények 

of threshold functions = \\
Tic-tac-toe = \\
Tightly colorable graphs = \\
Tilings of the plane = \\
Tip of an arc = \\
\texttt{TIP($a$)} (final vertex) = 

Top-down synthesis = \\
Topological sorting = topologikus rendezés\\
Toruses = tóruszok

generalized toruses = általánosított tóruszok

kingwise toruses = \\
Tournaments =

transitive tournaments = \\
Transitive laws = \\
Translation, tiling by = \\
Transposing a matrix = \\
Transversals of a latin square = \\
Traveling Salesrep Problem = \\
Trees = fák \\
Triangle function = \\
Triangle inequality = \\
Triangular grids = \\
Tries = \\
Triple systems = \\
Trivalent graphs = \\
Trivial functions = \\
Truth = \\
Truth tables = igazságtáblák

truth tables in hexadecimal notation = 

truth tables of partial functions = 

two-dimensional truth tables = \\
Tweedledee = Tweedledee \\
Two-variable functions = kétváltozós függvények 

table of two-variable functions = kétváltozós függvények táblázata \newline \newline
Unary operator: A function of one variable = \\
Unate functions = \\
Union-find algorithm = \\
Union of graphs, \also Direct sum of graphs = \\
United States of America, contiguous = \\
UNIVAC 1206 Military Computer = \\
Universal algebras = univerzális algebrák\\
Universal quantifiers \\
Universe, protons in the = protonok az Univerzumban \\
Universities = egyetemek\\
Unlabeled graphs = címkézetlen gráfok\\
Unsolvable problems = megoldatlan feladatok\\
Upper bounds on combinational complexity, \also Footprints = \\
Utilities = \\
Utility fields in SGB format \newline \newline
Vacuum-tube circuits = \\
Valency, \see Degree of a vertex = \\
Validity ($\top$) = \\
Variance = szórás \\
Vector-valued Boolean functions = vektorértékû Boole-függvények \\
Vectors = vektorok \\
Vertex connectivity = \\
Vertex covers = 

minimum vertex covers = \\
Vertex variables = \\
\texttt{VERTICES}($g$) (the first vertex node) = \\
Vowels \newline \newline
$W_n$ (wheel graph of order~$n$) = \\
\texttt{WORDS}$(n)$, the $n$ most common five-letters words of English \\
Walks in a graph = séták egy gráfban \\
Weak second-order logic = \\
Well-balanced Langford pairings = \\
Wheel graphs = \\
Width of a Langford pairing = \\
Witness bits = \\
Word cubes = \\
Word ladders = \\
Word problems = \\
Word squares = \\
\textit{words} graphs = \\
\texttt{WORDS($n$)}, the $n$ most common five-letter words of English = \\
Working units = \\
Wraparound = \\
WS1S = \newline \newline
XOR (exclusive or, $\oplus$) = 

bitwise = \\
XOR gates ($\oplus$) \newline \newline
$Y$ functions = $Y$-függvények \newline \newline
ZDDs: Zero-suppressed decision diagrams = \\
Zero-one principle = \\
Zigzag paths = 


\chapter*{MAGYAR IRODALOMJEGYZÉK}
\addcontentsline{toc}{chapter}{MAGYAR IRODALOMJEGYZÉK}

\markboth{\sf 7. KOMBINATORIKUS ELEMZÉS (4. kötet 0. rész)}{\sf MAGYAR IRODALOMJEGYZÉK}

\footnotesize{
\noindent [1] A.\nevindex{Aho, Alfred V.} V. \hrefun{http://blrc.edu.cn/people/Al$\%$20Aho.htm}{Aho}, 
J.\nevindex{Hopcroft, John E.} E.\hrefun{http://www.cs.cornell.edu/jeh/}{Hopcroft}, 
J.\nevindex{Ullman, Jeffrey David} D. \hrefun{http://www-db.stanford.edu/~ullman/}{Ullman}.
\textit{Számítógép-algoritmusok tervezése és analízise.} 
\hrefun{http://www.muszakikiado.hu/kezdolap.php}{Mûszaki} Könyvkiadó, Budapest, 1982. Angolul: 
\textit{The Design and Analysis of Computer Algorithms.} \linebreak 
\noindent \hrefun{http://www.aw.com/}{Addison--Wesley}, 
Upper Saddle River, 1974. \newline

\noindent [2] T. H. \hrefun{http://www.cs.dartmouth.edu/~thc/}{Cormen},\nevindex{Cormen, Thomas H.} 
C. E. \hrefun{http://theory.lcs.mit.edu/~cel/}{Leiserson},\nevindex{Leiserson, Charles E.}
R. L. \hrefun{http://theory.lcs.mit.edu/~rivest/}{Rivest}.\nevindex{Rivest, Ronald Linn}
\textit{Algoritmusok}. \hrefun{http://www.muszakikiado.hu/kezdolap.php}{Mûszaki} Kiadó, Budapest, 2003
(szerkesztette \hrefun{http://compalg.inf.elte.hu/~tony}{Iványi}\nevindex{Iványi Antal Miklós} Antal). 
Angolul: \textit{Introduction to Algorithms}. 
\hrefun{http://mitpress.mit.edu/main/home/default.asp?sid=C6EE87F7-92B7-4CC1-8035-E3AB8EAC0886}{MIT} 
Press/\hrefun{www.mcgraw-hill.com/}{McGraw}-Hill, Cambridge/Boston, 1990. \newline

\noindent [3] T. H. \hrefun{http://www.cs.dartmouth.edu/~thc/}{Cormen},\nevindex{Cormen, Thomas H.} 
C. E. \hrefun{http://theory.lcs.mit.edu/~cel/}{Leiserson},\nevindex{Charles E. Leiserson}
R. L. \hrefun{http://theory.lcs.mit.edu/~rivest/}{Rivest},\nevindex{Rivest, Ronald Linn}
C. \hrefun{http://www.ieor.columbia.edu/~cliff/}{Stein}\nevindex{Stein, Clifford}. 
\textit{Új algoritmusok}. \hrefun{www.scolar.hu}{Scolar} Kiadó, Budapest, 2003 
(szerkesztette \hrefun{http://compalg.inf.elte.hu/~tony}{Iványi}\nevindex{Iványi Antal Miklós} Antal). Angolul: 
\textit{Introduction to Algorithms}. 
\hrefun{http://mitpress.mit.edu/main/home/default.asp?sid=C6EE87F7-92B7-4CC1-8035-E3AB8EAC0886}{MIT} 
Press/\hrefun{www.mcgraw-hill.com/}{McGraw}-Hill, 
Cambridge/Boston, 2007 (Második kiadás nyolcadik, javított utánnyomása). \newline

\noindent [4] \hrefun{http://people.inf.elte.hu/csz/}{Csörnyei}\nevindex{Csörnyei Zoltán} Zoltán. 
\textit{Fordítási algoritmusok}. \hrefun{http://www.abelkiado.ro/}{Ábel} Kiadó, Kolozsvár, 2002. 
\textit{Fordítóprogramok.} \hrefun{http://www.typotex.hu/}{Typotex} Elektronikus Kiadó, Budapest, 2006. \newline

\noindent [5] \hrefun{http://people.inf.elte.hu/csz/}{Csörnyei}\nevindex{Csörnyei Zoltán} Zoltán, 
\hrefun{http://www.cs.ubbcluj.ro/~kasa/}{Kása}\nevindex{Kása Zoltán} Zoltán. 
\textit{Formális nyelvek és fordítóprogramok}.  
\hrefun{http://www.editura.ubbcluj.ro/index_en.php}{Kolozsvári} Egyetemi Kiadó, Kolozsvár, 2007. \newline

\noindent [6] O-J. \hrefun{http://en.wikipedia.org/wiki/Ole-Johan_Dahl}{Dahl}\nevindex{Dahl, Ole-Johan (1931--2002)}, 
E.\nevindex{Dijkstra, Edsger Wybe (1930--2002)} 
W. \hrefun{http://www.cs.utexas.edu/~EWD/}{Dijkstra}, C.\nevindex{Hoare, Charles Anthony Richard} 
A. R. \hrefun{http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/people/tony.hoare.html}{Hoare}. 
\textit{Strukturált programozás} (fordította Lõcs Gyula),\nevindex{Lõcs Gyula}
Mûszaki Könyvkiadó, Budapest, 1978. Angolul: 
 \textit{Structured Programming}, \hrefun{http://books.elsevier.com/}{Academic} Press, New York, 2002.  \newline

\noindent [7] \hrefun{http://compalg.inf.elte.hu/~tony}{Iványi}\nevindex{Iványi Antal Miklós} Antal. 
\textit{Párhuzamos algoritmusok}. ELTE \hrefun{http://www.elte.hu/szervezet/eotvos_kiado.html}{Eötvös} 
Kiadó, Budapest, 2003. Elektronikusan: ELTE IK, Budapest, 2005: 
\hrefun{http://compalg.inf.elte.hu/~tony/Elektronikus/}{http://compalg.inf.elte.hu/$\sim$tony/Elektronikus/}.\newline 
 
\noindent [8] \hrefun{http://compalg.inf.elte.hu/~tony}{Iványi}\nevindex{Iványi Antal Miklós} 
Antal (szerk.). \textit{Informatikai algoritmusok. 1.} 
ELTE \hrefun{http://www.elte.hu/szervezet/eotvos_kiado.html}{Eötvös} Kiadó, Budapest, 2004. Elektronikusan: 
ELTE \hrefun{http://www.elte.hu/szervezet/eotvos_kiado.html}{Eötvös} Kiadó, Budapest, 2005: 
\hrefun{http://compalg.inf.elte.hu/~tony/Elektronikus/}{http://compalg.inf.elte.hu/$\sim$tony/Elektronikus/}.\newline

\noindent [9] \hrefun{http://compalg.inf.elte.hu/~tony}{Iványi}\nevindex{Iványi Antal Miklós} 
Antal (szerk.). \textit{Informatikai algoritmusok. 2.} 
ELTE \hrefun{http://www.elte.hu/szervezet/eotvos_kiado.html}{Eötvös} Kiadó, Budapest, 2005.\newline 

\noindent [10] \hrefun{http://www.cs.elte.hu/opres/emberek/jt.html}{Jordán} Tibor,  
\hrefun{http://www.cs.bme.hu/~recski/}{Recski} András, 
\hrefun{http://www.cs.bme.hu/~szeszler/}{Szeszlér} Dávid.
\textit{Rendszeroptimalizálás}. \hrefun{http://www.typotex.hu/}{Typotex} Elektronikus Kiadó, Budapest, 2004. 
\nevindex{Jordán Tibor}\nevindex{Recski András}\nevindex{Szeszlér Dávid}\newline

\noindent [11] \hrefun{http://www.cs.ubbcluj.ro/~kasa/}{Kása} Zoltán. \textit{Algoritmusok tervezése}. 
\hrefun{http://www.bjc.ro/buletin_dl/2006/studium_k2006.htm}{Stúdium}, Kolozsvár, 
1994.\nevindex{Kása Zoltán} \newline

\noindent [12] \hrefun{}{Katona} Y. Gyula,
\hrefun{http://www.cs.bme.hu/~recski/}{Recski} András,
\hrefun{}{Szabó} Csaba. \textit{A számítástudomány alapjai}. 
\hrefun{http://www.typotex.hu/}{Typotex} Elektronikus Kiadó, Budapest, 2005 (2., javított kiadás).
\nevindex{Katona Y. Gyula}\nevindex{Recski András}\nevindex{Szabó Csaba}\newline

\noindent [13] D. E. \hrefun{http://www-cs-faculty.stanford.edu/~knuth/}{Knuth}.\nevindex{Knuth@\string\Knuth} 
\textit{A számítógép-programozás mûvészete. 1. kötet. Alapvetõ algoritmusok}.  
\hrefun{http://www.muszakikiado.hu/kezdolap.php}{Mûszaki} Könyvkiadó, Budapest, 1993 (2. kiadás, 
1. kiadás 1988,  
szerkesztette \hrefun{http://www.renyi.hu/~miki/}{Simonovits} Miklós\nevindex{Simonovits Miklós}). 
Angolul: \textit{The Art of Computer Programming. Volume 1. Fundamental Algorithms.} 
\hrefun{http://www.aw.com/}{Addison--Wesley}, 
Upper Saddle River, 1997 (3. javított kiadás -- 1. kiadás 1968).\newline  

\noindent [14] D. E. \hrefun{http://www-cs-faculty.stanford.edu/~knuth/}{Knuth}.
\textit{A számítógép-programozás mûvészete. 2. kötet. Szeminumerikus algoritmusok}.  
\hrefun{http://www.muszakikiado.hu/kezdolap.php}{Mûszaki} Könyvkiadó, 1993 (2. kiadás, 1. kiadás 1988, 
szerkesztette \hrefun{http://www.renyi.hu/~miki/}{Simonovits} Miklós\nevindex{Simonovits Miklós}). 
Angolul: \textit{The Art of Computer Programming. Volume 2. Seminumerical Algorithms.} 
\hrefun{http://www.aw.com/}{Addison--Wesley}, 
Upper Saddle River, 1998 (3. javított kiadás -- 1. kiadás 1968).\newline

\newpage
\noindent [15] D. E. \hrefun{http://www-cs-faculty.stanford.edu/~knuth/}{Knuth}.\nevindex{Knuth@\string\Knuth} 
\textit{A számítógép-programozás mûvészete. 3. kötet. Keresés és rendezés}.   
\hrefun{http://www.muszakikiado.hu/kezdolap.php}{Mûszaki} Könyvkiadó, 1994, 
2. kiadás (1. kiadás 1988, 
szerkesztette \hrefun{http://www.renyi.hu/~miki/}{Simonovits} Miklós\nevindex{Simonovits Miklós}). 
Angolul: \textit{The Art of Computer Programming. Volume 3. Sorting and Searching.} 
\hrefun{http://www.aw.com/}{Addison--Wesley}, 
Upper Saddle River, 1998 (2. javított kiadás -- 1. kiadás 1968).\newline

\noindent [16] D. E. \hrefun{http://www-cs-faculty.stanford.edu/~knuth/}{Knuth},\nevindex{Knuth@\string\Knuth} 
R. L. \hrefun{http://math.ucsd.edu/~fan/ron/}{Graham}\nevindex{Graham, Ronald Lewis}, 
O. Patashnik.\nevindex{Patashnik, Oren} 
\textit{Konkrét matematika} (szerkesztette 
\hrefun{http://compalg.inf.elte.hu/tanszek/katai/oktato.php?oktato=katai}{Kátai} Imre\nevindex{Kátai Imre}).  
\hrefun{http://www.muszakikiado.hu/kezdolap.php}{Mûszaki} Könyvkiadó, Budapest, 
1998. Angolul: \textit{Concrete Mathematics}. \hrefun{http://www.aw.com/}{Addison}-Wesley, 
Upper Saddle River, 1994 (2. javított kiadás, 1. kiadás 1989).\newline

\noindent [17] D. E. \hrefun{http://www-cs-faculty.stanford.edu/~knuth/}{Knuth}. 
\textit{A számítógép-programozás mûvészete. 1. kötet. 1. rész. MMIX. RISC számítógép a 
következõ évezredre}. \hrefun{http://www.antoncom.hu/}{AnTonCom}, Budapest, 2008. 
Angolul: \textit{The Art of Computer Programming. Volume 1. 
Fascicle 1. MMIX. A RISC Computer for the New Millenium}. \hrefun{http://www.aw.com/}{Addison--Wesley}, 
Upper Saddle River, 2005.\newline

\noindent [18] D. E. \hrefun{http://www-cs-faculty.stanford.edu/~knuth/}{Knuth}.\nevindex{Knuth@\string\Knuth}
\textit{A számítógép-programozás mûvészete. 4. kötet. 2. rész. Permutációk és $n$-esek elõállítása}. 
\hrefun{http://www.antoncom.hu/}{AnTonCom}, Budapest, 2008. Angolul: \textit{The Art of Computer Programming. Volume 4. 
Fascicle 2. Generating All Tuples and Permutations}. \hrefun{http://www.aw.com/}{Addison--Wesley}, 
Upper Saddle River, 2005.\newline

\noindent [19] D. E. \hrefun{http://www-cs-faculty.stanford.edu/~knuth/}{Knuth}.
\textit{A számítógép-programozás mûvészete. 4. kötet. 3. rész. Kombinációk és partíciók elõállítása}. 
\hrefun{http://www.antoncom.hu/}{AnTonCom}, Budapest, 2008. Angolul: \textit{The Art of Computer Programming. Volume 4. 
Fascicle 3. Generating All Combinations and Partitions}. \hrefun{http://www.aw.com/}{Addison--Wesley}, 
Upper Saddle River, 2005.\newline

\noindent [20] D. E. \hrefun{http://www-cs-faculty.stanford.edu/~knuth/}{Knuth}.\nevindex{Knuth@\string\Knuth} 
\textit{A számítógép-programozás mûvészete. 4. kötet. 4. rész. Fák elõállítása. Kombinatorikus 
elõállítások története}. \hrefun{http://www.antoncom.hu/}{AnTonCom}, Budapest, 2008. 
Angolul: \textit{The Art of Computer Programming. Volume 4. 
Fascicle 4. Generating All Trees. History of Combinatorial Generation}. 
\hrefun{http://www.aw.com/}{Addison--Wesley}, Upper Saddle River, 2005.\newline

\noindent [21] \hrefun{http://research.microsoft.com/~lovasz}{Lovász}\nevindex{Lovász László} László, 
\hrefun{http://www.cs.bu.edu/fac/gacs/}{Gács} Péter. \textit{Algoritmusok}. 
\hrefun{http://www.muszakikiado.hu/kezdolap.php}{Mûszaki} Könyvkiadó, Budapest, 1978 és \linebreak 
\noindent \hrefun{http://www.ntk.hu/}{Tankönyvkiadó}, Budapest, 1987.\newline
 
\noindent [22] N. A. \hrefun{http://theory.lcs.mit.edu/\~lynch}{Lynch}. 
\textit{Osztott algoritmusok}. 
\hrefun{http://kiado.kiskapu.hu/main.php?SHOW_BODY=books&OP=detailed&PROD_ID=60}{Kiskapu} 
Kiadó, Budapest, 2002 (szerkesztette \hrefun{http://compalg.inf.elte.hu/~tony}{Iványi} Antal\nevindex{Iványi Antal Miklós}).
Angolul: \textit{Distributed Algorithms}. \hrefun{www.mkp.com/}{Morgan} Kaufman Publisher, San Francisco, 2005 
(5. kiadás). \newline

\noindent [23] \hrefun{http://www.sztaki.hu/~ronyai/}{Rónyai}\nevindex{Rónyai Lajos}  
Lajos,\nevindex{Ivanyos Gábor} \hrefun{http://www.sztaki.hu/~ivanyos/}{Ivanyos} Gábor, 
Szabó\nevindex{Szabó Réka}. \textit{Algoritmusok}. \hrefun{http://www.typotex.hu/}{Typotex} 
Elektronikus Kiadó, Budapest, 1999.
}


\begin{printnevindex}
\addtocontents{toc}{\vspace{21mm}}
\addtocontents{toc}{\hfill A szerzõ különösen hálás az Addison--Wesley Kiadónak

\hfill a türelméért, amiért a szerzõdés aláírásától egy teljes évtizedet várt

\hfill a kéziratra.

\hfill -- FRANK HARARY, \textit{Graph Theory} (1968) \cite{Harary1968}

\vspace{8mm}

\hfill Bitte ein Bit!

\hfill A Bitburger Sörfõzde jelszava (1951)
\protect\expandafter\protect\angolnevindex{Harary, Frank (1921--2005)}
\protect\expandafter\protect\angolnevindex{Bitburger Brauerei}
}
\end{printnevindex}

\end{document}

