INFORMATIKAI ALGORITMUSOK I. Iványi Antal alkotó szerkesztő ELTE Informatikai Kar, Budapest, 2009 A könyv elektronikus megjelenítése az Oktatási Minisztérium támogatásával, a Felsőoktatási Tankönyv– és Szakkönyvtámogatási Pályázat keretében történt. Alkotó szerkesztő: Iványi Antal Szerzők: Kása Zoltán (1.), Járai Antal és Kovács Attila (2.), Jörg Rothe (3. és 4.), Gyires Tibor (5.), Iványi Antal és Claudia Leopold (6.), Eberhard Zehendner (7.), Szidarovszky Ferenc (8.), Vizvári Béla (9.), Ulrich Tamm (10.), Balogh Ádám és Iványi Antal (11.), Demetrovics János és Sali Attila (12.), Miklós István (13.), Ingo Althöfer és Stefan Schwarz (14.), SzirmayKalos László (15.), Elek István és Sidló Csaba (16.), Galántai Aurél és Jeney András (17.) Szakmai lektorok: Recski András (1.), Ivanyos Gábor (2.), Gonda János (3.), Rónyai Lajos (4.), Lakatos László (5.), Sima Dezső (6. és 7.), Mayer János (8.), Csirik János (9.), Fridli Sándor (10.), Varga László (11.), Kiss Attila (12.), Katsányi István (13.), Szántai Tamás (14.), Vida János (15.), Meskó Attila (16.), Szántai Tamás (17.) Nyelvi lektor: Biró Gabriella Fordítók: Láng Zsuzsa (3.), Sidló Csaba (4.), Roszik János és Sztrik János (5.), Szakács Laura (7.), Pintér Miklós (8.), Sike Sándor (10.), Belényesi Viktor és Nikovits Tibor (14.) A könyv címoldalán – a Szépművészeti Múzeum engedélyével és az ELTE Informatikai Karának támogatásával – Vasarely Victor Dirac című festménye látható. A borítóhoz felhasznált filmet a GOMA RT. bocsátotta rendelkezésünkre. A borítót Iványi Antal tervezte. © Ingo Althöfer, Balogh Ádám, Belényesi Viktor, Biró Gabriella, Csirik János, Demetrovics János, Elek István, Fridli Sándor, Galántai Aurél, Gonda János, Gyires Tibor, Iványi Anna, Iványi Antal, Ivanyos Gábor, Járai Antal, Jeney András, Katsányi István, Kása Zoltán, Kovács Attila, Láng Zsuzsa, Claudia Leopold, Locher Kornél, Mayer János, Meskó Attila, Miklós István, Nikovits Tibor, Pintér Miklós, Recski András, Roszik János, Rónyai Lajos, Jörg Rothe, Sali Attila, Stefan Schwarz, Sidló Csaba, Sima Dezső, Sike Sándor, Szakács Laura, Szántai Tamás, Szidarovszky Ferenc, Szirmay-Kalos László, Sztrik János, Ulrich Tamm, Varga László, Vida János, Vizvári Béla, Eberhard Zehendner, 2005 Kiadja az ELTE Informatikai Kara 1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 1/C. Telefon: 381-2139, Fax: 381-2140 Honlap: http://www.inf.elte.hu/ Elektronikus cím: itcs@inf.elte.hu Felelős kiadó: Kozma László Előszó Az informatikai algoritmusok magyar nyelvű szakirodalma az utóbbi huszonöt évben alakult ki. Az első szakkönyvet Lovász László és Gács Péter [300] írta 1978-ban. Ezt a könyvet fordítások követték: 1982-ben Aho, Hopcroft és Ullman [5] könyve, 1987-ben Knuth háromkötetes [259] [260] [261] monográfiája, majd 1987-ben Cormen, Leiserson és Rivest [89] műve. 1999-ben újra hazai szerzők következtek – Rónyai Lajos, Ivanyos Gábor és Szabó Réka [407] – majd 2002-ben megjelent Lynch [306] Osztott algoritmusok című monográfiája. Ezt 2003 tavaszán Iványi Antal [227] Párhuzamos algoritmusok című könyve, majd 2003 őszén – Új algoritmusok címmel – Cormen, Leiserson, Rivest és Stein tankönyvének [90] fordítása követte. A magyar informatikus hallgatók és gyakorlati szakemberek nagy érdeklődéssel fogadták az Új algoritmusokat – néhány hónap alatt a kiadott 2000 példány fele gazdára talált. Ez ösztönözte ennek a könyvnek a hazai szerzőit, hogy – külföldi kollégáik segítségével – további 31 informatikai terület algoritmusait is összefoglalják. Az összegyüjtött anyagot nyomtatott formában az ELTE Eötvös Kiadó adta ki, két kötetben: az első 2004 októberében, a második 2005 áprilisában jelent meg. Az első kötetbe azok a fejezetek kerültek, amelyek szeptemberig elkészültek. A könyv tartalmát hat részre osztottuk: Alapok, Hálózatok, Diszkrét optimalizálás, Folytonos optimalizálás, Adatbázisok és Alkalmazások. Az első kötetbe azok a fejezetek került, amelyek szeptemberig elkészültek. Minden fejezet bemutat egy alkalmazási vagy elméleti szempontból lényeges területet és azokhoz kapcsolódó algoritmusokat. Az algoritmusok többségét szóban és olyan pszeudokóddal is megadjuk, amely a programozási tapasztalattal rendelkező olvasók számára könnyen érthető. Az első kötet 247 ábrát, 157 pszeudokódot és 133 példát tartalmaz, amelyek elősegítik a tárgyalt algoritmusok működésének megértését. Az önálló tanulást az alfejezetek végén lévő gyakorlatok (összesen 269), az egyes témákban való elmélyülést pedig a fejezetek végén lévő (összesen 66) feladatok segítik. A fejezetek anyagával kapcsolatos friss és kiegészítő ismeretekre való utalások találhatók a fejezetek végén lévő Megjegyzések a fejezethez című részben. Az irodalomjegyzékben megadjuk egyrészt a felhasznált szakirodalom bibliográfiai adatait, másrészt – teljességre törekedve – felsoroljuk a magyar nyelvű forrásokat. Az algoritmusok bemutatása az igényelt erőforrások – elsősorban futási idő és memória – elemzését is magában foglalja. A szakirodalomban szokásos módon felső korlátokat adunk meg a legrosszabb esetre jellemző erőforrásigényre, és esetenként a megoldandó probléma erőforrásigényére jellemző alsó korlátot is levezetünk. A könyv kéziratát HLaTeX és HHeRMeS kiadványszerkesztő eszközök segítségével készítettük, melyeket az elmúlt nyolc év során Belényesi Viktorral és Locher Kornéllal fejlesztettünk ki, és korábban már öt könyv kéziratának előállítására használtunk. Az ábrák többségét Locher Kornél rajzolta. Az irodalomjegyzéket Iványi Anna tette élővé. Garey és Johnson klasszikus művét [150] követve mindazon algoritmusok futási idejét exponenciálisnak nevezzük, amelyekre nem adható polinomiális felső korlát. Az Új algoritmusok példáját követve tizedespontot használunk. Mindig különös gondot fordítunk könyveink külsejére. Az adott esetben olyan megoldást kerestünk, amely tükrözi a könyv tartalmi gazdagságát (az első kötet 17 és a második kötet hasonló számú fejezetét) és az alkotók szoros kötődését mind Magyarországhoz, mind pedig Európához. Úgy gondoljuk, hogy a pécsi születésű Vásárhelyi Viktor – aki francia festőként Victor Vasarely néven vált világhírűvé – képeire jellemző a formák és színek gazdagsága, életútja pedig tükrözi kultúránk európai kötődését. A budapesti és pécsi múzeumokban összesen közel 500 Vasarely-alkotás van. Ezek a művész ajándékai – a szülőföld iránti hála és tisztelet szimbólumai. Vasarely gazdag életművéből a könyv alkotói és majdani Olvasói segítségével választottunk. A szavazók a Dirac, Kubtuz, Rikka, Sixa és a Tupa-fond című képeket emelték ki. Közülük két olyan képet – a Dirac és a Kubtuz című festményeket – választottuk, amelyeken szakaszokból kör alakul ki – szemléltetve az informatika azon alapvető tulajdonságát, hogy a folytonos valós világot diszkrét objektumokkal (bitekkel) írja le. Közismert, hogy az elmúlt évszázadban nemcsak művészeink, hanem sok kiváló tudósunk is külföldön ért fel a csúcsra. Nagy részükre azonban folyamatosan számíthat a hazai oktatás és tudományos élet. A hálózati szimulációs fejezet szerzője Gyires Tibor (Illinois Egyetem), a játékelméleti fejezetet pedig Szidarovszky Ferenc (Arizonai Műszaki Egyetem) írta. A második kötetben a megbízhatóságról szóló fejezetet Gács Péter (Bostoni Egyetem) írta, a belsőpontos módszerekről szóló fejezet egyik szerzője pedig Terlaky Tamás (McMaster Egyetem). Ma mind a négy szerző az adott terület vezető kutatója, amerikai egyetemek professzora – egykor magyar egyetemen tanultak, majd tanítottak. Az első kötetben lévő rekurziós fejezet, valamint a második kötetben automatákkal és formális nyelvekkel foglalkozó fejezet szerzője Kása Zoltán (Babe¸sBolyai Tudományegyetem), a szisztolikus rendszerekről szóló fejezetet Szakács Laura (Babe¸s-Bolyai Tudományegyetem) fordította németről magyarra. Részvételük a könyv megszületésében a határainkon túli magyar nyelvű oktatással való szoros kapcsolatunk része. Könyvünk tartalmi gazdagsága jó külföldi – elsősorban német – kapcsolatainknak is köszönhető. Az első kötet kriptográfiai és bonyolultságelméleti fejezetét Jörg Rothe (Düsseldorfi Egyetem), szisztolikus rendszerekkel foglalkozó fejezetét Eberhard Zehendner (Friedrich Schiller Egyetem) írta. Az adattömörítési fejezet szerzője Ulrich Tamm (Chemnitzi Egyetem), a párhuzamos programozásról szóló fejezet egyik szerzője Claudia Leopold (Kasseli Egyetem), az ember-gép kapcsolatokkal foglalkozó fejezet szerzői Ingo Althöfer és Stefan Schwarz (Friedrich Schiller Egyetem). A második kötet Osztott algoritmusok című fejezetének szerzői Burkhard Englert (Californiai Állami Egyetem), Dariusz Kowalski Max Planck Intézet (Saarbrücken), Grzegorz Malewicz (Alabamai Egyetem), Alexander Shvartsman (Connecticuti Egyetem). A fejezet szerzőinek életútja alapján mondhatjuk, hogy ez a fejezet a lengyel-magyar barátság eredménye. Az alkotók (szerzők, lektorok, fordítók és segítőtársaik) többsége a hazai informatikai felsőoktatás meghatározó intézményeinek – Budapesti Corvinus Egyetem, Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, Budapesti Műszaki Főiskola, Debreceni Egyetem, Eötvös Loránd Tudományegyetem, Miskolci Egyetem, Pécsi Tudományegyetem, Szegedi Tudományegyetem – oktatója. Az Oktatási Minisztérium támogatásának köszönhetően a nyomtatott tankönyv mindkét kötete nagyon kedvező áron juthat el az Olvasókhoz. Az internet széleskörű elterjedésével együtt nő a digitalizált formában elérhető – olvasható, letölthető, nyomtatható – oktatási segédanyagok jelentősége. Magyarországon körülbelül a kilencvenes évek közepétől vált egyre gyakoribbá, hogy – például a BME, DE, ELTE, SZTE lelkes oktatói – előadásaik anyagát, feladatsorokat hallgatóik számára digitális formában is hozzáférhetővé tettek. Ezek közül az ismertebbeknek a listája megtalálható mind nyomtatott [227], mind pedig elektronikus [223] formában. A Magyar Elektronikus Könyvtár [363] és a debreceni Mobidiák Könyvtár szervezetten készíti és gyűjti a digitalizált informatikai anyagot. Az OM 2004-es pályázatának segítségével jelenleg közel 100 digitalizált tankönyv található a Kempelen Farkas Digitális Felsőoktatási Tankönyvtárban [193], melyek közül körülbelül tíz könyv informatikával vagy matematikával foglalkozik. Érdemes megemlíteni az elsősorban szépirodalmi művek digitalizált változatait készítő Neumann Házat [351]is.Ebbe a folyamatba illeszkedik az informatika háromszögesítésére [40] [222]irányuló programunk, melyet 2003-ban indítottunk útjára. Ennek lényege, hogy az informatikai ismeretanyagot fokozatosan olyan háromszögekkel fedjük le, melyek A típusú csúcsa egy olcsó nyomtatott tankönyv, B típusú csúcsa a nyomtatott tankönyv ingyenes elektronikus változata, C típusú csúcsa pedig egy DVD-n közreadott ingyenes könyvtár (ez a csúcs közös több háromszög számára). Ennek a programnak a kibontakozásához nagy segítséget jelent, hogy az OM az 1997 óta minden évben meghirdetett tankönyvtámogatási pályázatát 2004ben kibővítette a digitális tartalmak előállításának támogatásával. A Párhuzamos algoritmusok háromszög A csúcsa 2003-ban [227] jelent meg, B csúcsa [223] pedig 2005-ben. Az Informatikai algoritmusok 1 háromszög A csúcsa 2004-ben, B csúcsa pedig 2005-ben jelent meg. Az OM mind a négy csúcs létrehozását támogatta. A Bevezetés a programozásba háromszög A [144] és B [143] csúcsa is közel van a megvalósításhoz – várhatóan 2005-ben mindkettő megjelenik. Az A csúcs létrehozását az ELTE IK, a B csúcs létrehozását az OM támogatja. Az Informatikai algoritmusok 2 háromszög A csúcsának megjelenése 2005. áprilisában várható – az OM támogatásával. A B típusú csúcsok az ELTE IK http://Elek.inf.elte.hu című könyvtárában HTML, PDF és PS formában is szabadon hozzáférhetők – mind teljes könyvként, mind pedig fejezetenként. Nyomtatásra a PS, képernyőn hiperszövegként való olvasásra (szövegen belüli és a más honlapokra való ugráshoz) a PDF és HTML, keresésre a PDF és a HTML formát ajánljuk. A PS például a Ghostview, a PDF az Acrobat Reader, a HTML pedig az Internet Explorer vagy Mozilla Firefox felhasználásával jeleníthető meg. Valamennyi ajánlott program szabadon letölthető. A teljes elektronikus könyv a Kempelen Farkas Digitális Felsőoktatási Tankönyvtárban is elérhető. Az elektronikus változat tartalmilag is gazdagabb a nyomtatottnál: névmutatót, bizonyos gyakorlatok megoldását, a kötetben előforduló szakkifejezések angol– magyar és magyar-angol szótárát is tartalmazza. Ugyanakkor az elektronikus változat azt is tükrözi, hogy ez az első komoly kísérletünk sokszerzős elektronikus tankönyv közreadására: az ,,egyszerű” képleteket a HHermes nevű LaTeX2HTML fordító állította elő, míg a ,,bonyolultakat” a DVI2PDF fordítóval és Acrobat Readerrel előállított GIF formában illesztettük be a kéziratba. A HHermesnek komoly gondot jelentenek a betűközök. Igyekeztünk kézzel segíteni, de a figyelmes Olvasó valószínűleg talál mind hiányzó, mint felesleges betűközt. A könyv megszületése részben a Hermes-projekt vezetőjének, Romeo AnghelacheÚrnak (Max Planck Intézet, Golm) köszönhető: tanácsaival folyamatosan segíti a HHermes fejlesztését. A B típusú csúcsok teljes könyvként a http://www.hik.hu/index.asp?r=90,261 címen lévő Kempelen Farkas Felsőoktatási Digitális Tankönyvtárban is elérhetők. Az első C típusú csúcsot – kísérleti jelleggel CD-n – 2005 tavaszán készítjük el. A tapasztalatokat hasznosítva 2005 őszére tervezzük az első DVD elkészítését (a DVD-ket a nyomtatott könyvekbe téve fogjuk terjeszteni). Az informatika háromszögesítésére irányuló törekvésünk sikere több, előre nehezen látható körülménytől is függ (például a nyomtatott és elektronikus változatok együttes felhasználása, az Olvasók és a kiadók érdekeinek különbözősége, a színvonalas elektronikus kiadványok elkészítésének nagy munkaigénye). Ezért munkánkban nagy segítséget jelentenek az ELTE Informatikai Karának azon hallgatói, akik egy-egy – szakmai érdeklődésüknek megfelelő – fejezet lektorálása mellett folyamatosan véleményezik a munka eredményeit, segítenek a tervek alakításában: Burcsi Péter (Komputeralgebra), Dévai Gergely (Bonyolultságelmélet), Szabados Kristóf (Párhuzamos számítások), Szendrei Rudolf (Adattömörítés), Benyó Tamás (Memóriagazdálkodás), Bánsághy Anna (Bioinformatika), Germán László (Számelmélet), Hevér Andrea (Fordítóprogramok, Részben strukturált adatbázisok), Szabó Gábor (Osztott algoritmusok), Sleinitz István (Petri-hálók) Az alábbi kollégáknak köszönjük, hogy a tervezett könyv mindkét formáját támogatták: Fazekas Gábor egyetemi docens (Debreceni Egyetem Informatikai Karának dékánhelyettese), Imreh Balázs egyetemi docens (Szegedi Egyetem), Kása Zoltán egyetemi tanár (BBTE Matematikai és Informatikai Karának dékánhelyettese), Kozma László egyetemi docens (ELTE Informatikai Karának dékánja), Jörg Rothe egyetemi tanár (Heinrich Heine Universit¨at, Düsseldorf ), Sima Dezső főiskolai tanár (Budapesti Műszaki Főiskola Neumann János Informatikai Karának főigazgatója), Sidló Csaba PhD hallgató (ELTE Informatikai Doktori Iskola), Szeidl László egyetemi tanár (Pécsi Tudományegyetem Matematikai és Informatikai Intézet igazgatója), Szidarovszky Ferenc egyetemi tanár (Arizonai Műszaki Egyetem), Szirmay-Kalos László egyetemi tanár (BME Villamosmérnöki és Informatikai Kara), Terlaky Tamás egyetemi tanár (McMaster Egyetem, Hamilton). Ugyancsak köszönjük azoknak a kollégáinknak a segítőkészségét, akiknek a véleményét csatolni tudtuk a pályázathoz: Fekete István egyetemi docens (Rekurziók című fejezet), Fridli Sándor egyetemi docens (Adattömörítés), Gonda János egyetemi docens (Kriptográfia), Hunyadvári László egyetemi docens és Katsányi István PhD hallgató (Bioinformatika), Kiss Attila egyetemi docens (Relációs adatbázisok tervezése), Tőke Pál egyetemi docens (Hálózatok szimulációja), Vida János egyetemi docens (Grafika).Köszönet illeti azokat – Bánsághi Anna programtervező matematikus hallgató (ELTE), Benyó Tamás programtervező matematikus hallgató (ELTE), Biró Gabriella (programtervező matematikus), Csörnyei Zoltán egyetemi docens, (ELTE), Gyires Tibor egyetemi tanár (Illinois Egyetem), Imrényi Katalin tanszéki előadó (ELTE), Iványi Anna program koordinátor (CEEWEB), Iványi Antal (villamosmérnök), Kása Zoltán egyetemi tanár (BBTE), Kurucz Miklós programtervező matematikus hallgató (ELTE), Locher Kornél programtervező matematikus hallgató (ELTE), Rét Anna szerkesztő (Műszaki Könyvkiadó), Rónyai Lajos egyetemi tanár (BME), Sima Dezső főiskolai tanár (BMF), Szabados Kristóf programtervező matematikus hallgató (ELTE), Szendrei Rudolf programtervező matematikus hallgató (ELTE), Szidarovszky Ferenc egyetemi tanár (Arizonai Műszaki Egyetem), Szirmay-Kalos László egyetemi tanár (BME), Takács Dániel programtervező matematikus hallgató (ELTE) – akik észrevételeikkel segítettek a könyvünk alapjául szolgáló mű, az Informatikai algoritmusok I első kiadásának javításában. A későbbiekben szeretnénk mind az első nyomtatott kiadás, mind az elektronikus kiadás hibáit kijavítani. Ezért kérjük a könyv Olvasóit, hogy javaslataikat, észrevételeiket küldjék el a tony@inf.elte.hu címre – levelükben lehetőleg pontosan megjelölve a hiba előfordulási helyét, és megadva a javasolt szöveget. Olvasóink javaslataikkal, kérdéseikkel megkereshetik a könyv alkotóit is (címük megtalálható a kolofonoldalon). Budapest, 2005. április 10. Iványi Antalalkotó szerkesztő I. ALAPOK Bevezetés Ebben az alapozó részben négy témakört tárgyalunk. Az informatikai algoritmusok elemzése során gyakran előfordul, hogy például felismerjük az n és n+1 méretű feladatok megoldási ideje közötti kapcsolatot – és ennek az úgynevezett rekurzív egyenletnek a felhasználásával szeretnénk közvetlenül felírni az n méretű bemenethez tartozó futási időt. Az első fejezet a rekurzív egyenletek leggyakrabban előforduló típusainak megoldási módszereit mutatja be. A mai számítógépek sebessége és tárolókapacitása, valamint az elméleti eredmények számos olyan feladat kényelmes (mechanikus) megoldását lehetővé teszik, melyeket korábban nem, vagy csak nagy nehézségek árán tudtunk kezelni. Ezek egy része – mint a formális differenciálás és integrálás – a második fejezetben tárgyalt komputeralgebrához tartozik. Az elektronikus kommunikáció hatalmas iramú terjedésével együtt nő a kommunikáció biztonságának jelentősége. Ezért a mai informatika egyik kulcsfontosságú területe a kriptográfia, mellyel a könyv harmadik fejezete foglalkozik. Az algoritmusok elemzésének hagyományosan fontos része az erőforrásigény legrosszabb esetre vonatkozó felső korlátjának megadása. Az csak az utóbbi 15 évben vált természetessé, hogy az erőforrásigényre vonatkozó – a probléma és a megengedett algoritmusok tulajdonságain alapuló – alsó korlátokat is megadnak. Például Donald Knuth The Art of Computer Programming című monográfiájának 1968-ban megjelent első kötetében szerepelt az aszimptotikus felső korlátok jellemzésére használt O-jelölés (nagy ordo) definíciója – ugyanakkor még nem szerepelt az alsó korlátok jellemzésére alkalmas Ω-jelölés, valamint a pontos nagyságrend megadására alkalmas Θ-jelölés. Az Introduction to Algorithms 1990-ben megjelent első kiadásában, a Distributed Algorithms 1996-ban megjelent első kiadásában, valamint Knuth könyvének 1997-ben megjelent harmadik kiadásában már az Ω-jelölés és a Θ-jelölés definíciója is szerepel. A negyedik fejezet szerint a bonyolultságelmélet fontos feladata, hogy a problémákhoz és számítási modellekhez minél pontosabb alsó korlátokat adjon meg – ezzel is segítve a problémák erőforrásigény szerinti osztályozását. A második kötetben fog megjelenni az algebra, az automaták és a formális nyelvek, a fordítóprogramok, a megbízható számítások és a számelmélet algoritmusait bemutató fejezet. 1. Rekurzív egyenletek (Kása Zoltán) Közismert a Fibonacci-számok rekurzív definíciója: ha Fn jelöli az n -edik Fibonacci-számot, akkor F0=0,F1=1,Fn+2=Fn+1+Fn, ha n≥0. Szeretnénk explicit formában megadni Fn értékét tetszőleges n-re. A feladat tulajdonképpen olyan egyenlet megoldását kéri, amelyben az ismeretlen rekurzív módon van megadva, ezért rekurzív egyenletnek hívjuk. Itt a megoldás felfogható úgy, mint természetes számokon értelmezett függvény, mivel Fn minden n-re értelmezett. Az ilyen rekurzív egyenletet szokás még differenciaegyenletnek is nevezni, de nevezhetnénk akár diszkrét differenciálegyenletnek is. 1.1. definíció. A kadrendű rekurzív egyenlet (k≥1) egy f(xn,xn+1,...,,xn+k)=0,n≥0(1.1) alakú egyenlet, ahol xn-et kell explicit formában megadnunk. Ahhoz, hogy egyértelműen meghatározhassuk xn-et, meg kell adnunk k kezdőértéket, ezek általában x0,x1,...,xk−1. Ezek az értékadások kezdeti feltételeknek tekinthetők. Mivel a Fibonacci-számokat definiáló egyenlet másodrendű rekurzív egyenlet, ezért ott két kezdeti értéket adunk meg. Az (1.1) egyenletet és annak adott kezdeti feltételeit kielégítő xn=g(n) sorozatot az adott egyenlet partikuláris megoldásának nevezzük. Ha az xn=h(n,C1,C2,...,Ck) sorozatból – a C1,C2,...,Ck állandók alkalmas megválasztásával – az (1.1) egyenlet minden partikuláris megoldása előállítható, akkor a sorozatot az egyenlet általános megoldásának nevezzük. A rekurzív egyenletek megoldása általában nem egyszerű. A következőkben sajátos esetekben alkalmazható módszereket ismertetünk. Az írásmódban függvény helyett inkább sorozatot használunk (ami tulajdonképpen természetes számokon értelmezett függvény). Így a jelölés egyszerűbb lesz, x(n) helyett mindenhol xn-et írunk. A fejezet három részből áll. Az 1.1. alfejezetben a lineáris rekurzív egyenletek megoldásával, a 1.2. alfejezetben a generátorfüggvények felhasználásával, az 1.3. alfejezetben pedig lineáris rekurzív egyenletek numerikus megoldásával foglalkozunk. 1.1. Lineáris rekurzív egyenletek Ha a rekurzív egyenlet f0(n)xn+f1(n)xn+1+⋯+fk(n)xn+k=f(n),n≥0 alakú, ahol f,f0,f1,...,fk természetes számokon értelmezett függvények, f0,fk≠0, és xn-et kell explicit módon megadnunk, akkor lineáris rekurzív egyenletről beszélünk. Ha f azonosan nulla, akkor az egyenlet homogén, és különben inhomogén. Amennyiben az f0,f1,...,fk függvények mindegyike állandó, akkor állandó együtthatós lineáris rekurzív egyenletről van szó. 1.1.1. Állandó együtthatós homogén lineáris rekurzív egyenletek Legyen a0xn+a1xn+1+⋯+akxn+k=0,n≥k,(1.2) ahol a0,a1,...,ak valós állandók, a0,ak≠0,k≥1. Amennyiben adva van k kezdeti érték – leggyakrabban x0,x1,...,xk−1 – az egyenlet megoldása egyértelműen meghatározható. A megoldás érdekében rendeljük hozzá az egyenlethez a karakterisztikus egyenletét:a0+a1r+⋯+ak−1rk−1+akrk=0,(1.3) amely valós együtthatós egyenlet. Ennek az egyenletnek k gyöke van a komplex számok körében. Behelyettesítéssel ellenőrizhető, hogy ha r0 valós megoldása a karakterisztikus egyenletnek, akkor C0r0n megoldása az (1.2) egyenletnek, ahol C0 tetszőleges állandó. Az (1.2) egyenlet általános megoldása xn=C1xn(1)+C2xn(2)+⋯+Ckxn(k), ahol xn(i) ( i=1,2,...,k ) az (1.2) egyenlet lineárisan független megoldásai. A kezdeti feltételekből mindig meghatározhatók a C1,C2,...,Ck állandók egy k egyenletből álló egyenletrendszer megoldásával. A lineárisan független megoldásokat a karakterisztikus egyenlet gyökei szolgáltatják a következők szerint. Minden gyökhöz hozzárendelhető egy fundamentálisnak nevezett megoldás. Különböző valós gyökök Legyenek r1,r2,...,rp a karakterisztikus egyenlet egymástól különböző valós gyökei. Ekkor r1n,r2n,...,rpn megoldásai az (1.2) rekurzív egyenletnek, és C1r1n+C2r2n+⋯+Cprpn(1.4) is az, tetszőleges C1,C2,...,Cp állandókra. Ha p=k, akkor (1.4) a rekurzív egyenlet általános megoldása. 1.1. példa. Oldjuk meg az xn+2=xn+1+xn,x0=0,x1=1 rekurzív egyenletet. A karakterisztikus egyenlet r2−r−1=0, amelynek gyökei r1=1+252,r2=1−252. Ezek valósak és egymástól különböznek, tehát az egyenlet általános megoldása xn=C1(1+252)n+C2(1−252)n. A C1 és C2 meghatározhatók a kezdeti feltételekből. Ha figyelembe vesszük, hogy x0=0,x1=1, a következő egyenletrendszerhez jutunk: C1+C2=0,C11+252+C21−252=1. Az egyenletrendszer megoldása C1=1/25,C2=−1/25. Így az általános megoldás xn=125(1+252)n−125(1−252)n, amely éppen Fn, az n -edik Fibonacci-szám. Többszörös valós gyökök Legyen r egy p-szeres gyöke a karakterisztikus egyenletnek. Ekkor rn,nrn,n2rn,...,np−1rn megoldásai az (1.2) rekurzív egyenletnek (az r többszörös gyökhöz tartozó fundamentális megoldások), és (C0+C1n+C2n2+⋯+Cp−1np−1)rn(1.5) is megoldás, tetszőleges C0 , C1,...,Cp−1 állandókra. Ha a karakterisztikus egyenletnek nincs más gyöke, akkor (1.5) a rekurzív egyenlet általános megoldása. 1.2. példa. Oldjuk meg az xn+2=4xn+1−4xn,x0=1,x1=3 rekurzív egyenletet. A karakterisztikus egyenlet r2−4r+4=0, amelynek r=2 kétszeres gyöke. Ekkor xn=(C0+C1n)2n megoldása az egyenletnek. A kezdeti feltételekből C0=1,2C0+2C1=3. Innen C0=1 , C1=1/2 , azaz az általános megoldás xn=(1+12n)2n vagy xn=(n+2)2n−1. Egyszeres komplex gyökök Ha a trigonometrikus alakban felírt a(cosb+isinb) komplex szám gyöke a karakterisztikus egyenletnek, akkor az a(cosb−isinb) konjugált is az, mivel a karakterisztikus egyenlet valós együtthatós. Ekkor ancosbn és ansinbn megoldása az (1.2) rekurzív egyenletnek és C1ancosbn+C2ansinbn(1.6) is az, tetszőleges C1 és C2 állandókra. Ha a karakterisztikus egyenletnek nincsenek más gyökei, akkor (1.6) általános megoldás. 1.3. példa. Oldjuk meg az xn+2=2xn+1−2xn,x0=0,x1=1 rekurzív egyenletet. A karakterisztikus egyenlet r2−2r+2=0, amelynek gyökei 1+i és 1−i , trigonometrikus alakban: 22(cos(π/4)+isin(π/4)) és 22(cos(π/4)−isin(π/4)) . Ezért a rekurzív egyenletnek xn=C1(22)ncosnπ4+C2(22)nsinnπ4 megoldása. A kezdeti feltételekből C1=0,C122cosπ4+C222sinπ4=1. Innen azt kapjuk, hogy C1=0,C2=1 . Az általános megoldás tehát xn=(22)nsinnπ4. Többszörös komplex gyökök Ha a trigonometrikus alakban felírt a(cosb+isinb) komplex szám p -szeres gyöke a karakterisztikus egyenletnek, akkor az a(cosb−isinb) konjugált is az. Ekkor az (1.2) rekurzív egyenletnek ancosbn,nancosbn,...,np−1ancosbn és ansinbn,nansinbn,...,np−1ansinbn megoldásai. Ekkor megoldás (C0+C1n+⋯+Cp−1np−1)ancosbn+(D0+D1n+⋯+Dp−1np−1)ansinbn is, ahol C0,C1,...,Cp−1,D0,D1,...,Dp−1 tetszőleges állandók, amelyek meghatározhatók a kezdeti feltételekből. Ez általános megoldás, ha a karakterisztikus egyenletnek nincsenek más gyökei. 1.4. példa. Oldjuk meg az xn+4+2xn+2+xn=0,x0=0,x1=1,x2=2,x3=3 rekurzív egyenletet. A karakterisztikus egyenlet r4+2r2+1=0, amely (r2+1)2=0 alakban is írható, és amelynek i és −i kétszeres gyöke. Ezek trigonometrikus alakja i=cosπ2+isinπ2, valamint −i=cosπ2−isinπ2. Ezért az általános megoldás xn=(C0+C1n)cosnπ2+(D0+D1n)sinnπ2. A kezdeti feltételekből következik: C0=0,(C0+C1)cosπ2+(D0+D1)sinπ2=1,(C0+2C1)cosπ+(D0+2D1)sinπ=2,(C0+3C1)cos3π2+(D0+3D1)sin3π2=3, azaz C0=0,D0+D1=1,−2C1=2,−D0−3D1=3, és innen C0=0 , C1=−1 , D0=3 és D1=−2 . Az általános megoldás tehát xn=(3−2n)sinnπ2−ncosnπ2. A most vizsgált négy eset segítségével bármilyen állandó együtthatós homogén egyenletet megoldhatunk. 1.5. példa. Oldjuk meg az xn+3=4xn+2−6xn+1+4xn,x0=0,x1=1,x2=1 rekurzív egyenletet. A karakterisztikus egyenlet r3−4r2+6r−4=0, amelynek gyökei: 2, 1+i és 1−i . Ezért az általános megoldás xn=C12n+C2(22)ncosnπ4+C3(22)nsinnπ4. Az állandók meghatározása után xn=−2n−1+(22)n2(cosnπ4+3sinnπ4). Általános megoldás Az (1.2) k-adrendű homogén lineáris rekurzív egyenlethez rendelt karakterisztikus egyenletnek összesen k gyöke van a komplex számok között, amelyek nem feltétlenül különbözők. Legyenek ezek a gyökök a következők: r1 valós, p1-szeres (p1≥1), r2 valós, p2-szeres, (p2≥1) , . . . rt valós, pt-szeres, (pt≥1), s1=a1(cosb1+isinb1) komplex, q1 -szeres (q1≥1), s2=a2(cosb2+isinb2) komplex, q2 -szeres (q2≥1), ) . . . sm=am(cosbm+isinbm) komplex, qm -szeres (qm≥1). Mivel összesen k gyök van, p1+p2+⋯+pt+2(q1+q2+⋯+qm)=k. Ekkor az (1.2) rekurzív egyenlet általános megoldása xn=∑j=1t(C0(j)+C1(j)n+⋯+Cpj−1(j)npj−1)rjn(1.7)+∑j=1m(D0(j)+D1(j)n+⋯+Dqj−1(j)nqj−1)ajncosbjn+∑j=1m(E0(j)+E1(j)n+⋯+Eqj−1(j)nqj−1)ajnsinbjn, ahol C0(j),C1(j),...,Cpj−1(j),j=1,2,...,t,D0(l),E0(l),D1(l),E1(l),...,Dpl−1(l),Epl−1(l),l=1,2,...,m állandók, melyek a kezdeti feltételekből meghatározhatók. Az eddigiek a következő tételben foglalhatók össze. 1.2. tétel. Legyen k≥1 egész, a0,a1,...,ak valós számok, a0,ak≠0. Az (1.2) lineáris rekurzív egyenlet általános megoldása előállítható az (1.3) karakterisztikus egyenlet ri gyökeiből képezett njrin alakú tagok lineáris kombinációjaként, ahol a pi-szeres ri gyök esetében 0≤j<p és a lineáris kombináció együtthatói a kezdeti feltételektől függnek. A tétel bizonyítását az Olvasóra hagyjuk (lásd 1.1-5. gyakorlat). A megoldás lépéseit a következőképpen foglalhatjuk össze. 1.1.2. Állandó együtthatós inhomogén lineáris rekurzív egyenletek Az állandó együtthatós inhomogén lineáris rekurzív egyenlet általános alakja a0xn+a1xn+1+⋯+akxn+k=f(n),(1.8) ahol a0,a1,...,ak valós állandók, a0,ak≠0,k≥1 , és f(n) nem azonosan nulla. Az egyenlethez tartozó (1.2) homogén lineáris egyenletet az 1.2. tétel szerint meg tudjuk oldani. Ha ismerjük az (1.8) egyenlet egy partikuláris megoldását, akkor az (1.8) egyenlet általános megoldását is elő tudjuk állítani. 1.3. tétel. Legyen k≥1 egész, a0,a1,...,ak valós számok, a0,ak≠0. Ha xn(1) az (1.8) lineáris inhomogén rekurzív egyenlet egy partikuláris megoldása és xn(0) az (1.8) egyenlethez tartozó (1.2) homogén lineáris egyenlet általános megoldása, akkor xn=xn(0)+xn(1) általános megoldása az (1.8) egyenletnek. A tétel bizonyítását meghagyjuk az Olvasónak (lásd 1.1-6. gyakorlat). 1.6. példa. Oldjuk meg az xn+2+xn+1−2xn=2n,x0=0,x1=1 rekurzív egyenletet. Először megoldjuk az xn+2+xn+1−2xn=0 homogén egyenletet, amelynek általános megoldása xn(0)=C1(−2)n+C2, mivel a karakterisztikus egyenlet gyökei −2 és 1. Könnyen ellenőrizhetjük, hogy xn(1)=2n−2 megoldása az eredeti, inhomogén egyenletnek. Az inhomogén egyenlet általános megoldása tehát xn=C1(−2)n+C2+2n−2. A C1 és C2 állandókat meghatározhatjuk a kezdeti feltételekből. Ennek alapján az általános megoldás xn=−14(−2)n+2n−2 vagy xn=2n−(−2)n4, azaz A partikuláris megoldás meghatározható a konstansok variálásának módszerével. Léteznek azonban olyan esetek, amikor a partikuláris megoldást könnyebben is megkaphatjuk. Az 1.1. ábrán olyan f(n) függvényeket adunk meg, amelyek esetében az xn(1) partikuláris megoldás a táblázatban megadott alakban kereshető. Az állandókat az egyenletbe való behelyettesítéssel kaphatjuk meg. f(n)xn(1)f(n)xn(1)npan(C0+C1n+⋯+Cpnp)anannpsinbn(C0+C1n+⋯+Cpnp)ansinbn+(D0+D1n+⋯+Dpnp)ancosbnannpcosbn(C0+C1n+⋯+Cpnp)ansinbn+(D0+D1n+⋯+Dpnp)ancosbn 1.1. ábra. A partikuláris megoldás alakja. Előző példánk esetében f(n)=2n, tehát az első esetet alkalmazzuk, amikor a=2,p=0, ezért a C02n -nel próbálkozunk. Behelyettesítés után azt kapjuk, hogy C0=1/4, tehát a partikuláris megoldás xn(1)=2n−2. Gyakorlatok 1.1–1. Oldjuk meg az alábbi inhomogén lineáris rekurzív egyenletet: Hn=2Hn−1+1, ha n≥1, és H0=0. (Hn itt a Hanoi-tornyai nevű feladat megoldásához szükséges – és egyben elégséges – lépések számát jelenti.) 1.1–2. Elemezzük a Hanoi-tornyaira vonatkozó feladatot abban az esetben, amikor úgy kell n korongot átrakni az A rúdról a C rúdra, hogy közben az A rúdról a C rúdra közvetlenül nem szabad korongot átrakni, és viszont Útmutatás. Mutassuk meg, hogy ha az optimális algoritmus lépéseinek száma Mn és n≥1, akkor Mn=3Mn−1+2. 1.1–3. Oldjuk meg a következő rekurzív egyenletet: (n+1)Rn=2(2n−1)Rn−1, ha n≥1, és R0=1. 1.1–4. Oldjuk meg alábbi inhomogén lineáris rekurzív egyenletet: xn=2n−2+2xn−1, ha n≥2, és x1=0.Útmutatás. Keressük a partikuláris megoldást C1n2n+C2 alakban. 1.1–5. Bizonyítsuk be az 1.2. tételt. 1.1–6. Bizonyítsuk be az 1.3. tételt. 1.2. Generátorfüggvények és rekurzív egyenletek A generátorfüggvényeket, többek között, felhasználhatjuk rekurzív egyenletek megoldására, bizonyos objektumok (pl. bináris fák) megszámolására, azonosságok bizonyítására, partíciós problémák megoldására. Az objektumok megszámolása rekurzív egyenletek felállításával és megoldásával történik. Ezek a rekurzív egyenletek általában nem lineárisak, megoldásukban segíthetnek a generátorfüggvények. 1.2.1. Értelmezés és műveletek Egy (an)n≥0=〈a0,a1,a2,...,an,...〉 végtelen számsorozathoz hozzárendelhetünk egy hatványsort a következőképpen: A(z)=a0+a1z+a2z2+⋯+anzn+⋯=∑n≥0anzn, amelyet az (an)n≥0 számsorozat generátorfüggvényének nevezünk. Például a Fibonacci-számok esetében a generátorfüggvény a következő: F(z)=∑n≥0Fnzn=z+z2+2z3+3z4+5z5+8z6+13z7+⋯. Ha mindkét oldalt megszorozzuk z-vel, majd z2-tel, a következőket kapjuk: F(z)=F0+F1z+F2z2+F3z3+⋯+Fnzn+⋯,zF(z)=F0z+F1z2+F2z3+⋯+Fn−1zn+⋯,z2F(z)=F0z2+F1z3+⋯+Fn−2zn+⋯. Ha kivonjuk tagonként az első képletből a másodikat, majd a harmadikat, és figyelembe vesszük a Fibonacci-számokat definiáló képletet, a következőt kapjuk: F(z)(1−z−z2)=z, ahonnan F(z)=z1−z−z2.(1.9) A fenti számítások helyességét matematikailag igazolni lehet, de nem térünk ki erre. A generátorfüggvények segítségével, formális műveletek során kapott eredményeket a legtöbb esetben más módszerekkel is lehet igazolni. Tekintsük az A(z)=∑n≥0anzn és B(z)=∑n≥0bnzn generátorfüggvényeket. Az A(z) és B(z) generátorfüggvényeket akkor és csakis akkor mondjuk egyenlőnek, ha an=bn bármely n természetes számra. Ezután a következő, generátorfüggvényekkel végezhető műveleteket definiáljuk: összeadás és valós számmal való szorzás, eltolás, szorzás, deriválás, integrálás. Összeadás és valós számmal való szorzás α A ( z ) + β B ( z ) = ∑ n ≥ 0 ( α a n + β b n ) z n . Eltolás A zkA(z)=∑n≥0anzn+k=∑n≥kan−kzn generátorfüggvény a 〈0,0,...,0︸k,a0,a1,...〉 számsorozatot jelképezi, míg az 1zk(A(z)−a0−a1z−a2z2−⋯−ak−1zk−1)=∑n≥kanzn−k=∑n≥0ak+nzn generátorfüggvény az 〈ak,ak+1,ak+2,...〉 sorozatot. 1.7. példa. Legyen A(z)=1+z+z2+⋯. Ekkor 1z(A(z)−1)=A(z) és A(z)=11−z. Szorzás Ha A(z) és B(z) generátorfüggvények, akkor A(z)B(z)=(a0+a1z+⋯+anzn+⋯)(b0+b1z+⋯+bnzn+⋯)=a0b0+(a0b1+a1b0)z+(a0b2+a1b1+a2b0)z2+⋯=∑n≥0snzn, ahol sn=∑k=0nakbn−k.Sajátos eset. Ha bn=1 bármely n természetes számra, akkor A(z)11−z=∑n≥0(∑k=0nak)zn.(1.10) Ha még ezenkívül an=1 is igaz bármely n természetes számra, akkor 1(1−z)2=∑n≥0(n+1)zn.(1.11) Deriválás A ′ ( z ) = a 1 + 2 a 2 z + 3 a 3 z 2 + ⋯ = ∑ n ≥ 0 ( n + 1 ) a n + 1 z n . 1.8. példa. Az A(z)=∑n≥0zn=11−z generátorfüggvény mindkét oldalát deriválva azt kapjuk, hogy A′(z)=∑n≥1nzn−1=1(1−z)2. Integrálás ∫ 0 z A ( t ) d t = a 0 z + 1 2 a 1 z 2 + 1 3 a 2 z 3 + ⋯ = ∑ n ≥ 1 1 n a n − 1 z n . 1.9. példa. Legyen 11−z=1+z+z2+z3+⋯ Mindkét oldalát integrálva azt kapjuk, hogy ln11−z=z+12z2+13z3+⋯=∑n≥11nzn. Ha a két fenti generátorfüggvényt összeszorozzuk, akkor 11−zln11−z=∑n≥1Hnzn, ahol Hn=1+12+13+⋯+1n(H0=0,H1=1) az ún. harmonikus számok . Argumentum cseréje Legyen A(z)=∑n≥0anzn, amely az 〈a0,a1,a2,...〉 sorozatot jelképezi, akkor A(cz)=∑n≥0cnanzn pedig az 〈a0,ca1,c2a2,...cnan,...〉 sorozatot. Igazak még a következők is: 12(A(z)+A(−z))=a0+a2z2+⋯+a2nz2n+⋯,12(A(z)−A(−z))=a1z+a3z3+⋯+a2n−1z2n−1+⋯. 1.10. példa. Legyen A(z)=1+z+z2+z3+⋯=11−z. Ekkor 1+z2+z4+⋯=12(A(z)+A(−z))=12(11−z+11+z)=11−z2, amely megkapható úgyis, hogy z-t z2-tel helyettesítjük A(z)-ben. Hasonlóképpen, megkaphatjuk a páratlan kitevőjű tagok összegét: z+z3+z5+⋯=12(A(z)−A(−z))=12(11−z−11+z)=z1−z2. A generátorfüggvények segítségével érdekes képleteket kaphatunk. Legyen például A(z)=1/(1−z)=1+z+z2+z3+⋯ . Ekkor zA(z(1+z))=F(z) , vagyis éppen a Fibonacci-számok generátorfüggvénye. A fenti képletből zA(z(1+z))=z+z2(1+z)+z3(1+z)2+z4(1+z)3+⋯. A zn+1 együtthatója a bal oldalon éppen Fn+1, vagyis az (n+1)-edik Fibonacciszám, míg a zn+1 jobb oldali együtthatója, a binomiális képlet alkalmazása után minden tagban ∑k≥0(n−kk). Innen Fn+1=∑k≥0(n−kk)=∑k=0⌊n+12⌋(n−kk).(1.12) Emlékeztetünk, hogy a binomiális képlet általánosítható tetszőleges valós r -re is, vagyis (1+z)r=∑n≥0(rn)zn, amely a binomiális együtthatók generátorfüggvénye. Itt (rn) a kombináció általánosítása valós r-re, vagyis A binomiális képlet fenti általánosításával (negatív r-re) egy, sok esetben hasznos képletet kapunk. Legyen 1(1−z)m=(1−z)−m=∑k≥0(−mk)(−z)k. Mivel egyszerű számítással igazolható, hogy (−mk)=(−1)k(m+k−1k), a következő képletet kapjuk: 1(1−z)m+1=∑k≥0(m+kk)zk. Ekkor zm(1−z)m+1=∑k≥0(m+kk)zm+k=∑k≥0(m+km)zm+k=∑k≥0(km)zk. Innen pedig ∑k≥0(km)zk=zm(1−z)m+1,(1.13) ahol m természetes szám. 1.2.2. Rekurzív egyenletek megoldása generátorfüggvényekkel Ha a megoldandó rekurzív egyenlet olyan, hogy a megoldás generátorfüggvénye sorba fejthető úgy, hogy az együtthatók zárt alakban felírhatók, akkor ez a módszer eredményre vezet. Legyen adott a következő rekurzív egyenlet: F(xn,xn−1,...,xn−k)=0.(1.14) A megoldáshoz tekintsük az X(z)=∑n≥0xnzn generátorfüggvényt. Ha (1.14) felírható G(X(z))=0 egyenletként, amelyet meg tudunk oldani X(z) -re, majd X(z) -t sorba lehet fejteni úgy, hogy xn zárt alakban felírható, akkor az (1.14) egyenletet sikerrel oldottuk meg. A következőkben általános módszert adunk az inhomogén lineáris egyenletek megoldására. Ezután három nemlineáris feladatra mutatunk példát. Két esetben bináris fák valamilyen halmazának az elemeit számoljuk meg, a harmadikban pedig a bináris fák leveleit. A három nemlineáris rekurzív egyenlet az (1.15), (1.17) és (1.18), amelyeket a generátorfüggvények segítségével oldunk meg. Állandó együtthatós inhomogén lineáris rekurzív egyenlet Szorozzuk be zn-nel az (1.8) egyenlet mindkét oldalát. Ekkor a0xnzn+a1xn+1zn+⋯+akxn+kzn=f(n)zn. Összegezzük tagonként a fenti egyenlet mindkét oldalát: a0∑n≥0xnzn+a1∑n≥0xn+1zn+⋯+ak∑n≥0xn+kzn=∑n≥0f(n)zn. Innen átalakításokkal kapjuk, hogy a0∑n≥0xnzn+a1z∑n≥0xn+1zn+1+⋯+akzk∑n≥0xn+kzn+k=∑n≥0f(n)zn. Legyen X(z)=∑n≥0xnzn és F(z)=∑n≥0f(n)zn. Ekkor az egyenletünk így alakul: a0X(z)+a1z(X(z)−x0)+⋯+akzk(X(z)−x0−x1z−⋯−xk−1zk−1)=F(z). Ezt az egyenletet meg lehet oldani X(z) -ben. Ha az X(z) kifejezésében a jobb oldal racionális tört, akkor fel lehet bontani elemi (parciális) törtekre, majd azokat sorba fejtve meghatározhatjuk az eredeti egyenlet xn általános megoldását, figyelembe véve a kezdeti feltételeket. Akkor is megpróbálkozhatunk sorba fejtéssel, ha a jobb oldal nem racionális függvény. 1.11. példa. Oldjuk meg a fenti módszerrel a következő egyenletet: xn+1−2xn=2n+1−2, ha n≥0 és x0=0. Beszorzás és összegezés után 1z∑n≥0xn+1zn+1−2∑n≥0xnzn=2∑n≥02nzn−2∑n≥0zn, innen pedig 1z(X(z)−x0)−2X(z)=21−2z+21−z. Mivel x0=0, az egyenlet megoldása a következő, miután a jobb oldalt elemi törtekre bontottuk: X(z)=2z(1−2z)2−21−z−21−2z. Az 11−2z=∑n≥02nzn generátorfüggvény tagonkénti deriválásával a következőt kapjuk: 2(1−2z)2=∑n≥1n2nzn−1. Ezért X(z)=∑n≥0n2nzn+2∑n≥0zn−2∑n≥02nzn=∑n≥0((n−2)2n+2)zn, ahonnan xn=(n−2)2n+2. Bináris fák száma Jelöljük bn-nel az n csúcsú bináris fák számát. Ekkor b1=1,b2=2,b3=5 (lásd az 1.2. ábrát). Legyen b0=1. (Később látni fogjuk, hogy ez jó választás.) 1.2. ábra. Kétés háromcsúcsú bináris fák. Ha rögzítjük egy n csúcsú bináris fa gyökerét, akkor még n−1 csúcs marad a bal és jobb részfában összesen. Ha k csúcs van a bal oldali, n−1−k pedig a jobb oldali részfában, akkor összesen bkbn−1−k ilyen bináris fa létezik. Összegezve k=0,1,...,n−1 értékekre, pontosan bn-t kapjuk. Tehát tetszőleges n≥1 természetes számra a bn-ben megoldandó rekurzív egyenlet a következő: bn=b0bn−1+b1bn−2+⋯+bn−1b0.(1.15) Ez még így is írható: bn=∑k=0n−1bkbn−1−k. A fenti rekurzív egyenlet mindkét oldalát zn-nel szorozva, majd n szerint összegezve, a következőt kapjuk: ∑n≥1bnzn=∑n≥1(∑k=0n−1bkbn−1−k)zn.(1.16) Legyen B(z)=∑n≥0bnzn a bn számok generátorfüggvénye. Az (1.16) összefüggés bal oldala éppen B(z)−1 (mivel b0=1). A jobb oldal nagyon hasonlít két generátorfüggvény szorzatához. Hogy észrevegyük, melyik két függvényről van szó, használjuk a következő jelölést: A(z)=zB(z)=∑n≥0bnzn+1=∑n≥1bn−1zn. Ekkor az (1.16) jobb oldala éppen A(z)B(z), ami egyenlő zB2(z) -vel. Innen B(z)−1=zB2(z),B(0)=1. Oldjuk meg ezt az egyenletet B(z) -re. Ekkor B(z)=1±21−4z2z. Mivel B(0)=1, csak a negatív jel megfelelő. Tehát B(z)=12z(1−21−4z)=12z(1−(1−4z)1/2)=12z(1−∑n≥0(1/2n)(−4z)n)=12z(1−∑n≥0(1/2n)(−1)n22nzn)=12z−(1/20)20z02z+(1/21)22z2z−⋯−(1/2n)(−1)n22nzn2z+⋯=(1/21)2−(1/22)23z+⋯−(1/2n)(−1)n22n−1zn−1+⋯=∑n≥0(1/2n+1)(−1)n22n+1zn=∑n≥01n+1(2nn)zn. Innen bn=1n+1(2nn). A bn számokat szokás még Catalan-számoknak is nevezni. Megjegyzés. Az utolsó átalakításnál felhasználtuk a következő, könnyen bizonyítható összefüggést: (1/2n+1)=(−1)n22n+1(n+1)(2nn). Levelek száma n csúcsú bináris fák halmazában Számítsuk ki az az összes n csúcsú bináris fa leveleinek (azaz első fokú csúcsainak) számát. Jelöljük ezt a számot fn-nel. Megjegyezzük, hogy a gyökeret akkor sem tekintjük levélnek, ha a fokszáma 1. Könnyű belátni, hogy f2=2,f3=6. Válasszuk az f0=0 és f1=1 értékeket, a későbbiekben majd meglátjuk, hogy ez helyes választás. Ahogy a bináris fák megszámolásánál, tekintsük most is az olyan n csúcsú bináris fákat, amelyeknek bal oldala k csúcsot, a jobb oldala pedig n−k−1 csúcsot tartalmaz. Bal oldalon bk ilyen részfa van, jobb oldalon pedig bn−1−k. Ha rögzítünk egy ilyen bal oldali részfát, akkor az összes jobb oldali részfát figyelembe véve, ott fn−1−k levél van. Könnyen belátható tehát, hogy adott k -ra bn−1−kfk+bkfn−1−k levél van. Ekkor, összegzés után fn=∑k=0n−1(fkbn−1−k+bkfn−1−k). Egyszerű számítással azt kapjuk, hogy fn=2(f0bn−1+f1bn−2+⋯+fn−1b0),n≥2.(1.17) Ez a megoldandó rekurzív egyenlet, amelynek megoldása fn . Legyen F(z)=∑n≥0fnzn és B(z)=∑n≥0bnzn. Az (1.17) összefüggés mindkét oldalát zn -nel szorozva, majd n szerint összeadva ∑n≥2fnzn=2∑n≥2(∑k=0n−1fkbn−1−k)zn. De, mivel f0=0 és f1=1 , F(z)−z=2zF(z)B(z). Innen F(z)=z1−2zB(z), de mivel B(z)=12z(1−21−4z), következik, hogy F(z)=z21−4z=z(1−4z)−1/2=z∑n≥0(−1/2n)(−4z)n. A számítások elvégzése után F(z)=∑n≥0(2nn)zn+1=∑n≥1(2n−2n−1)zn, innen pedig fn=(2n−2n−1) vagy fn+1=(2nn)=(n+1)bn. A kombináció általánosítása alapján f0 és f1 a konvenció alapján megadott értékekkel lesznek egyenlők. n csúcsú, k levelű bináris fák száma Egy kicsit nehezebb feladat: hány n csúcsú k levelű bináris fa létezik? Jelöljük ezek számát bn(k)-val. Könnyű belátni, hogy bn(k)=0, ha k>⌊(n+1)/2⌋. Egyszerű okoskodással ki lehet számítani a k=1 esetet. Ekkor bn(1)=2n−1 tetszőleges n≥1 természetes számra. Legyen b0(0)=1, amelynek helyessége később igazolódik. Akárcsak az előző feladatoknál, itt is a bal és jobb oldali részfákat vizsgáljuk meg. Ha a bal oldali részfában i csúcs és j levél van, akkor a jobb oldaliban n−i−1 csúcs és k−j levél van. A bi(j)bn−i−1(k−j) szorzat éppen ezeknek a fáknak a száma. Összegezve k és j szerint, a következő rekurzív képletet kapjuk: bn(k)=2bn−1(k)+∑i=1n−2∑j=1k−1bi(j)bn−i−1(k−j).(1.18) Ennek a rekurzív egyenletnek a megoldására használjuk a következő generátorfüggvényt: B(k)(z)=∑n≥0bn(k)zn, ahol k≥1. Az (1.18) egyenlet mindkét oldalát zn-nel megszorozva, majd összeadva az n=0,1,2,... értékekre, a következőt kapjuk: ∑n≥1bn(k)zn=2∑n≥1bn−1(k)zn+∑n≥1(∑i=1n−2∑j=1k−1bi(j)bn−i−1(k−j))zn. Az összegezés sorrendjét felcserélve ∑n≥1bn(k)zn=2∑n≥1bn−1(k)zn+∑j=1k−1∑n≥1(∑i=1n−2bi(j)bn−i−1(k−j))zn. Innen B(k)(z)=2zB(k)(z)+z(∑j=1k−1B(j)(z)B(k−j)(z)) vagy B(k)(z)=z1−2z(∑j=1k−1B(j)(z)B(k−j)(z)).(1.19) Lépésről lépésre haladva, felírhatjuk a következőket. B(2)(z)=z1−2z(B(1)(z))2,B(3)(z)=2z2(1−2z)2(B(1)(z))3,B(4)(z)=5z3(1−2z)3(B(1)(z))4. Az általános megoldást megpróbáljuk a következő alakban keresni: B(k)(z)=ckzk−1(1−2z)k−1(B(1)(z))k, ahol, amint láttuk, c2=1,c3=2,c4=5. Az (1.19) képletbe behelyettesítve, a ck számokra egy rekurzív összefüggést kapunk: ck=∑i=1k−1cick−i. Ezt szintén a generátorfüggvények segítségével oldjuk meg. Ha k=2, akkor c2=c1c1, és innen c1=1. Legyen c0=1. Ha C(z)=∑n≥0cnzn a cn számok generátorfüggvénye, akkor – figyelembe véve a generátorfüggvények szorzási képletét – C(z)−1−z=(C(z)−1)2 vagy C2(z)−3C(z)+z+2=0, amelyet C(z) -re nézve megoldunk, és a C(z)=3−21−4z2 képletet kapjuk, mivel C(0)=1 miatt csak a negatív előjel jó. Sorba fejtés után C(z)=32−12(1−4z)1/2=32−12∑n≥0−12n−1(2nn)zn=32+∑n≥012(2n−1)(2nn)zn=1+∑n≥112(2n−1)(2nn)zn. Innen cn=12(2n−1)(2nn),n≥1. Mivel bn(1)=2n−1, ha n≥1, könnyen ellenőrizhető, hogy B(1)=z/(1−2z). Tehát B(k)(z)=12(2k−1)(2kk)z2k−1(1−2z)2k−1. Mivel azonban 1(1−z)m=∑n≥0(n+m−1n)zn, a következő eredményhez jutunk: B(k)(z)=12(2k−1)(2kk)∑n≥0(2k+n−2n)2nz2k+n−1=12(2k−1)(2kk)∑n≥2k−1(n−1n−2k+1)2n−2k+1zn. Innen pedig bn(k)=12k−1(2kk)(n−12k−2)2n−2k vagy bn(k)=1n(2kk)(n2k−1)2n−2k. 1.2.3. A Z transzformáció módszere Ha generátorfüggvényekkel oldunk meg egy inhomogén lineáris rekurzív egyenletet, akkor a gyakorlatban többnyire egy racionális törtfüggvény sorba fejtése adja meg a megoldást. A Z-transzformáció módszerével ezt a sorba fejtést könnyebben elvégezhetjük. Legyen a racionális törtfüggvény P(z)/Q(z), ahol P(z) kisebb fokszámú, mint Q(z). Ha ismerjük a nevező gyökeit, a törtfüggvényt elemi (vagy parciális) törtfüggvények összegére bonthatjuk a határozatlan együtthatók módszerével. Nézzük meg először azt az esetet, amikor a nevezőnek csak egyszeres (azaz egymástól különböző) gyökei vannak, és legyenek ezek α1,α2,...,αk. Ekkor felírhatjuk, hogy P(z)Q(z)=A1z−α1+⋯+Aiz−αi+⋯+Akz−αk. Könnyen belátható, hogy Ai=limz→αi(z−αi)P(z)Q(z),i=1,2,...,k. Másfelől Aiz−αi=Ai−αi(1−1αiz)=−Aiβi1−βiz, ahol βi=1/αi. Ha most ezt az elemi törtet sorba fejtjük, akkor a következőt kapjuk: −Aiβi1−βiz=−Aiβi(1+βiz+⋯+βinzn+⋯). Innen a zn együtthatója −Aiβin+1, és jelöljük ezt Ci(n) -nel. Ekkor Ci(n)=−Aiβin+1=−βin+1limz→αi(z−αi)P(z)Q(z), vagy Ci(n)=−βin+1limz→αi(z−αi)P(z)Q(z). Ha most elvégezzük a z→1/z átalakítást, és figyelembe vesszük, hogy βi=1/αi, akkor Ci(n)=limz→βi((z−βi)zn−1p(z)q(z)), ahol p(z)q(z)=P(1/z)Q(1/z). Ekkor az X(z)=P(z)Q(z) kifejtésében a zn együtthatója éppen C1(n)+C2(n)+⋯+Ck(n). Könnyen belátható, hogy ha α gyöke a Q(z) polinomnak, akkor β=1/α gyöke a q(z) polinomnak. Például, ha P(z)Q(z)=2zz(1−z)(1−2z), akkor p(z)q(z)=2(z−1)(z−2). Amennyiben egy gyök többszörös, például βi p -szeres, akkor a neki megfelelő részeredmény Ci(n)=1(p−1)!limz→βidp−1dzp−1((z−βi)pzn−1p(z)q(z)). Itt dpdzpf(z) az f(z) függvény p-edrendű deriváltját jelenti. Az eddigiek a következő algoritmusban összegezhetők. Feltesszük, hogy az egyenlet együtthatóit az A, a megoldás állandóit pedig a C tömb tartalmazza. A módszer neve onnan ered, hogy ha egy generátorfüggvényben z helyébe 1/z-t helyettesítünk, akkor megkapjuk a Z-transzformáltját, amelyre hasonló műveletek léteznek, mint a generátorfüggvényekre, és amelyre alkalmazva a reziduum-tételt, a fenti eredményhez jutunk. 1.12. példa. Oldjuk meg az xn+1−2xn=2n+1−2, ha n≥0,x0=0 rekurzív egyenletet. zn -nel beszorozva és összegezve ∑n≥0xn+1zn−2∑n≥0xnzn=∑n≥02n+1zn−∑n≥02zn, azaz 1zX(z)−2X(z)=21−2z−21−z, ahol X(z)=∑n≥0xnzn. Innen X(z)=2z2(1−z)(1−2z)2. A z→1/z helyettesítést elvégezve p(z)q(z)=2z(z−1)(z−2)2, ahol a nevező gyökei: 1 egyszeres, 2 kétszeres gyök. Ezért C1=limz→12zn(z−2)2=2 és C2=limz→2ddz(2znz−1)=2limz→2nzn−1(z−1)−zn(z−1)2=2n(n−2). Az általános megoldás tehát xn=2n(n−2)+2,n≥0. 1.13. példa. Oldjuk meg az xn+2=2xn+1−2xn, ha n≥0,x0=0,x1=1 rekurzív egyenletet. zn -nel beszorozva és összegezve 1z2∑n≥0xn+2zn+2=2z∑n≥0xn+1zn+1−2∑n≥0xnzn, innen 1z2(F(z)−z)=2zF(z)−2F(z), azaz F(z)(1z2−2z+2)=−1z. Ekkor F(1/z)=−zz2−2z+2. A nevező gyökei 1+i és 1−i. Kiszámítjuk C1(n)-t és C2(n)-t: C1(n)=limz→1+i−zn+1z−(1−i)=i(1+i)n2 és C2(n)=limz→1−i−zn+1z−(1+i)=−i(1−i)n2. Mivel 1+i=22(cosπ4+isinπ4),1−i=22(cosπ4−isinπ4), hatványozás után (1+i)n=(22)n(cosnπ4+isinnπ4),(1−i)n=(22)n(cosnπ4−isinnπ4),xn=C1(n)+C2(n)=(22)nsinnπ4. Gyakorlatok 1.2–1. Számítsuk ki, hány olyan n csúcsú bináris fa van, amelynek sem a bal, sem pedig a jobb oldali részfája nem üres. 1.2–2. Számítsuk ki, hány olyan n csúcsú bináris fa van, amelyben minden levéltől különböző csúcsnak pontosan két gyereke van. 1.2–3. Oldjuk meg generátorfüggvény segítségével az alábbi rekurzív egyenletet. Hn=2Hn−1+1,H0=0. ( Hn itt a Hanoi-tornyai nevű feladat lépésszámát jelenti.) 1.2–4. Oldjuk meg Z-transzformáció segítségével az alábbi rekurzív egyenletet: Fn+2=Fn+1+Fn+1, ha n≥0, és F0=0,F1=1. 1.2–5. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert: un=vn−1+un−2,vn=un+un−1, ahol u0=1,u1=2,v0=1. 1.3. Numerikus megoldás Leírunk egy függvényeljárást, amellyel lineáris rekurzív egyenleteket oldhatunk meg numerikusan. Az egyenletet a szokásos módon, a következő formában adjuk meg: a0xn+a1xn+1+⋯+akxn+k=f(n), ahol a0,ak≠0,k≥1. Az a0,a1,...,ak együtthatókat az A, míg az x0,x1,...,xk−1 kezdőértékeket az X vektor tartalmazza. Hogy kiszámítsuk xn értékét, sorra kiszámítjuk az xk,xk+1,...,xn értékeket, minden alkalommal az X vektor első k elemében (azaz a 0,1,...,k−1 indexű elemekben) őrizve meg a sorozat előző k értékét. A 2–5. sorokban kiszámítjuk a következő xj(j=k,k+1,...,n) értékét (az előző k érték felhasználásával), ezt az értéket az algoritmusban v jelöli. A 7–9. sorokban, amennyiben még nem értük el az n-et, átmásoljuk az utolsó k értéket az X vektor első k elemébe. A 10. sor visszaadja az xn értékét. Könnyen belátható, hogy az algoritmus futási ideje Θ(kn), ha eltekintünk a függvény értékeinek kiszámításához szükséges időtől. Gyakorlatok 1.3–1. Hány összeadást, kivonást, szorzást, osztást és értékadást végez a REKURZÍV algoritmus, ha az 1.4. példában szereplő adatokkal kiszámítja x1000 értékét? Feladatok 1-1. Homogén egyenlet megoldhatósága generátorfüggvénnyel Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges homogén lineáris rekurzív egyenlet generátorfüggvénnyel való megoldáskor csak akkor fordulhat elő olyan eset, hogy nem tudjuk alkalmazni a megadott módszert amiatt, hogy az X(z)=0 egyenlethez jutunk, ha az egyenlet megoldása xn=0 minden n-re. 1-2. Komplex gyökök Z-transzformáláskor Vizsgáljuk meg, mi történik, ha a Z-transzformáció módszere alkalmazásakor a nevező gyökei komplex számok. A rekurzív egyenlet megoldásának mindig valósnak kell lennie. Biztosítja-e ezt a módszer? Megjegyzések a fejezethez Elaydi [119], Flajolet és Sedgewick [425], Greene és Knuth [176], valamint Mickens [332] könyve részletesen tárgyalja a rekurzív egyenletek megoldását. Vannak a generátorfüggvényekkel foglalkozó, magyar nyelvű könyvek is – például Knuth [259], valamint Graham, Knuth és Patashnik [171]. Vilenkin műve [483] egyszerű módon tárgyal sok-sok feladatot – a könyv utolsó két fejezete rekurzív egyenletekkel és generátorfüggvényekkel foglalkozik. Lovász [301] kombinatorikai problémákat és feladatokat tartalmazó könyvében is vannak generátorfüggvényekre vonatkozó feladatok. Generátorfüggvényekkel kapcsolatban érdemes elolvasni Hajnal Péter [192], Katona Y. Gyula, Recski András és Szabó Csaba [250], valamint Szalkai István [448] könyvét is. A bináris fák megszámolása Knuth [259] könyvéből, az összes bináris fa leveleinek megszámolása, valamint az n csúcsú k levelű bináris fák megszámolása Kása Zoltán [248] könyvéből valók. 2. Komputeralgebra (Járai Antal és Kovács Attila) A különféle matematikai számítások elvégzésére képes informatikai eszközök nélkülözhetetlenek a modern tudományban és ipari technológiában. Képesek vagyunk kiszámolni bolygók, csillagok pályáját, vezérelni atomerőműveket, egyenletekkel leírni, modellezni a természet számos törvényét. Ezek a számítások alapvetően kétfélék lehetnek: numerikusak és szimbolikusak . Ámbár a numerikus számítások nemcsak elemi aritmetikai műveleteket foglalnak magukban, hanem olyan műveleteket is, mint matematikai függvények numerikus értékének, polinomok gyökeinek vagy mátrixok sajátértékének meghatározása, ezek a műveletek alapvetően számokon értelmezettek, és ezek a számok a legtöbb esetben nem pontosak, pontosságuk az adott számítógépes architektúra lebegőpontos ábrázolási módjától függ. A szimbolikus számításokat matematikai vagy informatikai objektumokat jelentő szimbólumokon értelmezzük. Ezek az objektumok lehetnek számok (egészek, racionális számok, valós és komplex számok, algebrai számok), de lehetnek polinomok, racionális és trigonometrikus függvények, egyenletek, egyenletrendszerek, algebrai struktúrák elemei, vagy éppen halmazok, listák, táblázatok. A szimbolikus számítások elvégzésére alkalmas számítógépes rendszereket (amelyek legtöbbször numerikus számításokra és az eredmények grafikus megjelenítésére egyaránt képesek) komputeralgebra-rendszereknek vagy szimbolikusalgebrai rendszereknek nevezzük. Az,,algebra” szó a szimbolikus objektumokkal végzett műveletek algebrai eredetére utal. A komputeralgebra-rendszerek mint számítógépes programok alapfeladata: (1) matematikai objektumok szimbolikus ábrázolása, (2) aritmetika ezekkel az objektumokkal.A komputeralgebra, mint tudományterület feladata pedig erre az aritmetikára épülő hatékony algoritmusok keresése, elemzése és megvalósítása tudományos kutatásokhoz és alkalmazásokhoz. Mivel a komputeralgebra-rendszerek szimbolikusan, (lényegében) tetszőleges pontossággal és hibamentesen képesek számolni, először tisztázni kell, milyen adatszerkezeteket lehet hozzárendelni a különféle objektumokhoz. A 2.1. alfejezet a matematikai objektumok ábrázolásának problémakörét taglalja. A továbbiakban a szimbolikus algoritmusok közül ismertetjük azokat, melyek az idők folyamán a mindennapi tudomány és technika elengedhetetlen részévé váltak. A természettudományok többsége jelenségeit, gondolatait matematikai egyenletekkel írja le. A lineáris egyenletek, egyenletrendszerek szimbolikus megoldásainak vizsgálata a jól ismert eliminációs módszereken alapul. A nemlineáris egyenletrendszerek megoldásainak megkeresésére először megvizsgáljuk az euklideszi algoritmus különféle változatait és a rezultánsmódszert. A hatvanas évek közepén Buchberger doktori dolgozatában egy hatékony módszert dolgozott ki többváltozós polinomegyenletek szimbolikus megoldásainak meghatározására, amit ma Gröbner-bázis elmélet néven ismerünk. Buchberger munkájára csak évekkel később kezdtek felfigyelni, azóta a terület a komputeralgebra egyik legnépszerűbb ága. Ezekről lesz szó a 2.2. és a 2.3. alfejezetekben. A következő bemutatandó terület a szimbolikus integrálás. Habár a probléma formális természete már több, mint 100 éve ismert (Liouville-elmélet), csak 1969-ben tudott Risch hatékony algoritmust adni annak eldöntésére, hogy ha adott egy valós elemi f függvény, akkor az ∫f(x)dx integrál is elemi-e és ha igen, az algoritmus meg is adja az integrál értékét. A módszerrel a 2.4. alfejezetben foglalkozunk. A fejezet végén áttekintjük a szimbolikus algoritmusok elméleti és gyakorlati vonatkozásait (2.5. alfejezet), külön részt szánva napjaink komputeralgebrarendszereinek. 2.1. Adatábrázolás A komputeralgebrában a legkülönfélébb matematikai objektumok fordulnak elő. Ahhoz, hogy ezekkel az objektumokkal számolni lehessen, ábrázolni és tárolni kell őket a számítógép memóriájában. Ez elméleti és gyakorlati problémák egész sorát veti fel. Ebben az alfejezetben ezekről a kérdésekről lesz szó. Tekintsük az egészeket. Egyrészt matematikai tanulmányainkból tudjuk, hogy halmazuk megszámlálható számosságú, viszont informatikai szemszögből azzal is tisztában vagyunk, hogy számítógépünk csak véges sok egész tárolására képes. Az, hogy mekkora a legnagyobb egész, amit minden további erőfeszítés nélkül ábrázolni tudunk, attól függ, hogy számítógépes architektúránkban mekkora a gépi szó mérete. Ez tipikusan 16,32,48 vagy 64 bit. Az egy gépi szóban ábrázolható egészeket egyszeres pontosságú egészeknek nevezzük. Nem biztos, hogy egy tetszőleges egész szám elfér egy gépi szóban, vagyis olyan adatstruktúrára van szükség, ami több gépi szó felhasználásával tetszőlegesen nagy egész ábrázolására képes. Természetesen a,,tetszőlegesen nagy” nem jelent,,végtelen nagyot”, hiszen valamilyen tervezési igény vagy a memória mérete mindenképpen korlátot szab. Emellett olyan adatábrázolást kell megvalósítani, amelyre hatékony műveletek építhetők. Az egészek reprezentációjának alapvetően két útja van: helyiértékes (a hagyományos decimális számrendszerbeli ábrázolás általánosítása), amelyben egy n egészet ∑i=0k−1diBi alakban írunk fel, ahol a B alapszám akármilyen, egynél nagyobb egész lehet. A hatékonyság növelése miatt B -t úgy érdemes választani, hogy B−1 beleférjen egy gépi szóba. A di jegyek (0≤i≤k−1) vagy a kanonikus {0≤di≤B−1} vagy a szimmetrikus {−⌊B/2⌋<di≤⌊B/2⌋} jegyhalmazból való egyszeres pontosságú egészek. Az így leírható többszörös pontosságú egészek lineáris listás [d0,d1,...,dk−1] ábrázolásának számítógépes megvalósítása történhet dinamikusan vagy statikusan, attól függően, hogy a lineáris listát láncolt listaként vagy tömbként implementáljuk. moduláris, amelyben az n egész megfelelő számú, egyszeres pontosságú, páronként relatív prím modulusokkal vett moduláris képeinek lineáris listájaként adható meg. A moduláris képekből n a kínai maradéktétel segítségével rekonstruálható. A moduláris alak gyorsabb az összeadás, kivonás és szorzás műveleteket tekintve, de lényegesen lassabb például oszthatósági vizsgálatoknál (amelyek sok esetben elkerülhetetlenek). Nyilvánvaló, hogy az adatstruktúra megválasztása erősen befolyásolja algoritmusaink sebességét. 2.1. példa. Az alábbi példában az egyszerűség kedvéért természetes számokkal dolgozunk. Tegyük fel, hogy olyan számítógép architektúránk van, ahol a gépi szó 32 bites, vagyis számítógépünk az I1=[0,232−1]=[0,4294967295] intervallum egészeivel képes egész aritmetikát végezni. Erre az aritmetikára építve az architektúránkon valósítsunk meg olyan egész aritmetikát, amellyel az I2=[0,1050] intervallumban is számolni tudunk. A helyiértékes ábrázoláshoz legyen B=104, továbbá n1=123456789098765432101234567890,n2=2110. Ekkor n1=[7890,3456,1012,5432,9876,7890,3456,12],n2=[2110],n1+n2=[0,3457,1012,5432,9876,7890,3456,12],n1*n2=[7900,3824,6049,1733,9506,9983,3824,6049,2], ahol az összeadást és a szorzást helyiértékesen számoltuk. A moduláris ábrázoláshoz válasszunk páronként relatív prím számokat az I1 intervallumból úgy, hogy szorzatuk nagyobb legyen 1050-nél. Legyenek például m1=4294967291,m2=4294967279,m3=4294967231 és m4=4294967197,m5=4294967189,m6=4294967161 prímek, ahol ∏i=16mi>1050. Egy I2 intervallumbeli egészet tehát az I1 intervallumból vett számhatossal ábrázolunk. Ekkor n1≡2009436698(mod m1),n1≡961831343(mod m2),n1≡4253639097(mod m3),n1≡1549708(mod m4),n1≡2459482973(mod m5),n1≡3373507250(mod m6), valamint n2≡2110(mboxmodmi),(1≤i≤6), vagyis n1+n2=[2009438808,961833453,4253641207,1551818,2459485083,3373509360],n1*n2=[778716563,2239578042,2991949111,3269883880,1188708718,1339711723], ahol az összeadás és a szorzás koordinátánként modulárisan elvégezve értendő. Általánosabban, a matematikai objektumok ábrázolásának három absztrakciós szintjét érdemes megkülönböztetni: 1. Az objektumok szintje. Ezen a szinten az objektumok formális matematikai objektumoknak tekinthetők. Például 2+2,3*3−5 és 4 ugyanazt az objektumot jelölik. Hasonlóan, az (x+1)2(x−1) és x3+x2−x−1 polinomok az objektumok szintjén azonosnak tekinthetők.2. A forma szintje. Itt már megkülönböztetjük az objektumok eltérő ábrázolásait. Például az (x+1)2(x−1) és x3+x2−x−1 polinomok ugyanannak a polinomnak különböző reprezentációi, hiszen az előbbi egy szorzat, utóbbi egy összeg. 3. Az adatstruktúra szintje. Itt a számítógép memóriájában eltérő ábrázolásokat tekintjük különbözőknek. Az x3+x2−x−1 polinomnak ezen a szinten többféle reprezentációja is lehet, a polinomot leírhatja például egy együtthatókból álló tömb: [−1,−1,1,1], egy láncolt lista: [−1,0]→[−1,1]→[1,2]→[1,3]. A különböző matematikai objektumok számítógépes ábrázolásához a komputeralgebrarendszerek tervezőinek dönteniük kell mind a forma, mind az adatstruktúra szintjén. A döntést olyan kérdések nehezítik, mint a reprezentáció memóriaigénye, olvashatósága, vagy az ábrázolás számítási ideje. Például az f(x)=(x−1)2(x+1)3(2x+3)4=16x9−80x8+88x7+160x6−359x5+x4+390x3−162x2−135x+81 polinom szorzat alakja kifejezőbb, mint az összeg alakja, de utóbbi előnyösebb, ha mondjuk az x5 -es tag együtthatójára vagyunk kíváncsiak. A forma szintjére vonatkozó döntési nehézségeket szemlélteti az alábbi példa: x1000−1 és (x−1)(x999+x998+⋯+x+1), (x+1)1000 és x1000+1000x999+⋯+1000x+1. A matematikai objektumok minden igényt kielégítő ábrázolására tökéletes módszert nem ismerünk. A gyakorlatban az objektumoknak különböző reprezentációi is megengedettek. Ez azt a problémát veti fel, hogy ugyanazon objektum eltérő ábrázolása esetén meg kell tudnunk állapítani azok egyenlőségét, konvertálni kell tudnunk egyik alakból a másikba és az egyértelmű ábrázoláshoz egyszerűsítéseket kell tudnunk azokon végrehajtani. A forma szintjén például minden egész számot felírhatunk valamely B alapú számrendszerben, míg az adatstruktúra szintjén a forma szintjén kapott lineáris listát láncolt listaként vagy tömbként reprezentálhatjuk. A racionális számok egészek párjaiból, a számlálóból és a nevezőből állnak. Memória takarékosság érdekében, valamint két racionális szám könnyű összehasonlíthatósága miatt célszerű a számláló és a nevező legnagyobb közös osztójával egyszerűsített alakot ábrázolni. Mivel az egészek euklideszi gyűrűt alkotnak, a legnagyobb közös osztó euklideszi algoritmussal gyorsan számolható. Az ábrázolás egyértelműségéhez a nevezőt érdemes pozitívnak választani, a racionális szám előjele így a számláló előjele lesz. A többváltozós polinomok (az R[x1,x2,...,xn]n -változós polinomgyűrű elemei, ahol R gyűrű) a1xe1+a2xe2+⋯+anxen alakúak, ahol ai∈R\{0},ei=(ei1,...,ein) és xei -t írtunk x1ei1x2ei2...xnein helyett. A forma szintjén az alábbi reprezentációs lehetőségek adódnak. 1. Kiterjesztett vagy faktorizált ábrázolás, ahol a polinom összegként vagy szorzatként jelenik meg: x2y−x2+y−1, (x2+1)(y−1). 2. Rekurzív vagy disztributív ábrázolás (csak többváltozós esetben). Például kétváltozós polinomgyűrűben f(x,y) tekinthető R[x,y] -belinek, (R[x])[y] belinek vagy (R[y])[x] -belinek: x2y2+x2+xy2−1, (x2+x)y2+x2−1, (y2+1)x2+y2x−1. Az adatstruktúra szintjén ritka vagy teljes reprezentáció lehetséges, például a ritka x4−1 polinom teljes ábrázolása x4+0x3+0x2+0x−1. A gyakorlatban a többváltozós polinomok ritka ábrázolása a célravezető. A ∑i=0∞aixi alakú hatványsorok legegyszerűbb ábrázolása az, ha valamilyen véges rendig adjuk csak meg az együtthatók sorozatát, így lényegében egyváltozós polinomoknak tekintjük őket. Ezzel a megközelítéssel az a probléma, hogy különböző hatványsorokhoz tartozhat ugyanaz a reprezentáció. Ezt elkerülendő, a hatványsort az együtthatói sorozatát generáló függvénnyel szokás leírni. A generáló függvény egy olyan kiszámítható f függvény, amire f(i)=ai. A hatványsorokkal végzett műveletekhez ekkor elegendő azt ismerni, hogy hogyan kell az operandusok együtthatóiból előállítani a művelet eredményét reprezentáló sorozat együtthatóit. Például az f és g hatványsorok szorzatát jelölő h hatványsor együtthatóit a hi=∑k=0ifkgi−k függvény segítségével származtathatjuk. Ekkor a hi együtthatókat csak akkor kell ténylegesen kiszámolni, ha szükség van az értékükre. Ezt a komputeralgebrában is gyakran használt technikát késleltetett kiértékelésnek nevezzük. Mivel a komputeralgebra-rendszerek szimbolikusan számolnak, az algoritmusok műveletigényének vizsgálatán kívül mindig szükség van memóriaigényük vizsgálatára is, hiszen a memóriaigény befolyásolja a tényleges futási időt. (A futási időt mi a RAM-modellnek megfelelően műveletszámban mérjük. Ha Turing-gép modellt és konstans hosszú gépi szavakat használnánk, akkor ilyen probléma nem merülne fel, mert a tár mindig alsó korlátja az időnek.) Tekintsünk egyszerű példaként egy n ismeretlenes, n egyenletből álló lineáris egyenletrendszert, ahol minden egyes egész együttható elfér a számítógép ω hosszúságú rekeszében. Kizárólag egész aritmetikát és Gauss-eliminációt alkalmazva a redukció eredményeként kapott együtthatók egyenként 2n−1ω tárhelyet igényelhetnek. Ha az együtthatók polinomok lennének és polinomaritmetikát használnánk, az eredmény polinomok együtthatóinak mérete, csakúgy mint a fokszámuk, exponenciális növekedést mutatna. A megfigyelt exponenciális növekedés ellenére a kapott végeredmény mégis,,normális” méretű, hiszen a Cramer-szabály miatt a megoldások determinánsok hányadosaiként is megkaphatók, amelyek pedig közelítőleg csak nω tárhelyet igényelnek. Ezt a jelenséget nevezzük köztes számítási tárrobbanásnak. Előfordulása gyakori a komputeralgebra algoritmusokban. 2.2. példa. Egész aritmetikát használva oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszert. 37x+22y+22z=1,31x−14y−25z=97,−11x+13y+15z=−86. Először a második egyenlet x változóját elimináljuk. Szorozzuk meg az első sort 31gyel, a másodikat −37 -tel és adjuk össze őket. Ha ezt a módszert alkalmazzuk a harmadik egyenlet x változójának eliminációjára, az eredmény az alábbi lesz: 37x+22y+22z=1,1200y+1607z=−3558,723y+797z=−3171. Most y eliminálásához a második sort 723-mal, a harmadikat −1200 -zal szorozzuk, majd összeadjuk őket. Az eredmény: 37x+22y+22z=1,1200y+1607z=−3558,205461z=1232766. Tovább folytatva az eljárást és sorban eliminálva a változókat végül azt kapjuk, hogy 1874311479932400x=5622934439797200,246553200y=−2712085200,205461z=1232766. Egyszerűsítés után x=3,y=−11,z=6 adódik. Természetesen, ha a számítások közben a legnagyobb közös osztókkal egyszerűsítünk, az együtthatók nagysága kevésbé drasztikusan nő. A számítási tárrobbanás elkerülésére moduláris módszerek használatosak: ahelyett, hogy a számításainkat az R struktúra (pl. euklideszi gyűrű) egészeivel végeznénk, valamely faktorstruktúrában dolgozunk, majd az eredményt,,visszatranszformáljuk” R -be (2.1. ábra). A moduláris redukció és a moduláris számítások általában hatékonyan elvégezhetők, a rekonstrukciós lépés pedig valamilyen interpolációs stratégiával történhet. 2.1. ábra. A moduláris algoritmusok általános sémája. Megjegyezzük, hogy a moduláris algoritmusok nagyon gyakoriak a komputeralgebrában, de nem univerzálisak. 2.2. Polinomok közös gyökei Legyen R egy integritási tartomány, továbbá legyenek f(x)=f0+f1x+⋯+fm−1xm−1+fmxm∈R[x],fm≠0,(2.1)g(x)=g0+g1x+⋯+gn−1xn−1+gnxn∈R[x],gn≠0(2.2) tetszőleges polinomok, n,m∈N,n+m>0. Állapítsuk meg, hogy mi annak a szükséges és elégséges feltétele, hogy a két polinomnak legyen közös gyöke R -ben. 2.2.1. Klasszikus és bővített euklideszi algoritmus Ha T test, akkor T[x] euklideszi gyűrű. Emlékeztetőül, az R integritási tartományt euklideszi gyűrűnek nevezzük a φ:R\{0}→N euklideszi függvénnyel, ha bármely a,b∈R(b≠0) esetén létezik olyan q,r∈R, hogy a=qb+r, ahol r=0 vagy φ(r)<φ(b), továbbá minden a,b∈R\{0} esetén φ(ab)≥φ(a). A q=a quo b elemet hányadosnak, az r=a rem b elemet maradéknak nevezzük. Ha egy R euklideszi gyűrűben dolgozunk, azt szeretnénk, ha a legnagyobb közös osztó egyértelműen meghatározható lenne. Ehhez az R gyűrű egységszorzók által meghatározott ekvivalencia-osztályainak mindegyikéből egyetlen elem kiválasztása szükséges. (Például az egészek {0},{−1,1},{−2,2},... osztályaiból mindig a nemnegatívat választjuk.) Így minden a∈R egyértelműen írható fel a= unit (a)⋅ normal (a) alakban, ahol normal (a) -t az a elem normálalakjának nevezzük. Tekintsünk egy T test feletti R=T[x] euklideszi gyűrűt. Ekkor az a∈R elem normálalakja legyen a megfelelő normált főpolinom, vagyis normal (a)=a/lc (a) , ahol lc (a) jelenti az a polinom főegyütthatóját. Foglaljuk össze a lényegesebb eseteket: ha R=Z, akkor unit (a)= sgn (a)(a≠0) és φ(a)= normal (a)=|a|, ha R=T[x] ( T test), akkor unit (a)= lc (a) (az a polinom főegyütthatója a unit (0)=1 megállapodással), normal (a)=a/lc (a) és φ(a)=dega. Az alábbi algoritmus tetszőleges euklideszi gyűrűben kiszámítja két elem legnagyobb közös osztóját. Megjegyezzük, hogy a világ egyik legősibb algoritmusáról van szó, amit Euklidész már i.e. 300 körül ismert. Az egészek gyűrűjében a 4. sor maradék képzése c−⌊c/d⌋ -t jelenti. Ha R=T[x], ahol T test, akkor a 4. sor maradék képzése az EGYHATÁROZATLANÚPOLINOMOK-MARADÉKOS-OSZTÁSA (c,d) algoritmussal számolható, melynek elemzését az 2.2-1. gyakorlatra hagyjuk. A 2.2. ábra a KLASSZIKUS-EUKLIDESZ működését mutatja Z -ben és Q[x] -ben. Megjegyezzük, hogy Z -ben a program a while ciklusba mindig nemnegatív számokkal lép be, a maradék képzés mindig nemnegatív számot eredményez, így a 7. sorban a normalizálás felesleges. A KLASSZIKUS-EUKLIDESZ algoritmus futási idejének vizsgálata előttannak egy bővített változatával foglalkozunk. iteráció rcd– – 18 30 1 18 30 18 2 12 18 12 3 6 12 6 4 0 6 0 (a) KLASSZIKUS-EUKLIDESZ(-18,30) működése. iteráció rcd– – x4−173x3+133x2−233x+143x3−203x2+7x−21 4x2−383x+203x3−203x2+7x−24x2−383x+2032 −234x+2364x2−383x+203−234x+2363 0 −234x+2360 (b) KLASSZIKUS-EUKLIDESZ (12x4−68x3+52x2−92x+56,−12x3+80x2−84x+24) működése. 2.2. ábra. A KLASSZIKUS-EUKLIDESZ algoritmus működésének bemutatása Z -ben és Q[x] -ben. Az (a) esetben a bemenő adatok a=−18,b=30,a,b∈Z. A pszeudokód első két sora a bemenő számok abszolút értékét számolja ki. A harmadik sortól az hatodik sorig tartó ciklus négyszer fut le, a különböző iterációkban számolt r,c és d értékeket mutatja a táblázat. A KLASSZIKUS-EUKLIDESZ(-18,30) algoritmus eredményül a 6-ot szolgáltatja. A (b) esetben a bemenő paraméterek a=12x4−68x3+52x2−92x+56,b=−12x3+80x2−84x+24∈Q[x]. A program első két sora a polinomok normálalakját eredményezi, majd a while ciklus háromszor fut le. Az algoritmus kimenete a normal (c)=x−2/3 polinom. Ismert, hogy az R euklideszi gyűrűben az a,b∈R elemek legnagyobb közös osztója alkalmas u,v∈R elemekkel kifejezhető lnko (a,b)=au+bv alakban. De nem csak egy ilyen számpár létezik. Ha ugyanis u0,v0 megfelelők, akkor u1=u0+bt és v1=v0−at is azok minden t∈R esetén: au1+bv1=a(u0+bt)+b(v0−at)=au0+bv0= lnko (a,b). A KLASSZIKUS-EUKLIDESZ algoritmust úgy egészítettük ki, hogy eredményül ne csak a legnagyobb közös osztót szolgáltassa, hanem az iméntieknek megfelelően egy konkrét u,v∈R számpárt is megadjon. Legyen a,b∈R , ahol R euklideszi gyűrű a φ euklideszi függvénnyel. A BŐVÍTETT-EUKLIDESZ pszeudokód első két sora kezdeti értékadásainak megfelelően az r0=u0a+v0b és r1=u1a+v1b(2.3) egyenletek nyilván teljesülnek. Megmutatjuk, hogy a (2.3) egyenlőségek a pszeudokód while ciklusának transzformációira invariánsak. Tegyük fel, hogy a ciklus valamely iterációjának végrehajtása előtt a (2.3) feltételek teljesülnek. Ekkor a pszeudokód 4–5. sora szerint r=r0−qr1=u0a+v0b−q(au1+bv1)=a(u0−qu1)+b(v0−qv1), amiből a 6–7. sorok miatt r=a(u0−qu1)+b(v0−qv1)=au+bv. A 8–9. sorok olyan értékadásokat jelentenek, melyben u0,v0 felveszi u1 és v1, majd u1,v1 felveszi u és v értékeit, továbbá r0,r1 felveszi r1 és r értékét. Ezért (2.3) egyenlőségei a while ciklus kiértékelése után is teljesülnek. Mivel a ciklus újabb és újabb végrehajtásakor φ(r1)<φ(r0), így a 8–9. sorok értékadásai során keletkezett {φ(ri)} sorozat a természetes számok szigorúan monoton csökkenő sorozatát alkotja, ezért a vezérlés előbb utóbb kilép a while ciklusból. A legnagyobb közös osztó az algoritmus maradékos osztás sorozatának utolsó nem nulla maradéka, a 8–9. soroknak megfelelően r0. 2.3. példa. Vizsgáljuk meg a BŐVÍTETT-EUKLIDESZ algoritmus maradéksorozatát az a(x)=63x5+57x4−59x3+45x2−8,(2.4)b(x)=−77x4+66x3+54x2−5x+99(2.5) polinomok esetében: r0=x5+1921x4−5963x3+57x2−863,r1=x4−67x3−5477x2+577x−97,r2=61854851x3+1016539x2+18941617x+943441,r3=771300096420796475x2+224465568420796475x+10065842738254225,r4=−125209969836038125113868312759339264x−3541728593586625101216278008301568,r5=471758016363569992743605121180322986033315115805436875. Az pszeudokód 10. sorának végrehajtása előtt az u0,v0 változók értékei: u0=113868312759339264125209969836038125x3−6626390528589783378565622481964993651506870820653125x2−1722144452624036901282056661901614930166575579027184375x+1451757987487069224981678954901614930166575579027184375,v0=−113868312759339264125209969836038125x4−6506938160811183887881353681964993651506870820653125x3+17827050543462762675144607981964993651506870820653125x2+638085922305129542614635381964993651506870820653125x−17981800118341313301244561781964993651506870820653125. A visszatérési értékek: lnko (a,b)=1,u=2580775248128467729710968369x3−3823697946464779549518280615x2−271022094234832338648554841845x+7615669511954779549518280615,v=703847794944155909903656123x4+3072083769824779549518280615x3−252497524726332338648554841845x2−301255883677779549518280615x+254689355871592338648554841845. Láthatjuk, hogy az együtthatók drasztikus növekedést mutatnak. Felvetődik a kérdés: miért nem normalizálunk a while ciklus minden iterációjában? Ez az ötlet vezet el a polinomok euklideszi algoritmusa normalizált változatához. 2.4. példa. Nézzük meg a BŐVÍTETT-EUKLIDESZ-NORMALIZÁLT algoritmus során keletkezett maradéksorozatot és az e együtthatósorozatot a korábbi (2.4), (2.5) polinomokra: 2-k48b) A pszeudokód 14. sorának végrehajtásakor az lnko (a,b)=r0,u=u0,v=v0 változók értékei: lnko (a,b)=1,u=2580775248128467729710968369x3−3823697946464779549518280615x2−271022094234832338648554841845x+7615669511954779549518280615,v=703847794944155909903656123x4+3072083769824779549518280615x3−252497524726332338648554841845x2−301255883677779549518280615x+254689355871592338648554841845. Q[x] -ben az együtthatók nagyságát tekintve az euklideszi algoritmus normalizált változatának előnye szembetűnő, de az együtthatók növekedését így sem kerültük el. A BŐVÍTETT-EUKLIDESZ-NORMALIZÁLT algoritmus gépi architektúra függő leírásához, elemzéséhez bevezetjük az alábbi jelölést. Legyen λ(a)=⌊log2|a|/w⌋+1, ha a∈Z\{0}, és λ(0)=0,λ(a)=max{λ(b),λ(c)}, ha a=b/c∈Q,b,c∈Z, lnko (b,c)=1,λ(a)=max{λ(b),λ(a0),...,λ(an)}, ha a=∑0≤i≤naixi/b∈Q[x],ai∈Z,b∈N+, lnko (b,a0,...,an)=1, ahol w a számítógépes architektúra szóhossza bitekben. Könnyű meggondolni, hogy ha a,b∈Z[x] és c,d∈Q, akkor λ(c+d)≤λ(c)+λ(d)+1,λ(a+b)≤max{λ(a),λ(b)}+1,λ(cd),λ(c/d)≤λ(c)+λ(d),λ(ab)≤λ(a)+λ(b)+λ(min{dega,degb}+1). Az alábbi tételeket bizonyítás nélkül közöljük. 2.1. tétel. Ha a,b∈Z és λ(a)=m≥n=λ(b), akkor a KLASSZIKUS-EUKLIDESZ és a BŐVÍTETT-EUKLIDESZ algoritmusok O(mn) gépi szóban mért elemi aritmetikai műveletet igényelnek. 2.2. tétel. Ha F test, a,b,∈F[x],deg(a)=m≥n=deg(b), akkor a KLASSZIKUS-EUKLIDESZ, a BŐVÍTETT-EUKLIDESZ és a BŐVÍTETT-EUKLIDESZ-NORMALIZÁLT algoritmusok O(mn)F -beli elemi aritmetikai műveletet igényelnek. Vajon az együtthatók imént látott növekedése pusztán csak a példaválasztásból fakad? Vizsgáljunk meg a BŐVÍTETT-EUKLIDESZ-NORMALIZÁLT algoritmusban egyetlen maradékos osztást. Legyen a=bq+e*r, ahol a=xm+1c∑i=0m−1aixi∈Q[x],b=xn+1d∑i=0n−1bixi∈Q[x],r∈Q[x] főpolinomok, ai,bi∈Z,e*∈Q,c,d∈N+, és tekintsük az n=m−1 esetet. Ekkor q=x+am−1d−bn−1ccd,(2.6)λ(q)≤λ(a)+λ(b)+1,e*r=a−qb=acd2−xbcd2−(am−1d−bn−1c)bdcd2,λ(e*r)≤λ(a)+2λ(b)+3. Vegyük észre, hogy a (2.6) becslés az r maradék polinom együtthatóira is érvényes, vagyis λ(r)≤λ(a)+2λ(b)+3. Így λ(a)∼λ(b) esetén maradékos osztásonként az együtthatók mérete legfeljebb kb. háromszorosára nőhet. Pszeudovéletlen polinomokra a becslés élesnek tűnik, a kísérletezni vágyó Olvasónak ajánljuk a 2-1. feladatot. A legrosszabb esetre kapott becslés azt sejteti, hogy λ(rl)=O(3l⋅max{λ(a),λ(b)}), ahol l jelöli a BŐVÍTETT-EUKLIDESZ-NORMALIZÁLT algoritmus futási idejét, vagyis lényegében azt, hogy a while ciklus hányszor hajtódik végre. Szerencsére, ez az exponenciális növekedés nem teljesül az algoritmus minden iterációjában, végeredményben pedig az együtthatók növekedése a bemenet függvényében polinomiálisan korlátos. A későbbiekben látni fogjuk, hogy moduláris technika alkalmazásával az együtthatók növekedése teljesen elkerülhető. Összefoglalva, az euklideszi algoritmus segítségével az f,g∈R[x] ( R test) polinomok legnagyobb közös osztóját kiszámítva f -nek és g -nek pontosan akkor van közös gyöke, ha a legnagyobb közös osztójuk nem konstans. Ha ugyanis lnko (f,g)=d∈R[x] nem konstans, akkor d gyökei f -nek és g -nek is gyökei, hiszen d osztója f -nek és g -nek is. Megfordítva, ha f -nek és g -nek van közös gyöke, akkor a legnagyobb közös osztójuk nem lehet konstans, mert a közös gyök ennek is gyöke. 2.2.2. Primitív euklideszi algoritmus Amennyiben R euklideszi gyűrű vagy alaptételes gyűrű (amelyben érvényes a számelmélet alaptételének megfelelő állítás, miszerint bármely nem nulla és nem egység elem sorrendtől és egységszorzóktól eltekintve egyértelműen bontható irreducibilis elemek szorzatára), akkor a helyzet bonyolultabb, hiszen R[x] -ben nem feltétlenül létezik euklideszi algoritmus. Szerencsére, mégis több módszer kínálkozik, melyek használhatóságának két oka van: (1) R[x] alaptételes gyűrű, (2) alaptételes gyűrűben két vagy több elem legnagyobb közös osztója mindig létezik. Az első kínálkozó módszer az, hogy a legnagyobb közös osztó számítását R hányadostestében végezzük el. A p(x)∈R[x] polinomot primitív polinomnak nevezzük, ha nincs olyan R -beli prím, ami p(x) összes együtthatóját osztaná. Gauss híres lemmája szerint primitív polinomok szorzata is primitív, melynek következménye, hogy f,g primitív polinomok esetén pontosan akkor lesz d= lnko (f,g)∈R[x], ha d= lnko (f,g)∈H[x], ahol H jelöli R hányadostestét. Vagyis az R[x] beli legnagyobb közös osztó számítás visszavezethető H[x] -belire. Sajnos, ez a megközelítés nem igazán hatékony, mert a H hányadostestben használt aritmetika lényegesen költségesebb, mint az R -beli. Második lehetőségként egy, az euklideszi algoritmushoz hasonló algoritmus segíthet: integritási tartomány feletti egyhatározatlanú polinomgyűrűben ún. pszeudo-maradékos osztást lehet definiálni. A (2.1), (2.2) polinomokat használva ha m≥n, akkor létezik olyan q,r∈R[x], hogy gnm−n+1f=gq+r, ahol r=0 vagy degr<degg. A q polinomot az f és g polinomok pszeudohányadosának, az r polinomot pszeudo-maradékának nevezzük. Jelölésben q= pquo (f,g),r= prem (f,g). 2.5. példa. Legyen f(x)=12x4−68x3+52x2−92x+56∈Z[x],(2.7)g(x)=−12x3+80x2−84x+24∈Z[x].(2.8) Ekkor pquo (f,g)=−144(x+1), prem (f,g)=1152(6x2−19x+10). Másrészt egységszorzótól eltekintve minden f(x)∈R[x] polinom egyértelműen írható fel f(x)= cont (f)⋅ pp (f) alakban, ahol cont (f)∈R és pp (f)∈R[x] primitív polinom. Ekkor cont (f) -et f összetevőjének, pp (f) -et az f(x) polinom primitív részének nevezzük. A felírások egyértelműsége az egységek normalizálásával érhető el. Például Z -ben az egységek {−1,1} halmazából mindig a pozitívat választjuk. Az alábbi algoritmus pszeudo-maradékos osztások sorozatát hajtja végre. Az algoritmus felhasználja a pszeudo-maradékot kiszámító prem () függvényt, feltételezi az R -beli legnagyobb közös osztó, valamint az R[x] -beli polinomok összetevőjének és primitív részének kiszámíthatóságát. Bemenete az a,b∈R[x] polinomok, ahol R alaptételes gyűrű. Az algoritmus eredménye a lnko (a,b)∈R[x] polinom. Az algoritmus működését a 2.3. ábra szemlélteti. A PRIMITÍV-EUKLIDESZ algoritmus futási idejének nagyságrendje megegyezik az euklideszi algoritmus korábban látott változatainak futási idejével. iteráció rcd– – 3x4−17x3+13x2−23x+14−3x3+20x2−21x+61 108x2−342x+108−3x3+20x2−21x+66x2−19x+102 621x−4146x2−19x+103x−23 0 3x−20 2.3. ábra. A PRIMITÍV-EUKLIDESZ algoritmus működésének bemutatása az a(x)=12x4−68x3+52x2−92x+56,b(x)=−12x3+80x2−84x+24∈Z[x] bemenő adatok esetén. A program első két sora a bemeneti polinomok primitív részét számolja ki. A harmadik sortól a hatodik sorig tartó ciklus háromszor fut le, a különböző iterációkban számolt r,c és d értékeket mutatja a táblázat. A program 7. sorában a γ változó értéke lnko (4,4)=4. A PRIMITÍV-EUKLIDESZ (a,b) algoritmus eredményül 4⋅(3x−2) -t szolgáltat. PRIMITÍV-EUKLIDESZ algoritmus azért nagyon lényeges, mert az R test feletti többváltozós R[x1,x2,...xt] polinomgyűrű alaptételes gyűrű, így az algoritmust úgy alkalmazzuk, hogy kiszámoljuk a legnagyobb közös osztót mondjuk R[x2...,xt][x1] -ben, majd rekurzívan az R[x3,...,xt],...,R[xt] alaptételes gyűrűkben. Vagyis a többváltozós polinomgyűrűk rekurzív szemlélete természetes módon vezet a PRIMITÍV-EUKLIDESZ algoritmus rekurzív alkalmazásához. Észrevehetjük, hogy az algoritmus a korábban látottakhoz hasonlóan együttható növekedést mutat. Vizsgáljuk meg részletesebben a Z[x] alaptételes gyűrűt. A legnagyobb közös osztó együtthatóinak nagyságára vonatkozó becslést az alábbi, bizonyítás nélkül közölt tétel mutatja. 2.3. tétel (Landau–Mignotte). Legyen a(x)=∑i=0maixi , b(x)=∑i=0nbixi∈Z[x] , am≠0≠bn, továbbá b(x)|a(x). Ekkor ∑i=1n|bi|≤2n|bnam|2∑i=0mai2. 2.4. következmény. Az előző tétel jelöléseivel az lnko (a,b)∈Z[x] polinom bármely együtthatója abszolút értékben kisebb, mint 2min{m,n}⋅ lnko (am,bn)⋅min{1|am|2∑i=1mai2,1|bn|2∑i=1nbi2}. Bizonyítás. Az a és b polinomok legnagyobb közös osztója nyilván osztja a -t és b -t, a foka pedig legfeljebb az a és b polinomok fokainak minimuma. Továbbá a legnagyobb közös osztó főegyütthatója osztója am -nek és bn -nek is, így lnko (am,bn) -nek is. 2.6. példa. A 2.4. következmény szerint a (2.4), (2.5) polinomok legnagyobb közös osztója bármely együtthatójának abszolút értéke legfeljebb ⌊32/923197⌋=201 , a (2.7), (2.8) polinomok esetében pedig legfeljebb ⌊322886⌋=952. 2.2.3. A rezultáns Az alábbiakban ismertetendő módszer a legáltalánosabb keretek között tárgyalja az (2.1), (2.2) polinomok közös gyökeire vonatkozó szükséges és elégséges feltételeket. További előnye, hogy magasabb fokú algebrai egyenletrendszerek megoldására is alkalmazható. Legyen tehát R egy integritási tartomány és H a hányadosteste. Tekintsük H -nak azt a legszűkebb K bővítését, melyben a (2.1)-beli f(x) polinom és a (2.2)-beli g(x) polinom is lineáris faktorokra bomlik. Jelöljük az f(x) polinom ( K -beli) gyökeit α1,α2,...,αm -nel, a g(x) polinom gyökeit pedig β1,β2,...,βn nel. Készítsük el a következő szorzatot: res (f,g)=fmngnm(α1−β1)(α1−β2)⋯(α1−βn)⋅(α2−β1)(α2−β2)⋯(α2−βn)⋮⋅(αm−β1)(αm−β2)⋯(αm−βn)=fmngnmm∏i=1n∏j=1(αi−βj). Nyilvánvaló, hogy res (f,g) akkor és csak akkor lesz 0 , ha valamilyen i -re és j -re αi=βj , azaz ha f -nek és g -nek van közös gyöke. Ezt a res (f,g) szorzatot az f és g polinomok rezultánsának nevezzük. Vegyük észre, hogy a rezultáns értéke függ az f és g polinomok sorrendjétől, azonban a különböző sorrendben képzett rezultánsok legfeljebb csak előjelben térhetnek el egymástól: