# Kedvenc Matematikai Kísérleteim

## Alapok

## Halmazok és függvények

## Számok

## Határérték

## Differenciálszámítás

## Integrálszámítás

## Lineáris algrebra

## Többváltozós függvények

## Mérték és valószínűség

### Mérték

### Integrál

### Felületi integrál

### Felületek

### Felületek előállítási módjai

### Felületi normális, érintősík, felületi görbék

### Definíció

### Rademacher tétele

### Felszín képlet

### Példák

(1)

M:jacobian([g1(x),g2(x),g3(x)],[x]);

(transpose(M) . M)^(1/2);

determinant([[1]]);

(2)

M:jacobian([g1(x,y),g2(x,y),g3(x,y)],[x,y]);

(determinant(transpose(M) . M))^(1/2);

(3)

M:jacobian([g1(x,y,z),g2(x,y,z),g3(x,y,z)],[x,y,z]);

(determinant(transpose(M) . M))^(1/2);

### Példa: forgásfelület felszíne

### Integráltranszformációs formula

### Példák: polár, henger és
gömbi koordináták

(1)

M:jacobian([r*cos(φ),r*sin(φ)],[r,φ]);

(determinant(transpose(M) . M))^(1/2);

trigsimp(%);

(2)

M:jacobian([r*cos(φ),r*sin(φ),z],[r,φ,z]);

(determinant(transpose(M) . M))^(1/2);

trigsimp(%);

(3)

M:jacobian([r*cos(φ)*cos(θ),r*sin(φ)*cos(θ),r*sin(θ)],
    [r,φ,θ]);

(determinant(transpose(M) . M))^(1/2);

trigsimp(%);

### Példa

### Feladat

M:jacobian([a*r*cos(φ),b*r*sin(φ)],
    [r,φ]);

(determinant(transpose(M) . M))^(1/2);

trigsimp(%);

integrate(2*%pi*a*b*r,r,0,1);

### Feladat

M:jacobian([a*r*cos(φ)*cos(θ),b*r*sin(φ)*cos(θ),c*r*sin(θ)],[r,φ,θ]);

determinant(M);

trigsimp(%);

integrate(%,θ,-%pi/2,%pi/2);

integrate(2*%pi*%,r,0,1);

### Feladat

M:jacobian([cos(t),sin(t),t],[t]);

transpose(M).M;

trigsimp(%);

integrate(%,t,0,2*%pi);

### Feladat

M:jacobian([t*cos(t),t*sin(t),t],[t]);

transpose(M).M;

trigsimp(%);

integrate(%,t,0,2*%pi);

### Feladat

M:jacobian([r*cos(φ)*cos(θ),r*sin(φ)*cos(θ),r*sin(θ)],[φ,θ]);

determinant(transpose(M).M);

trigsimp(%);

sqrt(%);

integrate(2*%pi*r^2*cos(θ),θ,-%pi/2,%pi/2);

### Feladat

### Feladat

(1)

integrate(r^2,r,0,cos(φ));

integrate(%,φ,0,%pi/2);

(2)

integrate(2*%pi*r*sin(r^2),r,%pi,2*%pi);

(3) etc.

### Feladat

(1)

T:integrate((β-α)*r,r,0,R);

integrate(r^2*cos(φ),r,0,R);

Ix:integrate(%,φ,α,β);

integrate(r^2*sin(φ),r,0,R);

Iy:integrate(%,φ,α,β);

(2)

T:integrate(r,r,0,1+cos(φ));

integrate(r^2*cos(φ),r,0,1+cos(φ));

Ix:integrate(%,φ,0,%pi/2);

integrate(r^2*sin(φ),r,0,1+cos(φ));

Iy:integrate(%,φ,0,%pi/2);

### Feladat

### Feladat

kill(all);

assume(a>0,c>0,b>a,d>c);

M:jacobian([y^2/x,sqrt(x*y)],[x,y]);

determinant(M);

integrate(abs(%)*y^2/x/sqrt(x*y),x,a,b);

integrate(%,y,c,d);

ratsimp(%);

### Feladat

etc.

### Feladat

etc.

### Feladat

etc.

### Feladat

etc.

### Kofelszín-képlet

### Lokálisan Lipschitz határú halmazok

### Külső normális

### Lemma

### Megjegyzés

### Divergencia

### Gauss-Green-Osztrogradszkij-tétel

### Divergenciatétel

### Gradienstétel

### Rotáció

### Rotációtétel

### Feladat

### Feladat

### Feladat

kill(all);

d:sqrt(x^2+y^2+z^2);

v:[x/d,y/d,z/d];

divv:diff(v[1],x)+diff(v[2],y)+diff(v[3],z);

ratsimp(%);

(2) etc

(3) rotáció tétel

### Feladat

etc.

### Feladat

etc.

### Feladat

etc.

### Feladat

etc.

### Feladat

etc.

### Irányítás

### Feladat

### Green-tétel

### Következmény

### Feladat

kill(all);

v:[sqrt(x^2+y^2),y*(x*y+log(x+sqrt(x^2+y^2)))];

diff(v[2],x)-diff(v[1],y);

ratsimp(%);

### Feladat

v:[(x+y)^2,-(x^2+y^2)];

diff(v[2],x)-diff(v[1],y);

ratsimp(%);

 etc.

### Feladat

v:[-x^2*y,x*y^2];

diff(v[2],x)-diff(v[1],y);

%pi*a^4/2;

plusz-mínusszal, az irányítástól függően

### Feladat

d:x^2+y^2;

v:[-y/d,x/d];

diff(v[2],x)-diff(v[1],y);

ratsimp(%);

ha a tétel alkalmazható, mert az origó nincs a kör belsejében,
egyébként közvetlenül kiszámolva plusz-minusz 2π

### Stokes tétele

### Feladat

kill(all);

rot(f,v):=[diff(f[2],v[3])-diff(f[3],v[2]),diff(f[3],v[1])-diff(f[1],v[3]),diff(f[1],v[2])-diff(f[2],v[1])];

rot([y,z,x],[x,y,z]);

%pi*a^2*sqrt(3);

A másik út:

x:a*cos(θ)*cos(φ);

y:a*cos(θ)*sin(φ);

z:a*sin(θ);

e:x+y+z=0;

solve(e,sin(θ));

z:subst(%[1],z);

x^2+y^2+z^2=a^2;

s:solve(%,cos(θ));

subst(φ=%pi/4,%);

A második a jó megoldás

s:s[2];

x:subst(s,x); y:subst(s,y); z:a*sqrt(1-cos(θ)^2); z:subst(s,z);

ex:diff(x,φ); ey:diff(y,φ); ez:diff(y,φ);

p:ex*y+ey*z+ez*x;

p:ratsimp(%);

integrate(p,φ,0,2*%pi);

Így nem számolja ki, másként, a körlapot beforgatni a vízszintes síkba,
és a mezőt transzformálni lineárisan

### Feladat

etc.

### Feladat

etc.

### Differenciálformák

### Segédtétel

### Multilineáris formák

### Feladat

### Feladat

### Feladat

### Feladat

### Feladat

### Külső szorzat

### Definíció

### Tétel

### Külső derivált

### Poincaré-Stokes-tétel

### Feladat

### Feladat

### Feladat

### Feladat

### Feladat

### Feladat

### Feladat