# Kedvenc Matematikai Kísérleteim

## Alapok

## Halmazok és függvények

## Számok

## Határérték

## Differenciálszámítás

## Integrálszámítás

## Lineáris algrebra

## Többváltozós függvények

## Mérték és valószínűség

### Mérték

### Integrál

### Definíció

### A nemnegatív függvények integráljának tulajdonságai

### Beppo Levi tétele

### Fatou-lemma

### Nemnegatív mérhető függvények integráljának megszámlálható additivitása

### Integrálható függvények

### Bővített valós értékű függvények integráljának tulajdonságai

### Komplex és vektor értékű függvények integrálja

### Megjegyzés

### Lebesgue tétele

### Az integrál abszolút folytonossága

### Az integrál σ-additivitása

### A Kurzweil-féle és a Lebesgue-integrál

### Feladat

### Feladat

### Feladat

### Feladat

### Feladat

### Feladat

### Feladat

### Feladat

### Feladat

### Feladat

### Feladat

### Feladat

### Feladat

### Feladat

### Feladat

### Feladat

### Feladat

### Mértékterek szorzata

### Fubini-tétel

### Feladat

### Feladat

### Feladat

kill(all);

(1)

assume(x>0,y>0);

integrate((x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2,x,0,1);

integrate(%,y,0,1);

A második az ellentettje, a másik kettő végtelen;

(2)

kill(all);

assume(y>0,y<1/2);

integrate(1/(x-1/2)^3,x,0,1/2-y);

integrate(1/(x-1/2)^3,x,1/2+y,1);

Az első integrál nulla, a harmadik viszont plusz végtelen:

integrate(1/y^2-4,y,0,1/2);

Másrészt

integrate(1/(x-1/2)^3,y,0,1/2-x);

integrate(1/(x-1/2)^3,y,0,x-1/2);

Összegük nulla, így a második integrál is nulla.
Viszont az abszolút értékeket integrálva az integrál végtelen:

integrate(2/(x-1/2)^2,x,0,1);

(3)

integrate((x-y)/(x^2+y^2)/(3/2),x,0,1);

integrate(%,y,0,1);

A második is nulla, de a harmadik és a negyedik
végtelen: polár koordinátákra áttérve, és csak π/6-ig
integrálva, c*r/r^3-öt kell integrálni, ahol c>0.

(4)

Mindenütt pozitív, így az integrálok egyenlőek.

Vezessünk be új változókat, u:x*y, v:y/x,
0<u<1, 0<v<infty

kill(all);

assume(u>0,v>0);

x:sqrt(u/v);

y:sqrt(u*v);

jacobian([x,y],[u,v]);

determinant(%);

Mivel 1/v integrálja végtelen, (1-u)^(-p) integrálja meg pozitív,
az integrál mindig végtelen.

### Feladat: az integrál, mint görbe alatti terület

### Feladat

### Eloszlásfüggvény

### Integrál és eloszlásfüggvény