# Kedvenc Matematikai Kísérleteim

## Alapok

## Halmazok és függvények

## Számok

## Határérték

## Differenciálszámítás

## Integrálszámítás

## Lineáris algrebra

## Többváltozós függvények

### Metrikus terek

### Differeciálszámítás

### Integrálszámítás

### Többváltozós függvények
integrálja

### Tétel

### Tétel

### Következmény

### Tétel: az integrál egyértelműsége

### Tétel: az integrál linearitása

### Tétel: integrál és koordinátafüggvények

### Tétel: az integrál nemnegativitása

### Következmény: az integrál monotonitása

### Megjegyzés

### Az integrál mint téglafüggvény additivitása

### Tétel: határátmenet és integrál felcserélése egyenletes konvergenciánál

### Példa

assume(n>1);

integrate(x*(1-x^2)^n,x,0,1);

### Nullahalmazok

### Tétel: ismételt integrálás

### Abszolút integrálható függvények

### Tétel

### Normál integrációs tartomány

### Tétel

### Példa: forgástest térfogata

### Feladat

kill(all);

assume(a>0);

integrate(5*a/2-x-a^2/x,x,a/2,2*a);

ratsimp(%);

%, logexpand=super;

ratsimp(%);

### Feladat

kill(all);

integrate(1,z,0,x^2+y^2);

integrate(%,y,x^2,1);

integrate(%,x,-1,1);

### Feladat

kill(all);

integrate(1,z,0,6-x-y);

integrate(%,y,2-x/2,6-x);

ratsimp(%);

integrate(%,x,0,8);

### Feladat

(1)

integrate(x^2+y^2,y,0,1-x);

integrate(%,x,0,1);

(2)

integrate((y-x^2)^(1/2),y,x^2,4);

integrate(%,x,-2,2);

(3)

assume(a>0);

y=a+(a^2-(x-a)^2)^(1/2);

radcan(%);

integrate(2*(2*a*x-x^2)^(1/2)/(2*a-x)^(1/2),x,0,a);

(4)

x-ben páratlan, az x szerinti integrálok nullák, így 0

etc.

### Feladat

(1)

T:integrate(f(x),x,a,b);

integrate(x*f(x),x,a,b);

integrate(y,y,0,f(x));

(2)

T:integrate((1-x^(1/2))^2,x,0,1);

integrate(x*(1-x^(1/2))^2,x,0,1);

integrate(y,y,0,(1-x^(1/2))^2);

integrate(%,x,0,1);

(3)

solve(x^2=1-x);

T:integrate(1-x-x^2,x,0,(5^(1/2)-1)/2);

Ix:integrate(x-x^2-x^3,x,0,(5^(1/2)-1)/2);

integrate(y,y,x^2,1-x);

Iy:integrate(%,x,0,(5^(1/2)-1)/2);

(4)

Páros x-ben és y-ban is, így nulla

(5)

x^2+y^2-x-y=(x-1/2)^2+(y-1/2)^2-1/2

T:T1+T2;

integrate(x+y-x^2-y^2,y,0,1/2+(1/2-(x-1/2)^2)^(1/2));

T1:integrate(%,x,0,1);

integrate(x+y-x^2-y^2,y,1,1/2+(1/2-(x-1/2)^2)^(1/2));

T2:integrate(%,x,0,1);

fz:integrate(z,z,x^2+y^2,x+y);

integrate(fz,y,0,1/2+(1/2-(x-1/2)^2)^(1/2));

Iz1:integrate(%,x,0,1);

integrate(fz,y,1,1/2+(1/2-(x-1/2)^2)^(1/2));

Iz2:integrate(%,x,0,1);

integrate(x*(x+y-x^2-y^2),y,0,1/2+(1/2-(x-1/2)^2)^(1/2));

Ix1:integrate(%,x,0,1);

integrate(y*(x+y-x^2-y^2),y,1,1/2+(1/2-(x-1/2)^2)^(1/2));

Iz2:integrate(%,x,0,1);

### Tétel: paraméteres integrálok differenciálása

### Feladat