# Kedvenc Matematikai Kísérleteim

## Alapok

## Halmazok

## Számok

## Határérték

## Differenciálszámítás

## Integrálszámítás

## Lineáris algebra

### Mátrixok és vektorok

### Lineáris leképezések

### Lineáris leképezések

### Példák lineáris leképezésekre

### Tétel

### Lineáris leképezések összege
és skalárszorosa

### Tétel

### Lineáris leképezések szorzata

### Tétel

### Következmény

### Tétel

### Következmény

### Következmény

### Feladat

(1) lineáris transzformáció, 2

(2) nem lineáris

(3) lineáris transzformáció, n

(4) lineáris transzformáció, 0

(5) lineáris transzformáció, 2

(6) lineáris, 2

(7) lineáris transzformáció, 2

(8) nem lineáris

etc.

### Feladat

(1) 3

etc.

### Feladat

(1) lin., 1

(2) lin., 2

etc.

### Vektorrendszer és lineáris 
leképezés mátrixa

### Tétel

### Következmény

### Tétel

### Áttérésmátrix

### Példák: egyszerű
bázistranszformációk

### Tétel

### Következmény

### Következmény

### Ekvivalens transzformációk,
ekvivalens mátrixok

### Feladat

(1) 

matrix([1,0],[0,-1]); 2-3*%i; 1-2*%i;

etc.

### Feladat

(1)

matrix([1,0,0],[0,0,0],[0,0,0]);  i;

etc.

### Feladat

(1)

matrix([1,0,1],[0,1,1]);

etc.

### Feladat

(1)

A:matrix([1,0],[0,1]);

T:transpose(matrix([3,1],[5,2]));

invert(T).A;

etc.

### Feladat

(1)

A:transpose(matrix([0,1],[1,0]));

T:transpose(matrix([1,0],[2,2]));

invert(T).A.T;

etc.

### Lineáris formák

### Tétel

### Bilineáris leképezések

### Tétel

### Következmény

### Kvadratikus leképezések

### Tétel

### Példa: vektoriális szorzat

### Tétel: szimmetrikus és
alternáló bilineáris
leképezések mátrixa

### Szimmetrikus bilineáris formák
átlós alakra hozása

### Megjegyzés

### Antiszimmetrikus bilineáris formák
átlós alakra hozása

### Definit és indefinit
kvadratikus formák

### Sylvester-féle tehetetlenségi
tétel

### Konjugált bilineáris
leképezések

### Tétel

### Következmény

### Hermite-formák

### Feladat

(1)

transpose(matrix([1,1,1,1],[1,1,1,1],[1,1,1,1],[1,1,1,1]));

(2) nem bilineáris

(3)

transpose(matrix([1,1,1,1],[2,2,2,2],[4,4,4,4],[8,8,8,8]));

(4)

transpose(matrix([2,3,5,9],[3,5,9,17],[5,9,17,33],[9,17,33,65]));

(5)

transpose(matrix([2,3,5,9],[3,4,6,10],[5,6,8,12],[9,10,12,16]));

(6)

transpose(matrix([0,-1,-3,-7],[1,0,-2,-6],[3,2,0,-4],[7,6,4,0]));

etc.

### Feladat

(1)

M1:matrix([4,2,2],[2,0,2],[2,2,0]);

S1:(1/2)*(M1+transpose(M1));

A1:(1/2)*(M1-transpose(M1));

columnop(S1,2,1,1/2); rowop(%,2,1,1/2);

columnop(%,3,1,1/2); rowop(%,3,1,1/2);

columnop(%,3,2,-1); rowop(%,3,2,-1);

indefinite

(2)

M2:matrix([4,0,6],[4,1,2],[2,-2,12]);

S2:(1/2)*(M2+transpose(M2));

A2:(1/2)*(M2-transpose(M2));

columnop(S2,2,1,1/2); rowop(%,2,1,1/2);

columnop(%,3,1,1); rowop(%,3,1,1);

columnswap(%,3,2); rowswap(%,3,2);

columnop(%,3,2,1/); rowop(%,3,2,1/2);

indefinite

(3)

M3:matrix([4,0,4],[4,1,2],[4,-2,4]);

S3:(1/2)*(M3+transpose(M3));

A3:(1/2)*(M3-transpose(M3));

columnop(S3,2,1,1/2); rowop(%,2,1,1/2);

columnop(%,3,1,1); rowop(%,3,1,1);

columnop(%,2,3,-1); rowop(%,2,3,-1);

columnop(%,3,2,1/2); rowop(%,3,2,1/2);

indefinite

### Feladat

(1)

A1;

(2)

A2;

columnop(%,2,3,-1); rowop(%,2,3,-1);

columnop(%,2,1,1); rowop(%,2,1,1);

(3)

A3;

columnswap(%,2,3); rowswap(%,2,3);

columnop(%,2,1,1); rowop(%,2,1,1);

### Feladat

(2), (5), (6), (7), (8), (9), (10), (11), (12) konjugált bilineáris

(6), (7), (10) Hermite-szimmetrikus

(8) Hermite-antiszimmetrikus

### Feladat

M:matrix([4,2+2*%i,4*%i],[6-2*%i,4*%i,6],[2-2*%i,-4-2*%i,10]);

S:(1/2)*(M+ctranspose(M));

S:ratsimp(%);

A:(1/2)*(M-ctranspose(M));

A:ratsimp(%);

columnop(S,2,1,1+%i/2); ratsimp(rowop(%,2,1,1-%i/2));

etc.

### Feladat

A;

ratsimp(columnop(%,2,3,1+%i)); ratsimp(rowop(%,2,3,1-%i));

ratsimp(columnop(%,2,1,-(5+%i)/(1+%i)));
ratsimp(rowop(%,2,1,(5-%i)/(%i-1)));

### Multilineáris leképezések

### Tétel

### Példa

### Tenzorok, tenzorszorzat

### Segédtétel

### Tenzorok koordinátáinak
transzformációja

### Einstein-konvenció

### Permutációk

### Tétel

### Következmény

### Terület, térfogat és determináns

### Tétel

### Következmény

### Következmény

### Következmény

### Mátrix determinánsa

### Tétel

### Tétel

### Következmény

### Részmátrix, aldetermináns

M:matrix([1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]);

submatrix(1,2,M,3);

### Tétel

### Tétel

### Tétel

### Kifejtési tétel

### Lineáris transzformáció
determinánsa

### Determinánsok szorzástétele

### Determinánsok szorzástétele
mátrixokra

### Megjegyzés: lineáris
transzformáció determinánsa

### Tétel

### Tétel

### Feladat

(1)

M:matrix([123456,123426],[123457,123427]);

determinant(M);

etc.

### Feladat

etc.

### Lináris egyenletek

### Állítás

### A szuperpozíció elve

### Következmény

### Következmény

### Következmény

### Következmény

### Következmény

### Invariáns alterek

### Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér

### Karakterisztikus polinom

M:hilbert_matrix(3);

p:charpoly(M,x);

p:ratsimp(p);

### Tétel

### Algebrai multiplicitás

### Cayley-Hamilton-tétel

### Felső háromszög alak

### Következmény

### Segédtétel

### Átlós alak

### Általánosított sajátvektor

### Segédtétel

### Segédtétel

### Jordan-normálalak

### Jordan-bázis létezése és a
Jordan-normálalak egyértelműsége

### Következmény

### Feladat

(1)

1; transpose(matrix([0,0,1]));

etc.

### Feladat

síkban van, térben nincs

M:matrix([1,1],[-1,1]);

eivals(M);

### Feladat

(1)

A:matrix([1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]);

T:transpose(matrix([1,1,1],[1,2,3],[0,0,1]));

invert(T).A.T;

etc. 

### Feladat

(1)

M:matrix([4,3],[1,2]);

charpoly(M,λ);

expand(%);

solve(%,λ);

M1:M-1*ident(2);

nullspace(M1);

etc.

eigenvalues(M);

eigenvectors(M);

etc.

(3)

M:matrix([0,-3],[2,4]);

eigenvalues(M);

eigenvectors(M);

etc.

### Feladat

(1)

M:matrix([1,0,2],[4,2,0],[6,3,0]);

charpoly(M,λ);

expand(%);

eigenvalues(M);

eigenvectors(M);

etc.

### Feladat

(1)

M:matrix([1,0,1],[0,2,0],[1,0,1]);

eigenvalues(M);

load("diag");

jordan(M);

dispJordan(%);

ModeMatrix(M);

etc.

### Feladat

M:(1/4)*matrix([7,3,-1,-1,-1,1],[0,8,0,0,0,0],[-2,-2,10,2,-2,2],
    [-2,-2,-2,10,2,2],[-1,-1,-1,-1,11,1],[-6,-2,-2,2,2,14]);

jordan(M);

dispJordan(%);