# Kedvenc Matematikai Kísérleteim

## Alapok

## Halmazok

## Számok

## Határérték

## Differenciálszámítás

## Integrálszámítás

### Primitív függvények

### Határozott integrál

### Alkalmazások
Még nincs kész!

### Végtelen kicsinyek

### Görbe hossza, heurisztikusan

### Feladat

y:diff(x^2,x);

integrate(sqrt((2*x)^2+1),x,0,a);

assume(a>0);

integrate(sqrt((2*x)^2+1),x,0,a);

### Feladat

assume(r>0);

x:r*(t-sin(t));

xp:diff(x,t);

y:r*(1-cos(t));

yp:diff(y,t);

zpa:sqrt(xp^2+yp^2);

trigsimp(%);

assume(T>0);

assume(T<%pi/2);

integrate(zpa,t,0,T);

trigreduce(%);

### Feladat

(1)

x:'x;

y:x^(3/2);

yp:diff(y,x);

zpa:sqrt(yp^2+1);

integrate(zpa,x,0,4);

(2)

y:log(1-x^2);

yp:diff(y,x);

zpa:sqrt(yp^2+1);

assume(a<1);

integrate(zpa,x,0,a);

(3)

y:log(cos(x));

yp:diff(y,x);

zpa:sqrt(yp^2+1);

forget(a<1);

assume(a<%pi/2,a>0);

integrate(zpa,x,0,a);

assume(cos(x)>0);

integrate(zpa,x,0,a);

(4)

y:log((exp(x)+1)/(exp(x)-1));

yp:diff(y,x);

ratsimp(%);

zpa:sqrt(%^2+1);

integrate(zpa,x,a,b);

assume(exp(2*x)>1);

integrate(zpa,x,a,b);

assume(exp(b)>exp(a));

integrate(zpa,x,a,b);

assume(b>0);

integrate(zpa,x,a,b);

assume(a>0);

integrate(zpa,x,a,b);

(5)

facts();

forget(b>0);

assume(d>0);

y:cosh(b*x)/b;

yp:diff(y,x);

zpa:sqrt(yp^2+1);

integrate(zpa,x,0,d);

### Feladat

forget(d>0);

(1)

assume(a>0);

x:a*cos(t)^3;

xp:diff(x,t);

y:a*sin(t)^3;

yp:diff(y,t);

zpa:sqrt(xp^2+yp^2);

zpa:trigsimp(%);

integrate(zpa,t,0,2*%pi);

zpa:3*a*sin(t)*cos(t);

Ennek az abszolút értéke kell

4*integrate(zpa,t,0,%pi/2);

(2)

facts();

x:a*cos(t)^4;

xp:diff(x,t);

y:a*sin(t)^4;

yp:diff(y,t);

zpa:sqrt(xp^2+yp^2);

zpa:trigsimp(%);

zpa:2*a*sin(2*t)*sqrt(sin(t)^4+cos(t)^4);

Ennek az abszolút értéke kell

integrate(zpa,t,0,%pi/2);

(3)

facts();

x:exp(t)*(cos(t)+sin(t));

xp:diff(x,t);

y:exp(t)*(cos(t)-sin(t));

yp:diff(y,t);

zpa:sqrt(xp^2+yp^2);

ratsimp(%);

trigsimp(%);

integrate(%,t,0,a);

(4)

x:t-tanh(t);

xp:diff(x,t);

y:1/cosh(t);

yp:diff(y,t);

zpa:sqrt(xp^2+yp^2);

ratsimp(%);

trigsimp(%);

radcan(%);

trigsimp(%);

integrate(%,t,0,1);

(5)

x:cot(t);

xp:diff(x,t);

y:1/(2*sin(t)^2);

yp:diff(y,t);

zpa:sqrt(xp^2+yp^2);

trigsimp(%);

integrate(%,t,-%pi/4,%pi/4);

Divergens.

(6)

facts();

assume(b>0);

x:a*t*cos(t);

xp:diff(x,t);

y:a*t*sin(t);

yp:diff(y,t);

zpa:sqrt(xp^2+yp^2);

ratsimp(%);

trigsimp(%);

integrate(%,t,0,b);

### Feladat

kill(all);

(1)

y:t; x:t^2/2/p;

(2)

x:a*cos(t); y:b*sin(t);

(3)

x:a*(cos(t))^3; y:a*(sin(t))^3;

(4)

eq:x^3+y^3=3*a*x*y;

subst(y=t*x,eq);

solve(%,x);

y:t*rhs(%[1]);

### Feladat

### Polárkoordinátákkal adott
szektor területe,
heurisztikusan

### Feladat

.5*integrate(a^2*cos(2*t),t,-%pi/4,%pi/4);

### Feladat

(1)

r:a*sqrt(1/(sin(t)^4+cos(t)^4));

integrate(%^2/2,t,0,2*%pi);

float(%), numer;

(2)

r:(cos(t)^2*sin(t)/(cos(t)^4+sin(t)^4));

plot2d([parametric,r*cos(t),r*sin(t)],[t,0,%pi/2],
 same_xy)$

integrate(r^2/2,t,0,%pi/2);

### Munka kiszámítása

### Forgástest térfogata,
heurisztikusan

### Példa

### Feladat

(1)

f:asin(x);

%pi*integrate(f^2,x,0,1);

(2)

f:exp(-x)*sqrt(sin(x));

%pi*integrate(f^2,x,0,%pi);

(3)

facts();

assume(a>0);

f:cosh(x);

%pi*integrate(f^2,x,-a,a);

### Feladat

y:b*sqrt(1-x^2/a^2);

%pi*integrate(y^2,x,-a,a);

### Forgásfelület felszíne,
heurisztikusan

### Példa

### Feladat

r:'r;

integrate(2*%pi*(r+(R-r)*x/m)*sqrt(1+(R-r)^2/m^2),
    x,0,m);

ratsimp(%);

### Feladat

(1)

facts();

forget(a>0);

f:exp(x);

fp:diff(f,x);

assume(b>a);

2*%pi*integrate(f*sqrt(1+fp^2),x,a,b);

(2)

assume(a>0);

f:sqrt(x);

fp:diff(f,x);

2*%pi*integrate(f*sqrt(1+fp^2),x,a,b);

(3)

f:sin(x);

fp:diff(f,x);

2*%pi*integrate(f*sqrt(1+fp^2),x,0,%pi);

(4)

f:cosh(x);

fp:diff(f,x);

2*%pi*integrate(f*sqrt(1+fp^2),x,-a,a);

(5)

kill(all);

f:tan(x);

fp:diff(f,x);

assume(cos(x)>0);

2*%pi*integrate(f*sqrt(1+fp^2),x,0,%pi/4);

ratsimp(%);

(6)

kill(all);

f:x^2;

fp:diff(f,x);

2*%pi*integrate(f*sqrt(1+fp^2),x,-1,1);

### Tömeg, tömegközéppont, tehetetlenségi nyomaték

### Feladat

(1)

solve(2-x=2*x-x^2,x);

integrate(2*x-x^2-2+x,x,1,2);

(2)

integrate(x+1-2^x+1,x,0,1);

(3)

facts();

2*integrate(x*sqrt(a^2-x^2),x,0,a);

### Feladat

(1)

y:'y;

integrate(integrate(2*x+3*y+4,x,0,y),y,0,1);

(2)

integrate(integrate(2*x+3*y+4,x,0,y),y,0,1);

(3)

integrate(integrate(2,x,0,y^(1/4)),y,0,1);

(4)

assume(a>0,b>0,c>0);

integrate(integrate(8*c*sqrt(1-x^2/a^2-y^2/b^2),
        x,0,a*sqrt(1-y^2/b^2)), y,0,b);

facts();

assume(y<b);

integrate(integrate(8*c*sqrt(1-x^2/a^2-y^2/b^2),
        x,0,a*sqrt(1-y^2/b^2)), y,0,c);

assume(y<b);

integrate(integrate(8*c*sqrt(1-x^2/a^2-y^2/b^2),
        x,0,a*sqrt(1-y^2/b^2)), y,0,c);

assume(y+b>0);

integrate(integrate(8*c*sqrt(1-x^2/a^2-y^2/b^2),
        x,0,a*sqrt(1-y^2/b^2)), y,0,b);

(5)

integrate(integrate(8*(1-x-y),x,0,1-y),y,0,1);

(6)

integrate(integrate(sqrt(1-(x+y)^2),x,0,1-y),y,0,1);

assume(y>0);

integrate(integrate(sqrt(1-(x+y)^2),x,0,1-y),y,0,1);

assume(y<1);

integrate(integrate(sqrt(1-(x+y)^2),x,0,1-y),y,0,1);

### Feladat

A metszet a tengelyekkel párhuzamos síkokkal
négyzet.

assume(R>0);

integrate(4*(R^2-z^2),z,-R,R);

### Közelítő számítások

### Feladat

f(x):=exp(-x^2);

Beépített eljárásssal:

quad_qag(f(x),x,0,1,3);

%[1];

Hibabecslésekhez a maximális derivált korlátok:

f2:diff(f(x),x,2);

f3:diff(f2,x);

solve(f3,x);

k:subst(0,x,f2);

K:subst(1,x,f2);

Ma2:2;

for n:0 thru 15 do (
 print(n),print(float(Ma2/12/2^(2*n)))
)$

float(%), numer;

f4:diff(f3,x);

f5:diff(f4,x);

L:solve(f5,x);

float(%), numer;

subst(rhs(L[5]),x,f4);

subst(0,x,f4);

subst(1,x,f4);

Ma4:12;

for n:0 thru 10 do (
 print(n),print(float(Ma4/2880/2^(4*n)))
)$

Érintő formulával:

for n:0 thru 15 do (
 I:0.0,
 for k:1 thru 2^n do
    I:I+f((k-1/2)/2^n)/2^n,
 print(n),
 print(float(I))
)$

Trapéz formulával:

for n:0 thru 15 do (
 I:0.0,
 for k:1 thru 2^n do
    I:I+(f((k-1)/2^n)+f(k/2^n))/2/2^n,
 print(n),
 print(float(I))
)$

Simpson formulával:

for n:0 thru 7 do (
 I:0.0,
 for k:1 thru 2^n do
    I:I+(f((k-1)/2^n)+4*f((k-1/2)/2^n)+
            f(k/2^n))/6/2^n,
 print(n),
 print(float(I))
)$

### Egyenletmegoldás iterációval

T(x):=(η+x)/(1+x);

η:2;

float(%), numer;

T(1);

float(%), numer;

T(%);

T(%);

T(%);

T(%);

sqrt(2);

float(%), numer;

### Newton-módszer

N(x,f,fp):=rectform(x-f(x)/fp(x));

Nr(x,f,fp,σ,ρ):=block([α,Δ,c],
 α:1,
 Δ:rectform(-f(x)/fp(x)),
 c:abs(f(x)),
 while (abs(f(x+α*Δ))-c)/α/c>-(1-σ) do 
    α:α*ρ,
 rectform(x+α*Δ)
)$

x:'x;

f(x):=x^5-4*x+2;

fp(x):=5*x^4-4;

x0:1+0.1*%i; abs(f(%));

N(x0,f,fp); abs(f(%));

x1:Nr(x0,f,fp,0.1,0.5); abs(f(%));

N(x1,f,fp); abs(f(%));

x2:Nr(x1,f,fp,0.1,0.5); abs(f(%));

N(x2,f,fp); abs(f(%));

x3:Nr(x2,f,fp,0.1,0.5); abs(f(%));

N(x3,f,fp); abs(f(%));

x4:Nr(x3,f,fp,0.1,0.5); abs(f(%));

N(x4,f,fp); abs(f(%));

x5:Nr(x4,f,fp,0.1,0.5); abs(f(%));

N(x5,f,fp); abs(f(%));

x6:Nr(x5,f,fp,0.1,0.5); abs(f(%));

N(x6,f,fp); abs(f(%));

x7:Nr(x6,f,fp,0.1,0.5); abs(f(%));

### Feladat

f:x^2-a;

x-f/diff(f,x);

ratsimp(%);

(x+a/x)/2;

### Feladat

k:'k;

f:x^k-a;

x-f/diff(f,x);

ratsimp(%);

expand(%);

(a/x^(k-1)+(k-1)*x)/k;

### Feladat

x:'x;

f(x):=x^5-4*x+2;

fp(x):=5*x^4-4;

x:1.24+.01*%i; abs(f(%));

x:Nr(x,f,fp,0.1,0.5); abs(f(%));

x:Nr(x,f,fp,0.1,0.5); abs(f(%));

x:Nr(x,f,fp,0.1,0.5); abs(f(%));

Leválasztjuk a gyöktényezőt a talált gyökkel és megoldjuk a maradék egyenletet

x:'x;

divide(x^5-4*x+2,x-1.24359639,x);

f1:expand(%[1]);

sol:solve(f1,x);

float(%), numer;

x:%[4];

rectform(%);

exponentialize(%);

Pontosítjuk a gyököket.  Az utolsó gyökre:

x:rhs(%); abs(f(%));

x:Nr(x,f,fp,0.1,0.5); abs(f(%));

### Differenciálegyenletek

### Elsőrendű szeparábilis differenciálegyenletek megoldása

### Megjegyzés

### Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek megoldása

### Másodrendű lineáris differenciálegyenletek

### Tétel

### Állítás

### A próbafüggvények módszere

### Hatványsorok alkalmazása differenciálegyenletek megoldására

### Feladat

x:'x; c:'c;

(1) szeparábilis, lineáris

integrate(1/y,y)=integrate(-2*x,x)+c;

solve(%,y);

'diff(y,x)+2*x*y=0;

ode2(%,y,x);

f:-2*x; g:0;

F:integrate(f,x);

y:c*%e^%;

(2) szeparábilis, lineáris

f:2*cot(x);

F:integrate(f,x);

y:c*%e^%;

(3) lineáris

f:x;

F:integrate(f,x);

g:x^3;

y:%e^F*(c+integrate(g*%e^(-F),x));

ratsimp(%);

(4) lineáris

f:1;

F:integrate(f,x);

g:exp(-x);

y:%e^F*(c+integrate(g*%e^(-F),x));

(5) lineáris

f:1/x;

F:integrate(f,x);

g:x^2+3*x-2;

y:%e^F*(c+integrate(g*%e^(-F),x));

(6) lineáris

f:tan(x);

F:integrate(f,x);

g:1;

y:%e^F*(c+integrate(g*%e^(-F),x));

### Feladat

(1/1)

x:'x; y:'y;

integrate(1/y^2,y)
 =integrate(1,x)+c;

(1/2)

integrate(1/(log(y)*y),y)
 =integrate(1/x,x)+c;

logabs:true;

integrate(1/(log(y)*y),y)
 =integrate(1/x,x)+c;

(1/3)

integrate(exp(-y),y)
 =integrate(exp(-x),x)+c;

(1/4)

integrate(1/(1+y^2),y)
 =integrate(-1/x,x)+c;

(1/5)

integrate(1/(y^2+3*y-4),y)
 =integrate(1,x)+c;

(2/1)

integrate(1/(y^2+1),y)
 =integrate(1,x)+c;

(2/2)

integrate(1/(1+exp(-y)),y)
 =integrate(exp(x),x)+c;

(2/3)

integrate(y,y)
 =integrate(exp(x)/(exp(x)+1),x)+c;

(2/4)

integrate(y/sqrt(1-y^2),y)
 =integrate(-x/sqrt(1-x^2),x)+c;

### Feladat

(1)

kill(all);

z=y-x;

%+x;

integrate(1/(z^2-1),z)
 =integrate(1,x)+c;

(2)

z=y-2*x;

%+2*x;

integrate(1/(sqrt(z)-2),z)
 =integrate(1,x)+c;

(3)

z=y/x;

%*x;

diff(x*z(x),x);

x*(x*zp+z)=x*z-x*cos(z)^2;

%/x;

ratsimp(%);

%-z;

integrate(1/cos(z)^2,z)
 =integrate(-1/x,x)+c;

(4)

z=y/x;

%*x;

diff(x*z(x),x);

x*sin(z)-x*z*cos(z)+x*(x*zp+z)*cos(z)
=0;

%/x;

ratsimp(%);

%/cos(z);

integrate(1/tan(z),z)
 =integrate(-1/x,x)+c;

### Feladat

(1/1)

λ^2+1=0;

solve(%,λ);

'diff(y,x,2)+y=0;

ode2(%,y,x);

(1/2)

λ^2-5*λ+6=0;

solve(%,λ);

'diff(y,x,2)-5*'diff(y,x)+6*y=0;

ode2(%,y,x);

(1/3)

λ^2-λ-6=0;

solve(%,λ);

'diff(y,x,2)-'diff(y,x)-6*y=0;

ode2(%,y,x);

(1/4)

4*λ^2+4*λ+37=0;

solve(%,λ);

4*'diff(y,x,2)+4*'diff(y,x)+37*y=0;

ode2(%,y,x);

(2/1)

de:'diff(y,x)*cos(x)+y*sin(x)=1;

ode2(%,y,x);

logabs:false;

ode2(de,y,x);

(2/2)

λ^2+2*λ+1=0;

solve(%,λ);

'diff(y,x,2)+2*'diff(y,x)+y=sin(x);

ode2(%,y,x);

(2/3)

λ^2-1=0;

solve(%,λ);

'diff(y,x,2)-y=exp(x)*(2*x+3);

ode2(%,y,x);

(2/4)

λ^2-3*λ+2=0;

solve(%,λ);

'diff(y,x,2)-3*'diff(y,x)+2*y
 =3*exp(2*x);

ode2(%,y,x);

### Feladat

(1)

yp:integrate((1-x^2)^(-1/2),x)+c1;

y=integrate(%,x)+c0;

(2)

yp:'yp;

'diff(yp,x)*2*x-yp=0;

ode2(%,yp,x);

y=integrate(rhs(%),x)+c;

### Feladat

(1)

'diff(v,t)=-c*v^2;

ode2(%,v,t);

ic1(%,v=v0,t=0);

sol:solve(%,v);

assume(c*v0>0);

integrate(rhs(sol[1]),t,0,inf);

(2)

t:'t;

'diff(v,t)=-c*v;

ode2(%,v,t);

sol:ic1(%,v=v0,t=0);

assume(c>0);

integrate(exp(-c*t)*v0,t,0,inf);

### Feladat

A metszéspont (x0/2,0), így egyenes.

### Feladat

integrate(1/(t^2+1)^(1/3),t,y0,y)=integrate(1/(t^4+1)^(1/3),t,x0,x);

Ha x->+-inf, akkor a jobb oldal határértéke véges.
A bal oldali integrál divergens, így y véges kell legyen,
ha x->+-inf.

### Feladat

y:x*exp(x^2)*(c+integrate(exp(-t^2),t,-inf,x));

A határérték csak akkor lehet véges, ha a zárójelben
álló kifejezés nullához tart.

limit(erf(x),x,inf);

subst(-sqrt(%pi),c,y);

limit((sqrt(%pi)/2*(erf(x)-1))/(exp(-x^2)/x),x,inf);

a:sqrt(%pi)/2*(erf(x)-1);

ad:diff(a,x);

b:exp(-x^2)/x;

bd:diff(b,x);

ad/bd;

ratsimp(%);

limit(%,x,inf);

### Feladat

### Feladat

### Differenciálegyenletek közelítő megoldása

### Feladat

Mindent úgy írunk meg, hogy egyenletrendszerre is működjön.  Ezért x lista.
 Az első koordináta φ, a második a deriváltja, az ω szögsebesség.  A lengésidő kis kitérésekre 2π(l/g)^(1/2)=2.0066...  Elliptikus integrálokkal pontosan kiszámítható, értéke 2.1529...

kill(all);

x:[%pi/3,0];

x:float(%), numer;

g:9.81; l:1;

Ez a függvény.  Kipróbáljuk.

f(t,x):=block([y],y:copylist(x),y[1]:x[2],
    y[2]:-g/l*sin(x[1]),return(y));

f(0,x);

Az Euler-módszer egy lépése. A lépésköz h. A függvény is paraméter, így tetszőleges egyenletrendszerre működik. Ki is próbáljuk.

odeeuler(t,h,x,f):=x+h*f(t,x)$

x:odeeuler(0,0.1,x,f);

x:odeeuler(.1,.1,x,f);

x:odeeuler(.2,.1,x,f);

x:odeeuler(.3,.1,x,f);

x:odeeuler(.4,.1,x,f);

x:odeeuler(.5,.1,x,f);

x:odeeuler(.6,.1,x,f);

x:odeeuler(.7,.1,x,f);

x:odeeuler(.8,.1,x,f);

x:odeeuler(.9,.1,x,f);

Fárasztó lenne minden lépést kíirni. A keretprogram n lépést tesz. Paraméterként kapja az eljárást.

iter(t0,h,x,n,f,proc):=block([i,t,xx],
    t:t0,
    m:matrix(cons(t,x)),
    xx:copylist(x),
    for i:n step -1 while i>0 do (
        t:t+h,
        xx:proc(t,h,xx,f),
        m:addrow(m,cons(t,xx))
    ),
    return(m))$

Számolások az Euler-módszerrel.

x:float([%pi/3,0]),numer;

M:iter(0,.1,x,6,f,odeeuler);

m:matrix_size(M)[1];

A zérushely idejét egy Newton-iterációs lépéssel közelítjük.  Ennek négyszerese a periódusidő.

TT:4*(M[m][1]-M[m][2]/M[m][3]);

T:TT;

M:iter(0,.1/2,x,11,f,odeeuler);

m:matrix_size(M)[1];

TT:4*(M[m][1]-M[m][2]/M[m][3]);

Extrapolálunk

TTT:TT+(TT-T);

M:iter(0,.1/4,x,22,f,odeeuler);

T:TT;

m:matrix_size(M)[1];

TT:4*(M[m][1]-M[m][2]/M[m][3]);

TTT:TT+(TT-T);

T:TT;

M:iter(0,.1/8,x,44,f,odeeuler);

m:matrix_size(M)[1];

TT:4*(M[m][1]-M[m][2]/M[m][3]);

TTT:TT+(TT-T);

Megírjuk a Heun módszert is.

kill(all);

odeheun(t,h,x,f):=block([k,kk],
  k:f(t,x),
  kk:f(t+h,x+h*k),
  return(x+h/2*(k+kk))
)$

Számolások a Heun-módszerrel.

x:[%pi/3,0];

x:float(%), numer;

g:9.81; l:1;

f(t,x):=block([y],y:copylist(x),y[1]:x[2],
    y[2]:-g/l*sin(x[1]),return(y));

iter(t0,h,x,n,f,proc):=block([i,t,xx],
    t:t0,
    m:matrix(cons(t,x)),
    xx:copylist(x),
    for i:n step -1 while i>0 do (
        t:t+h,
        xx:proc(t,h,xx,f),
        m:addrow(m,cons(t,xx))
    ),
    return(m))$

M:iter(0,.1,x,6,f,odeheun)$

m:matrix_size(M)[1];

TT:4*(M[m][1]-M[m][2]/M[m][3]);

T:TT;

M:iter(0,.1/2,x,11,f,odeheun)$

m:matrix_size(M)[1];

TT:4*(M[m][1]-M[m][2]/M[m][3]);

TTT:TT+(TT-T)/3;

T:TT;

M:iter(0,.1/4,x,22,f,odeheun)$

m:matrix_size(M)[1];

TT:4*(M[m][1]-M[m][2]/M[m][3]);

TTT:TT+(TT-T)/3;

T:TT;

M:iter(0,.1/8,x,44,f,odeheun)$

m:matrix_size(M)[1];

TT:4*(M[m][1]-M[m][2]/M[m][3]);

TTT:TT+(TT-T)/3;

Megírjuk a trapézmódszert is. Mindig három iterációt végzünk az egyszerűség kedvéért.

kill(all);

odetrapez(t,h,x,f):=block([xx,k,kk],k:f(t,x),
  kk:f(t+h,x+h*k),xx:x+h/2*(k+kk),
  kk:f(t+h,xx),xx:x+h/2*(k+kk),
  kk:f(t+h,xx),xx:x+h/2*(k+kk),
  kk:f(t+h,xx),xx:x+h/2*(k+kk),return(xx))$

Számolások a trapéz módszerrel.

x:[%pi/3,0];

x:float(%), numer;

g:9.81; l:1;

f(t,x):=block([y],y:copylist(x),y[1]:x[2],
    y[2]:-g/l*sin(x[1]),return(y));

iter(t0,h,x,n,f,proc):=block([i,t,xx],
    t:t0,
    m:matrix(cons(t,x)),
    xx:copylist(x),
    for i:n step -1 while i>0 do (
        t:t+h,
        xx:proc(t,h,xx,f),
        m:addrow(m,cons(t,xx))
    ),
    return(m))$

M:iter(0,.1,x,6,f,odetrapez)$

m:matrix_size(M)[1];

TT:4*(M[m][1]-M[m][2]/M[m][3]);

T:TT;

M:iter(0,.1/2,x,11,f,odetrapez)$

m:matrix_size(M)[1];

TT:4*(M[m][1]-M[m][2]/M[m][3]);

TTT:TT+(TT-T)/3;

T:TT;

M:iter(0,.1/4,x,22,f,odetrapez)$

m:matrix_size(M)[1];

TT:4*(M[m][1]-M[m][2]/M[m][3]);

TTT:TT+(TT-T)/3;

T:TT;

M:iter(0,.1/8,x,44,f,odetrapez)$

m:matrix_size(M)[1];

TT:4*(M[m][1]-M[m][2]/M[m][3]);

TTT:TT+(TT-T)/3;

A prediktor-korrektor módszer megegyezik a trapéz módszerrel, ha három iterációt végzünk.

### Feladat

### Generátorfüggvények

### Variációszámítás

### Integrálkritérium

facts();

assume(a<-1);

integrate(log(x)^a/x,x);

forget(a<-1);

assume(a>-1);

integrate(log(x)^a/x,x);

integrate(log(x)/x,x);

integrate(log(log(x))^a/x/log(x),x);

integrate(log(log(x))/x/log(x),x);

### Feladat

### Feladat