# Kedvenc Matematikai Kísérleteim

## Alapok

## Halmazok

## Számok

## Határérték

## Differenciálszámítás

## Integrálszámítás

### Primitív függvények

### Határozott integrál

### Definíció

### Tétel

### Tétel: az integrál egyértelműsége

### Tétel: komplex értékű függvények integrálja

### Tétel: az integrál linearitása

### Tétel: az integrál nemnegativitása

### Következmény: az integrál monotonitása

### Tétel: Cauchy-kritérium

### Segédtétel

### Tétel: az integrál intervallum-additivitása

### Tétel

### Definíció

integrate(f(x),x,a,b);

integrate(f(x),x,1,-1);

### Nullahalmazok

### Lebesgue-feltétel

### Következmény

### Tétel

### Megjegyzés

### Az integrálfüggvény

### Tétel

### Következmény

### Newton-Leibniz-formula

### Parciális integrálás határozott integrálokra

### Helyettesítéses integrálás határozott integrálokra

### Tétel: improprius integrálás

### Példák

(1)

integrate(x^α,x,0,1);

assume(α<0);

integrate(x^α,x,0,1);

assume(α>-1);

integrate(x^α,x,0,1);

(2)

### Tétel: összehasonlító teszt

### Következmény: határérték
teszt

### Megjegyzés

### Abszolút integrálható függvények

### Tétel

### Tétel: parciális integrálás integrálfüggvényekre

### Tétel

### Példa

'integrate(1/(1+sin(x)),x,0,%pi);

changevar(%,t=tan(x/2),t,x);

### Improprius integrál

### Példák

forget(α>-1);

assume(α<-1);

integrate(x^α,x,1,inf);

### További improprius integrálok

### Tétel

### Tétel

### Feladat

(1)

x*abs(x)/2+c;

x*abs(x)/2+c;

ahol 2>=c>=-9/2; 

subst(3,x,%)-subst(-2,x,%);

(2)

Primitív függvény nincs.

abs(x)+c;

ahol 2>=c>=0; 

subst(3,x,%)-subst(-2,x,%);

(3)

x+x^2*abs(x)/3+c;

x+x^2*abs(x)/3+c;

ahol 0>=c>=-12; 

subst(3,x,%)-subst(-2,x,%);

### Feladat

(1)

integrate(signum(t),t,-2,x);

(2)

Nincs, nem folytonos.

(3)

integrate(1/2/sqrt(t),t,0,x);

assume(x>0);

integrate(1/2/sqrt(t),t,0,x);

### Feladat

Igen, például a Riemann-függvény, stb.

### Feladat

(1/1)

integrate(sqrt(x)*exp(sqrt(x)),x,0,1);

(1/2)

integrate(sqrt(log(x))/x,x,2,3);

(1/3)

integrate(sin(sqrt(x)),x,0,%pi^2);

(2/1)

integrate(atan(x),x,0,1);

(2/2)

integrate(atan(sqrt(x)),x,0,1);

(2/3)

integrate(log(1+x^2),x,0,1);

(3/1)

integrate(sqrt(x^3+x^2),x,0,1);

(3/2)

integrate(exp(a*x)*cos(b*x),x,0,1);

(3/3)

integrate(exp(a*c)*sin(b*x),x,0,1);

### Feladat

(1/1)

integrate(1/sqrt(4-x^2),x,0,2);

(1/2)

integrate(1/(x+2)^(4/5),x,-3,0);

(1/3)

integrate(2^(1/3)*x^(-1/3),x,0,2);

(2/1)

integrate(x^2*exp(-x),x,0,inf);

(2/2)

integrate(x^(-2/3),x,-1,1);

(2/3)

integrate(3*x^2/(x^3-1)^(2/7),x,0,2^(1/3));

(2/4)

integrate(1/sqrt(2*x+1),x,-1/2,1);

(3/1)

integrate(exp(x)*sqrt(exp(x)-1)/(exp(x)+3),x,0,log(5));

(3/2)

integrate(1/(x+2),x,-2,0);

(3/3)

integrate(asin(sqrt(x))/sqrt(1-x),x,0,1);

(3/4)

integrate(log(x)^2,x,0,1);

(4/1)

integrate(exp(-x),x,0,inf);

(4/2)

integrate(1/sqrt(1+x^2),x,minf,inf);

(4/3)

integrate(1/(3+4*x^2),x,minf,1);

(4/4)

integrate(1/(1+x^3),x,0,inf);

(5/1)

integrate(1/(2*x+1)^(2/3),x,0,inf);

(5/2)

integrate(exp(2*x),x,minf,0);

(5/3)

integrate(x*exp(-x),x,0,inf);

(6/1)

integrate(1/(x*log(x)),x,2,inf);

(6/2)

integrate(1/(x*log(x)^2),x,2,inf);

(6/3)

integrate(exp(-x)*cos(x),x,0,inf);

(7/1)

integrate((log(x)/x)^2,x,1,inf);

(7/2)

integrate(x^2*exp(-x),x,0,inf);

(7/3)

integrate(1/x^2,x,-1,1);

(8/1)

integrate(16*x-x*4^x,x,0,2);

(8/2)

integrate(cos(x)^2,x,0,%pi);

(8/3)

integrate(1/(2+3*x^2),x,minf,inf);

(9/1)

integrate(1/(1+x),x,0,inf);

(9/2)

integrate(1/(x-1)^(3/2),x,1,2);

(9/3)

integrate(1/sqrt(1-x),x,0,1);

(10/1)

integrate(1/sqrt(1-4*x^2),x,-1/2,0);

(10/2)

integrate(1/(x-1)^(2/3),x,0,2);

(10/3)

integrate(1/sqrt(abs(x-2)*abs(x-3)),x,1,4);

integrate(1/sqrt((x-2)(x-3)),x,3,4);

integrate(1/sqrt(x^2-5*x+6),x,3,4);

Stb.

(11/1)

integrate(1/(x^2+x),x,1,inf);

(11/2)

integrate(1/(x^2+x+1),x,minf,inf);

(11/3)

integrate(1/(1+x^4),x,1,4);

(12/1)

integrate((x+1)/(x^3+x),x,1,inf);

(12/2)

integrate(x/(1+x^2)^3,x,0,inf);

(12/3)

integrate(1/sqrt((x-a)*(x-b)),x,a,b);

assume(b-a>0);

integrate(1/sqrt((x-a)*(x-b)),x,a,b);

assume(b+a>0);

integrate(1/sqrt((x-a)*(x-b)),x,a,b);

Az integrandus mindenütt negatív, valósban nincs megoldás

-%i*integrate(1/sqrt((x-a)*(b-x)),x,a,b);

radcan(%);

(13/1)

integrate(1/(2^x-1),x,1,inf);

(13/2)

integrate(exp(x)/(exp(2*x)+1),x,minf,inf);

(14/3)

integrate(exp(-sqrt(x)),x,0,inf);

(15/1)

integrate(log(x)/x^3,x,1,inf);

(15/2)

integrate(x*log(x)/(1+x^2)^2,x,1,inf);

(15/3)

integrate(1/sin(x)^4,x,%pi/4,%pi/2);

### Feladat

(1/1)

limit((x-1)!/(2^x+3^x),x,inf);

(1/2)

integrate(1/x/log(log(x)),x,10,inf);

(1/3)

integrate(log(abs(log(x))),x,0,1);

integrate(log(-log(x)),x,0,1);

changevar(%,-log(x)=y,y,x);

Konvergens a végtelenben, így az eredeti a nullában, sőt:

ev(%o104,nouns);

Az 1-ben is konvergens:

limit(-log(1-y)/y,y,0,plus);

(2/1)

integrate((-log(x))^(-log(x)),x,0,1);

changevar(%,log(x)=-y,y,x);

limit(y^y/exp(y),y,inf);

(2/2)

integrate(x^log(x),x,0,1);

'integrate(x^log(x),x,0,1);

changevar(%,log(x)=-y,y,x);

limit(exp(y^2-y),y,inf);

(2/3)

limit((sqrt(x+1)-sqrt(x))/x^(-1/2),x,inf);

(3/1)

limit(sin(sin(sin(x)))/x,x,0);

(3/2)

limit((x+1)/(x^2*sqrt(x^2-1))/x^(-2),x,inf);

(3/3)

limit(x^x/(x+1)!,x,inf);

(4/1)

limit((2^x+3^x)^(1/x),x,inf);

limit((x-log(x))*sqrt(x)/x^(3/2),x,inf);

(4/2)

limit(-log(cos(x)),x,%pi/2);

(4/3)

limit(sqrt(sin(x)),x,%pi/2);

subst(y+%pi/2,x,1/cos(x));

limit(sin(y)/y,y,0);

(4/3)

integrate(1/(%pi/2-asin(x))^(3/2),x,0,1);

changevar(%,x=sin(y),y,x);

trigsimp(%);

integrate(cos(y)/(%pi/2-y)^(3/2),y,0,%pi/2);

changevar(%,y-%pi/2=-x,x,y);

trigsimp(%);

cos(x-%pi/2);

limit(sin(x)/x,x,0);

(5/1) >1/x

(5/2) >1/x

### Feladat

(1)

limit(sin(x)/x,x,0);

(2)

limit((1-cos(x))/x^2,x,0);

(3)

assume(c>0)

limit((1+x^c)/x^c,x,inf);

(4)

assume(d<0);

limit(((1-y)^d-1)/(1-y)^d,y,1,plus);

### Feladat

(1)

taylor(exp(-x^2),x,0,30);

integrate(%,x,0,1);

float(%), numer;

(2)

taylor(sin(x),x,0,30);

integrate(%/x,x,-1,1);

float(%), numer;

(3)

taylor(cos(x^2),x,0,30);

integrate(%,x,0,1);

float(%), numer;

### Feladat

### Feladat

Parciális integrálásokkal

In:(n!)^2*4^n/(2*n+1)!;

### Feladat

A hasonló integrált csak koszinusszal Jelölje C[n]. Ekkor

S[0]:1/2; C[0]:1/2; S[n]:n*S[n-1]/2+n*C[n-1]/2; C[n]:n*C[n-1]/2-n*S[n-1]/2;

### Feladat

G:F(x^4);

diff(G,x);

4*x^3*exp(x^12)*sin(x^4);

### Feladat

G:log(2*x)-log(x);

diff(G,x);

Nem függ x-től.

### Feladat

solve(sin(t)=sqrt(t),t);

### Feladat

diff(sin(x)/(1+x),x);