# Kedvenc Matematikai Kísérleteim

## Alapok

## Halmazok

## Számok

## Határérték

## Differenciálszámítás

### Derivált

### Függvényvizsgálat

### Tétel

### Rolle tétele

### Cauchy középérték tétele

### Következmény: Lagrange középérték tétele

### Megjegyzés

### Tétel

### Megjegyzés

### Tétel

### Példák

kill(all);

plot2d(x*sin(1/x),[x,-2,2])$

plot2d(x^2*sin(1/x),[x,-2,2])$

plot2d(x^2*sin(1/x^2),[x,-4,4])$

### A trigonometrikus és a
hiperbolikus függvények inverzei

kill(all);

plot2d(asin,[x,-1,1])$

plot2d(acos,[x,-1,1])$

plot2d(atan,[x,-4,4])$

plot2d(acot,[x,-4,4])$

plot2d(asec,[x,-4,4])$

plot2d(acsc,[x,-4,4])$

plot2d(asinh,[x,-4,4])$

plot2d(acosh,[x,-4,4])$

plot2d(atanh,[x,-4,4])$

plot2d(acoth,[x,-4,4])$

plot2d(asech,[x,-4,4])$

plot2d(acsch,[x,-4,4])$

### Összefüggések a
trigonometrikus és a
hiperbolikus függvények inverzei között

kill(all);

asin(y)+acos(y);

trigsimp(%);

load("hypergeometric")$

atanh(y);

rectform(%);

### Darboux közbenső érték
    tétele

kill(all);

f:diff(x^2*sin(1/x^2),x);

plot2d(%,[x,-2,2])$

### L'Hospital-szabály

### Megjegyzés

### Példák

### Feladat

kill(all);

(1/1)

limit((b^x-1)/x,x,0);

limit(log(b)*b^x,x,0);

(1/2)

limit(log(1+x)/x,x,0);

limit(1/(1+x),x,0);

(1/3)

limit((1+x)^(1/x),x,0);

limit(log(1+x)/x,x,0);

(2/1)

limit((1+b/n)^n,n,inf);

limit(n*log(1+b/n),n,inf);

f1:diff(log(1+b/n),n);

g1:diff(1/n,n);

h1:f1/g1;

limit(%,n,inf);

(2/2

limit(n^2*log(1+1/n)-n,n,inf);

f1:diff(log(1+1/n)-1/n,n);

g1:diff(1/n^2,n);

h1:f1/g1;

ratsimp(%);

limit(%,n,inf);

### Feladat

kill(all);

(1/1)

limit((x+exp(x))/x,x,0);

(1/2

limit(cos(x)^(1/sin(x)),x,0);

limit(log(cos(x))/sin(x),x,0);

limit(-sin(x)/cos(x)^2,x,0);

(1/3)

limit(((1+exp(x))/2)^(1/sinh(x)),x,0);

limit(log((1+exp(x))/2)/sinh(x),x,0);

limit(exp(x)/(1+exp(x))/cosh(x),x,0);

(2/1)

limit(sinh(x)^2/log(cos(3*x)),x,0);

limit(2*sinh(x)*cosh(x)/(-3*sin(3*x)/cos(3*x)),x,0);

limit(sinh(x)/sin(3*x),x,0);

limit(cosh(x)/3*cos(3*x),x,0);

(2/2

limit((2-x)^(1/cos(%pi/2/x)),x,1);

limit(log(2-x)/cos(%pi/2/x),x,1);

f1:diff(log(2-x),x);

g1:diff(cos(%pi/2/x),x);

h1:f1/g1;

limit(%,x,1);

(2/3)

limit((x^(1/x)-1)*x/log(x),x,inf);

f1:diff(x^(1/x)-1,x);

g1:diff(log(x)/x,x);

h1:f1/g1;

limit(x^(1/x),x,inf);

limit(log(x)/x,x,inf);

### Feladat

kill(all);

(1/1)

limit((%e-(1+x)^(1/x))/x,x,0);

f1:diff((1+x)^(1/x),x);

l:taylor(log(1+x),x,0,5);

l:l/x;

h:taylor(1/(1+x),x,0,4);

h-l;

(h-l)/x;

(1/2)

limit(n*(n^(1/n)-1)/log(n),n,inf);

f1:diff(n^(1/n),n);

g1:diff(log(n)/n,n);

h1:f1/g1;

limit(log(n)/n,n,inf);

(1/3)

limit((tan(x)-x)/(x*(1-cos(x))),x,0);

f1:diff(tan(x)-x,x);

g1:diff(x*(1-cos(x)),x);

h1:f1/g1;

limit(h1,x,0);

f2:diff(f1,x);

g2:diff(g1,x);

h2:f2/g2;

trigsimp(%);

f3:diff(sin(x),x);

g3:diff(2*cos(x)^3*sin(x)+x*cos(x)^4,x);

h3:f3/g3;

(2/1)

limit((x-sin(x))/(tan(x)-x),x,0);

f1:diff(x-sin(x),x);

g1:diff(tan(x)-x,x);

h1:f1/g1;

trigsimp(%);

limit(%,x,0);

(2/2)

limit((1+1/x)^x,x,-1,minus);

limit(-x*log(1-1/x),x,1,plus);

f1:diff(log(1+1/x),x);

g1:diff(1/x,x);

h1:f1/g1;

limit(%,x,-1,minus);

(2/3)

limit((1+1/x)^x,x,0,plus);

f1:diff(log(1+1/x),x);

g1:diff(1/x,x);

h1:f1/g1;

limit(%,x,0,plus);

(2/4

limit(x^x,x,0,plus);

f1:diff(log(x),x);

g1:diff(1/x,x);

h1:f1/g1;

limit(-x,x,0,plus);

(3/1)

limit(x^(1/x),x,0,plus);

limit(log(x)/x,x,0,plus);

(3/2)

assume(c>0);

limit(log(x)/x^(-c),x,0,plus);

limit(1/(-c)*x^(-c),x,0,plus);

(3/3)

forget(c>0);

assume(c<0);

limit(log(x)/x^c,x,0,plus);

limit(1/c/x^c,x,0,plus);

### Feladat

kill(all);

(1/1)

limit(sin(3*x)/tan(5*x),x,0);

limit(3*cos(3*x)/5*sec(5*x)^2,x,0);

(1/2)

limit(log(cos(a*x))/log(cos(b*x)),x,0);

limit(tan(a*x)/tan(b*x),x,0);

limit(sec(a*x)^2/sec(b*x)^2,x,0);

(1/3

limit((exp(x)-exp(-x)-2*x)/(x-sin(x)),x,0);

limit((exp(x)+exp(-x)-2)/(1-cos(x)),x,0);

limit((exp(x)-exp(-x))/sin(x),x,0);

limit(exp(x)+exp(-x)/cos(x),x,0);

(2/1)

limit(1/x^2-1/sin(x)^2,x,0);

limit((sin(x)^2-x^2)/(x^2*sin(x)^2),x,0);

f1:diff(sin(x)^2-x^2,x);

f2:diff(%,x);

f3:diff(%,x);

f4:diff(%,x);

g1:diff(x^2*sin(x)^2,x);

g2:diff(%,x);

g3:diff(%,x);

g4:diff(%,x);

h4:f4/g4;

limit(%,x,0);

(2/2)

limit((tan(x)-x)/(x-sin(x)),x,0);

limit((sec(x)^2-1)/(1-cos(x)),x,0);

(2/3)

limit((x*cot(x)-1)/x^2,x,0);

f1:diff(x*cot(x)-1,x);

f1:trigsimp(%);

limit(f1,x,0);

g1:diff(x^2,x);

h1:f1/g1;

limit(h1,x,0);

f2:diff(cos(x)*sin(x)-x,x);

g2:diff(2*x*sin(x)^2,x);

h2:f2/g2;

limit(h2,x,0);

f3:diff(f2,x);

g3:diff(g2,x);

h3:f3/g3;

limit(h3,x,0);

f4:diff(f3,x);

g4:diff(g3,x);

h4:f4/g4;

(3/1)

limit(cot(x)-1/x,x,0);

f1:diff(x*cot(x)-1,x);

trigsimp(%);

g1:diff(x,x);

h1:f1/g1;

limit(h1,x,0);

f2:diff(cos(x)*sin(x)-x,x);

g2:diff(x^2,x);

h2:f2/g2;

limit(h2,x,0);

f3:diff(cos(x)^2-1,x);

g3:diff(2*x,x);

h3:f3/g3;

(3/2)

limit((sin(x)/x)^(-x^2),x,0);

limit(-x^2*log(sin(x)/x),x,0);

f1:diff(log(sin(x)/x),x);

g1:diff(1/x^2,x);

h1:f1/g1;

limit(h1,x,0);

(3/3

limit(((1+exp(x))/2)^cot(x),x,0);

limit(cot(x)*log((1+exp(x))/2),x,0);

f1:diff(log((1+exp(x))/2),x);

g1:diff(tan(x),x);

(4/1)

limit((1-x)*tan(%pi*x/2),x,1);

f1:diff(tan(%pi*x/2),x);

g1:diff(1/(1-x),x);

limit((1-x)/cos(%pi*x/2),x,1);

f2:diff(1-x,x);

g2:diff(cos(%pi*x/2),x);

(4/2)

limit(x^(1/(1-x)),x,1);

limit(log(x)/(1-x),x,1);

limit((1/x)/(-1),x,1);

(4/3)

limit((2-x)^tan(%pi*x/2),x,1);

limit(log(2-x)/cot(%pi*x/2),x,1);

f1:diff(log(2-x),x);

g1:diff(cot(%pi*x/2),x);

trigsimp(%);

### Feladat

etc.

### Feladat

### Feladat

kill(all);

(1)

limit((1+1/n)^n,n,inf);

(2)

limit((log(n)^(log(n)/n))/2,n,inf);

### Feladat

### Feladat

### Konvex és konkáv függvények, inflexiós hely

### Segédtétel

### Tétel

### Feladat

kill(all);

diff(a^x,x,2);

### Feladat

diff(x^b,x,2);

### Feladat

kill(all);

diff(x*log(x),x,2);

### Feladat

diff(x^b,x,2);

### Feladat

diff(log(x),x,2);

### Feladat

diff(x^3,x,2);

diff(x^(1/3),x,2);

### Számtani és mértani közép közti egyenlőtlenség

### Feladat: harmonikus és mértani közép

Alkalmazzuk az előző tételt a reciprokokra.

### Feladat

(1) x^n szigorúan konvex.

etc.

### Taylor-polinom

kill(all);

taylor(f(x),x,a,5);

subst(h,x-a,%);

### Taylor-formula maradéktag nélkül

### Taylor-formula Lagrange-féle maradéktaggal

### Tétel

### Aszimtóták

### Függvényvizsgálat

kill(all);

f:exp(-x^2);

solve(f,x);

f1:diff(f,x);

solve(f1,x);

f2:diff(f1,x);

solve(f2,x);

plot2d([f,f1,f2],[x,-4,4])$

### Feladat

kill(all);

f:1+3*x+5*x^2-2*x^3;

f0:subst(x=-1,f);

fp:diff(f,x);

f1:subst(x=-1,fp);

etc.

### Feladat

etc.

### Feladat

(1)

diff(sin(x),x,5);

.5^5/5!;

etc.

### Feladat

kill(all);

assume(a>0);

f:(a^n+x)^(1/n);

f0:subst(x=0,f);

fp:diff(f,x);

subst(x=0,fp);

ratsimp(%);

fpp:diff(fp,x);

A maradéktag abszolút értékében a szorzó:

M:-subst(x=θ*x,%);

Mivel a kitevő negatív, θ=0 esetén kapjuk a maximumot:

M1:subst(θ=0,M);

Ezt még szorozni kell:

M2:M1*(θ*x)^2/2!;

A felső becslés tehát:

M3:subst(θ=1,M2);

ratsimp(%);

### Feladat

(1)

3/12!;

float(%), numer;

3/13!;

float(%), numer;

etc.

### Feladat

(1) Számtani és mértani közép.

etc.

### Feladat

(1)

taylor(cos(x),x,0,5);

taylor(exp(-x^2/2),x,0,5);

etc.

### Feladat

(1/1)

f:x^3-3*x^2+3*x+2;

fp:diff(f,x);

solve(fp,x);

fpp:diff(fp,x);

subst(x=1,fpp);

fppp:diff(fpp,x);

etc.

### Feladat

Legyen a gömb sugara 1,  és m a henger fél magassága.

kill(all);

v:r^2*%pi*2*m;

m^2+r^2=1;

v:(1-m^2)*2*%pi*m;

diff(%,m);

solve(%,m);

### Feladat

Legyen a gömb sugara 1, a kúp magassága 1+d, sugara r.

kill(all);

v:r^2*%pi*m/3;
r^2=(1+d)*(1-d);
v:2*(1-d^2)*(1+d)*%pi/3;
diff(v,d);

solve(%,d);

### Feladat

Legyen a gömb sugara 1, a kúp magassága 1+d, alkotója a, sugara r.

kill(all);

f:r^2*%pi+2*r*%pi*a/2;

r^2=1-d^2; a^2=1-d^2+(1+d)^2;

ratsimp(%);

f:%pi*(1-d^2)+%pi*(2*(1+d)**1-d^2)^(1/2);

diff(%,d);

e:2*%pi*d=%pi*(2-2*d)/2/(2+2*d-d^2)^(1/2);

e:e/%pi;

e:e^2;

ratsimp(%);

solve(%);

float(%), numer;

### Feladat

etc.

### Feladat

etc.

### Feladat

etc.

### Feladat

etc.

### Feladat

etc.

### Feladat

etc.

### Feladat

kill(all);

(1/1)

f(x):=x^2-x^4;

f1:diff(f(x),x);

solve(%,x);

f(0); f(2^(-1/2)); f(2);

(1/2)

f(x):=x-atan(x);

f1:diff(f(x),x);

f(-1); f(1);

(1/3)

f(x):=x+exp(-x);

f1:diff(f(x),x);

solve(f1);

[f(-1),f(0),f(1)];

(2/1)

f(x):=x+1/x^2;

f1:diff(f(x),x);

solve(f1,x);

[f(2^(1/3)),f(1/10),f(10)];

float(%), numer;

plot2d(f(x),[x,1/10,10])$

(2/2)

f(x):=atan(1/x);

f1:diff(f(x),x);

ratsimp(%);

solve(%);

[f(1/10),f(10)];

float(%), numer;

(2/3)

f(x):=cos(x^2);

f1:diff(f(x),x);

solve(f1,x);

[f(0),f((%pi)^(1/2)),f((2*%pi)^(1/2)),
    f((3*%pi)^(1/2)),f(%pi)];

float(%), numer;

(3/1)

f(x):=sin(sin(x));

A sin szigorúan monoton -π/2 és π/2 között.

[f(-%pi/2),f(%pi/2)];

float(%), numer;

(3/2)

f(x):=x*exp(x);

f1:diff(f(x),x);

solve(f1,x);

[f(-2),f(-1),f(2)];

float(%), numer;

(3/3)

assume(n>0);

f(x):=x^n*exp(-x);

f1:diff(f(x),x);

solve(f1,x);

[f(-2*n),f(n),f(2*n)];

(4/1)

f(x):=x*log(x);

f1:diff(f(x),x);

solve(f1,x);

[f(1/2),f(1/%e),f(2)];

float(%), numer;

(4/2)

f(x):=1/(1+sin(x)^2);

Az 1/(1+y) szigorúan monoton, ha y pozitív.

g:sin(x)^2;

g1:diff(g,x);

solve(g1,x);

[f(%pi/2),f(%pi),f(3*%pi/2)];

(4/3)

f(x):=(1-exp(-x^2))^(1/2);

A négyzetgyök szigorúan monoton pozitív számokra.

g:1-exp(-x^2);

g1:diff(g,x);

solve(%,x);

[f(-2),f(0),f(2)];

float(%), numer;

(5/1)

f(x):=x*sin(log(x));

f1:diff(f(x),x);

solve(f1,x);

tan(y)=-1;

solve(%,y);

tan(3*%pi/4);

[exp(3*%pi/4),exp(7*%pi/4)];

float(%), numer;

[f(1),f(exp(3*%pi/4)),f(100)];

float(%), numer;

(5/2)

f(x):=x^x;

Az exp szigorúan monoton.

g:x*log(x);

g1:diff(g,x);

solve(g1,x);

f(1/%e);

float(%), numer;

(5/3)

f(x):=x^(1/x);

Az exp szigorúan monoton.

g:log(x)/x;

g1:diff(g,x);

solve(%,x);

f(%e);

float(%), numer;

(6/1)

f(x):=log(x)/x;

f1:diff(f(x),x);

solve(%,x);

f(%e);

float(%), numer;

(6/2)

f(x):=x*log(x);

f1:diff(f(x),x);

solve(%,x);

f(1/%e);

float(%), numer;

(6/3)

f(x):=x^x*(1-x)^(1-x);

Az exp szigorúan monoton.

g:x*log(x)+(1-x)*log(1-x);

g1:diff(%,x);

solve(g1,x);

f(1/2);

(7) etc.

(8) etc.

### Feladat

kill(all);

assume(n>0);

f:x^(2*n)*exp(-x^2);

solve(f,x);

f1:diff(f,x);

solve(f1,x);

f2:diff(f1,x);

solve(f2,x);

n:2;

plot2d([f,f1,f2],[x,-4,4])$

### Feladat

kill(all);

(1/1)

f:x^3-3*x;

f1:diff(f,x);

solve(f1,x);

f2:diff(f1,x);

solve(f2,x);

plot2d([f,f1,f2],[x,-4,4])$

(1/2)

f:x^2-x^4;

solve(f,x);

f1:diff(f,x);

solve(f1,x);

f2:diff(f1,x);

solve(f2,x);

plot2d([f,f1,f2],[x,-2,2])$

(1/3)

f:x-atan(x);

solve(f,x);

f1:diff(f,x);

solve(f1,x);

f2:diff(f1,x);

solve(f2,x);

plot2d([f,f1,f2],[x,-2,2])$

(2/1)

f:x+exp(-x);

solve(f,x);

f1:diff(f,x);

solve(f1,x);

f2:diff(f1,x);

solve(f2,x);

plot2d([f,f1,f2],[x,-2,2])$

(2/2)

f:x+1/x^2;

solve(f,x);

f1:diff(f,x);

solve(f1,x);

f2:diff(f1,x);

solve(f2,x);

plot2d([f,f1,f2],[x,-4,4],[y,-10,10])$

(2/3)

f:atan(1/x);

solve(f,x);

f1:diff(f,x);

f1:ratsimp(f1);

solve(f1,x);

f2:diff(f1,x);

solve(f2,x);

plot2d([f,f1,f2],[x,-4,4])$

(3/1)

f:cos(x^2);

solve(f,x);

f1:diff(f,x);

solve(f1,x);

f2:diff(f1,x);

solve(f2,x);

plot2d([f,f1,f2],[x,-4,4])$

(3/2)

f:sin(sin(x));

solve(f,x);

f1:diff(f,x);

solve(f1,x);

f2:diff(f1,x);

solve(f2,x);

plot2d([f,f1,f2],[x,-4,4])$

(3/3)

f:sin(1/x);

solve(f,x);

f1:diff(f,x);

solve(f1,x);

f2:diff(f1,x);

plot2d([f,f1,f2],[x,-4,4],[y,-4,4])$

(4/1)

f:x*exp(-x);

solve(f,x);

f1:diff(f,x);

solve(f1,x);

f2:diff(f1,x);

solve(f2,x);

plot2d([f,f1,f2],[x,-4,4],[y,-4,4])$

(4/2)

f:x^n*exp(-x);

solve(f,x);

f1:diff(f,x);

solve(f1,x);

f2:diff(f1,x);

solve(f2,x);

n:2;

plot2d([f,f1,f2],[x,-4,4],[y,-4,4])$

(4/3)

f:x*log(x);

solve(f,x);

f1:diff(f,x);

solve(f1,x);

f2:diff(f1,x);

f2:diff(f1,x);

plot2d([f,f1,f2],[x,0,4],[y,-4,4])$

(5/1)

f:1/(1+sin(x)^2);

solve(f,x);

f1:diff(f,x);

solve(f1,x);

f2:diff(f1,x);

solve(f2,x);

plot2d([f,f1,f2],[x,-4,4],[y,-4,4])$

(5/2)

f:(1+1/x)^x;

solve(f,x);

f1:diff(f,x);

solve(f1,x);

f2:diff(f1,x);

solve(f2,x);

plot2d([f,f1,f2],[x,0,8],[y,-4,4])$

(5/3)

f:(1+1/x)^(x+1);

solve(f,x);

f1:diff(f,x);

ratsimp(%);

solve(f1,x);

f2:diff(f1,x);

ratsimp(%);

solve(f2,x);

plot2d([f,f1,f2],[x,0,8],[y,-4,4])$

(6/1)

declare(x,real);

f:(1-exp(-x^2))^(1/2);

solve(f,x);

solve(exp(-x^2)=1,x);

f1:diff(f,x);

limit(f/x,x,0);

limit(f/x,x,0,plus);

limit(f/x,x,0,minus);

solve(f1,x);

limit(f1,x,0);

limit(f1,x,0,plus);

limit(f1,x,0,minus);

f2:diff(f1,x);

solve(f2,x);

plot2d([f,f1,f2],[x,-4,4])$

(6/2)

assume(x>0);

f:x*sin(log(x));

solve(f,x);

f1:diff(f,x);

solve(f1,x);

solve(tan(y)=-1);

f2:diff(f1,x);

solve(f2,x);

solve(tan(y),y);

plot2d([f,f1,f2],[x,0,30],[y,-4,4])$

(6/3)

assume(x>0);

f:x^x;

solve(f,x);

f1:diff(f,x);

solve(f1,x);

f2:diff(f1,x);

solve(f2,x);

plot2d([f,f1,f2],[x,0,4],[y,-4,4])$

(7/1)

f:x^(1/x);

solve(f,x);

f1:diff(f,x);

solve(f1,x);

f2:diff(f1,x);

solve(f2,x);

plot2d([f,f1,f2],[x,0,4],[y,-4,4])$

(7/2)

f:log(x)/x;

solve(f,x);

f1:diff(f,x);

solve(f1,x);

f2:diff(f1,x);

solve(f2,x);

plot2d([f,f1,f2],[x,0,8],[y,-4,4])$

(7/3)

f:x*log(x);

solve(f,x);

f1:diff(f,x);

solve(f1,x);

f2:diff(f1,x);

solve(f2,x);

plot2d([f,f1,f2],[x,0,8],[y,-4,4])$

(8/1)

f:x^x*(1-x)^(1-x);

solve(f,x);

f1:diff(f,x);

f1:ratsimp(%);

solve(f1,x);

f2:diff(f1,x);

f2:ratsimp(%);

solve(f2,x);

plot2d([f,f1,f2],[x,0,1],[y,-4,4])$

(8/2)

f:atan(x)-log(1+x^2)/2;

solve(f,x);

f1:diff(f,x);

solve(f1,x);

f2:diff(f1,x);

solve(f2,x);

plot2d([f,f1,f2],[x,-4,4])$

(8/3)

f:atan(x)-x/(1+x);

solve(f,x);

f1:diff(f,x);

solve(f1,x);

f2:diff(f1,x);

solve(f2,x);

plot2d([f,f1,f2],[x,-4,4],[y,-8,8])$

(9/1)

f:x^4/(1+x)^3;

solve(f,x);

f1:diff(f,x);

solve(f1,x);

f2:diff(f1,x);

solve(f2,x);

plot2d([f,f1,f2],[x,-12,12],[y,-12,12])$

(9/2)

f:exp(x)/(1+x);

solve(f,x);

f1:diff(f,x);

solve(f1,x);

f2:diff(f1,x);

solve(f2,x);

plot2d([f,f1,f2],[x,-4,4],[y,-4,4])$

(9/3)

f:exp(x)/sinh(x);

solve(f,x);

f1:diff(f,x);

solve(f1,x);

f2:diff(f1,x);

solve(f2,x);

plot2d([f,f1,f2],[x,-4,4],[y,-4,4])$

(10/1)

f:x^(1/log(x));

solve(f,x);

f1:diff(f,x);

solve(f1,x);

f2:diff(f1,x);

solve(f2,x);

plot2d([f,f1,f2],[x,-4,4],[y,-4,4])$

(10/2)

f:exp(-x)*((1-x^2)*sin(x)-(1+x^2)*cos(x))/2;

solve(f,x);

f1:diff(f,x);

f1:ratsimp(%);

solve(f1,x);

f2:diff(f1,x);

f2:ratsimp(%);

solve(f2,x);

trigsimp(%);

plot2d([f,f1,f2],[x,-5,5],[y,-12,12])$

(10/3)

assume(n>0);

f:x^(2*n+1)*exp(-x^2);

solve(f,x);

f1:diff(f,x);

solve(f1,x);

f2:diff(f1,x);

solve(f2,x);

n:1;

plot2d([f,f1,f2],[x,-4,4])$

(11-13) etc.

### Feladat

-exp(-1/abs(x)); sgn(x)*exp(-1/abs(x));

### Feladat

f:sin(x)/x;

limit(f,x,0,plus);

limit(f,x,%pi/2,minus);

f1:diff(f,x);

solve(f1,x);

tan(x)-x;

diff(%,x);

### Feladat

Ha a a másik befogó, v a sebesség, akkor az idő

(a-x)/v+3/2/v*sqrt(b^2+x^2);

azaz

f:a-x+3/2*sqrt(b^2+x^2);

minimuma kell:

0=diff(f,x);

%+1;

%*2*sqrt(b^2+x^2);

eq:%^2;

solve(eq,x);

### Feladat

Legyen a törő egyenes az x tengely, a fénysugár induljon az A1=(x1,y1), y1 0 pontból és érkezzen az A2=(x2,y2), y2 0 pontba.  A felső közegben sebessége v1, az alsóban v2.  A töréspont P=(x,0).  Legyen B1=(x1,0) és B2=(x2,0).  Feltehetjük, hogy x1 x2.  Legyen a B1-A1-P szög α1, a P-A2-B2 szög α2.
Az idő

t:((x-x1)^2+y1^2)^(1/2)/v1+
  ((x2-x)^2+y2^2)^(1/2)/v2;

Ha abs(x) nagy, t nagy, de van minimum, itt a derivált 0.

t1:diff(t,x);

A t1=0 egyenlet ekvivalens a következővel:

sin(α1)/v1=sin(α2)/v2;