# Kedvenc Matematikai Kísérleteim

## Alapok

## Halmazok

## Számok

## Határérték

### Folytonosság

### Határérték

### Sorozatok

### Sorok

### Elemi függvények

### Hatványsorok

### Cauchy-Hadamard-tétel

### Konvergenciasugár, konvergenciatartomány

### Hatványsorok átrendezése

### Analitikus függvények

### Példa

kill(all);

niceindicespref:[n,k,j,l]$

powerseries(1/x,x,a);

niceindices(%);

### Tétel

### Motiváció

a^x*a^y;

### Az exponenciális függvény

powerseries(exp(z),z,0);

niceindices(%);

### Az e szám

(35+2)/36!/36;

float(%), numer;

e:sum(1/n!,n,0,35);

fpprec:50;

bfloat(e);

### Természetes logaritmus

log(e);

float(%), numer;

### Megjegyzés

### Tétel

### Megjegyzés

n:9;

n!;

sqrt(2*%pi)*n^(n+1/2)*exp(-n+1/12/n);

bfloat(%);

### Motiváció

plot2d([parametric,realpart(exp(%i*t)),
    imagpart(exp(%i*t)),[t,0,2]],same_xy)$

### Trigonometrikus és
hiperbolikus függvények

exp(%i*t);

trigrat(%);

plot2d([parametric,cosh(t),
    sinh(t),[t,-1,1]],same_xy)$

### Tétel

### A π szám

plot2d([parametric,realpart(exp(%i*t)),
    imagpart(exp(%i*t)),[t,0,6.2]],same_xy)$

### Tétel

### Hatványozás

### Tétel

### Logaritmus

lg(a,x):=log(x)/log(a);

lg(10,100);

### Tétel

### Komplex logaritmus és
hatványozás

%i^%i;

rectform(%);

float(%), numer;

### Feladat

kill(all);

(1) 

1;

max(a,b);

0;

1/3;

%e;

(2)

inf;

1;

1/4;

n^n/n!=e^(n-1/12/n+c_n);

inf;

### Feladat

(1)

(1-cos(x)+cos(x)*(1-cos(2*x)))/(1-cos(x));

(1-cos(2*x))/(1-cos(x));

Sor

(2)

tan(x)-sin(x)/x^3=sin(x)/x*(1-cos(x))/x^2*1/cos(x);

### Feladat

kill(all);

assume(x>0);

limit((x+x^2*exp(n*x))/(1+exp(n*x)),n,inf);

kill(all);

assume(x<0);

limit((x+x^2*exp(n*x))/(1+exp(n*x)),n,inf);

Folytonos.