# Kedvenc Matematikai Kísérleteim

## Alapok

## Halmazok

## Számok

## Határérték

### Folytonosság

### Határérték

### Sorozatok

### Sorozatok

kill(all);

makelist([n,1/n],n,1,20);

plot2d([discrete,%],[x,0,20.5],[style,points])$

limit(sin(n*%pi),n,inf);

Nem definiált, mert nem tudja, hogy sorozatra gondoltunk.

declare(n,integer);

limit(sin(n*%pi),n,inf);

kill(all);

### Feladat

### Feladat

### Feladat

### Feladat

### Feladat

### Feladat

n+2*(-1)^n;

### Tétel

### Tétel

### Tétel

### Tétel

### Példák

(1)

makelist([n,1+.4*n],n,1,20)$

plot2d([discrete,%],[x,0,20.5],[style,points])$

(2)

makelist([n,n^2],n,1,20)$

plot2d([discrete,%],[x,0,20.5],[style,points])$

(3)

makelist([n,1/n],n,1,20)$

plot2d([discrete,%],[x,0,20.5],[style,points])$

(4)

makelist([n,1+(-1)^n/n],n,1,20)$

plot2d([discrete,%],[x,0,20.5],[style,points])$

### Átviteli elv

### Felső és alsó határérték

makelist([n,(-1)^n*(1-1/n)],n,1,20)$

plot2d([discrete,%],[x,0,20.5],[style,points])$

makelist([n,(-1)^n*(1+1/n)],n,1,20)$

plot2d([discrete,%],[x,0,20.5],[style,points])$

### Tétel

### Állítás

### Cauchy-sorozatok

### Cauchy-féle konvergenciakritérium

### Megjegyzés

### Nevezetes sorozatok
határértéke

kill(all);

(1)

makelist([n,1/n^(1/2)],n,1,20)$

plot2d([discrete,%],[x,0,20.5],[style,points])$

(2)

makelist([n,2^(1/n)],n,1,20)$

plot2d([discrete,%],[x,0,20.5],[style,points])$

(3)

makelist([n,n^(1/n)],n,1,20)$

plot2d([discrete,%],[x,0,20.5],[style,points])$

(4)

makelist([n,n^2/2.5^n],n,1,20)$

plot2d([discrete,%],[x,0,20.5],[style,points])$

(5)

makelist([n,0.8^n],n,1,20)$

plot2d([discrete,%],[x,0,20.5],[style,points])$

(6)

makelist([n,2^n/n!],n,1,20)$

plot2d([discrete,%],[x,0,20.5],[style,points])$

### Feladat

### Feladat

### Feladat

### Feladat

### Feladat

2*(1-n/2^n)^(1/n)->2

### Feladat

### Feladat

### Feladat

### Feladat

Az alaptrükk a lehetséges határérték meghatározásához, hogy n->inf határértéket veszünk mindkét oldalon.

(1)

A=sqrt(a+A); A^2=a+A; solve(%,A);

Nemnegatív és monoton nő, felülről korlátos.

(2)

A=1/(1-A); A-A^2=1; solve(%,A);

Nem lehet konvergens.

(3)

A=1/(4-A); 4*A-A^2=1; solve(%,A);

Monoton nő, de az 1-et nem lépi át.

(4)

A=1/(1+A); A+A^2=1; solve(%,A);

A páratlan tagok nőnek, a párosak csökkennek, de mind pozitív. 

(5)

A=2^(1/2)*A^(1/2); A^2=2*A; solve(%,A);

Monoton nő, de kisebb, mint 2: tart 2-höz.

### Feladat

Az első két tag kivételével monoton.

a>0;

A=(A+a/A)/2; A^2=a;

### Feladat

### Feladat

kill(all);

(1)

1; -1;

(2)

1; -1;

(3)

2*n*(1+2/n^2)->inf; 3*n*(1+3/n^3)->inf;

inf;

(4)

1; -sqrt(3)/2;