# Kedvenc Matematikai Kísérleteim

## Alapok

## Halmazok

## Számok

## Határérték

### Folytonosság

### Távolság, környezetek, korlátosság

### Belső, izolált és torlódási pontok

### Nyílt és zárt halmazok

### Állítás

### Állítás

### Példák

### Feladat

Például k+1/n, k=1,2,3; n=1,2,...

### Feladat

Az első igen, a második nem

### Feladat

-1/2, 1;

### Feladat

{1/m}, határa ez meg a halmaz, belseje üres

### Definíció

### Feladat

kill(all);

(1)

solve(y=(x+1)/(x-1),x);

(2)

solve(y=1/(2*x+3),x);

(3)

x>0;

solve(y=x/(1+x),x);

x<0;

solve(y=x/(1-x),x);

y/(1-abs(y));

### Feladat

(f(x)+f(-x))/2; (f(x)-f(-x))/2;

### Folytonosság

### Példák

plot2d(%pi,[x,-4,4])$

plot2d(x,[x,-4,4])$

plot2d(abs(x),[x,-4,4])$

### A Dirichlet-függvény

### Példa

plot2d(signum(x),[x,-4,4],[y,-1.2,1.2])$

### Tétel

### Tétel

kill(all);

f(x):=if equal(x,0) then 0. else sin(1/x); f(0); f(1);

plot2d([f(x),x,x*f(x)],[x,-1,1])$

### Tétel

### Következmény

### Tétel

### Weierstrass tétele

### Példák

plot2d([1/x,x],[x,-5,5],[y,-5,5],same_xy)$

### Bolzano tétele

kill(all);

g(x):=cos(x)-x;

g(0); g(1);

g(1.);

Ez nem elég!

g(1.0);

g(1.0/2);

g(3.0/4);

g(5.0/8);

g(11.0/16);

### Következmény

### Következmény

### Jobb és bal oldali folytonosság

### Példa

Θ(x):=if x<=0 then 0 else 1;

plot2d(Θ(x),[x,-4,4],[y,-2,2])$

### Tétel

### Következmény: a gyökvonás folytonossága

plot2d([x^(1/2),x^(1/3),x^(1/4)],[x,0,4])$

### Feladat

Alkalmazzuk Bolzano tételét f(x)-x-re.