# Kedvenc Matematikai Kísérleteim

## Alapok

## Halmazok

## Számok

### Valós számok

### Természetes, egész és racionális számok

### Megszámlálható halmazok

### Komplex számok

### Polinomok

### Jelölés

### Polinomok és racionális törtfüggvények

kill(all);

f:-15+3*x+5*x^2+7*x^5;

subst(0,x,f); subst(1,x,f);

x^0;

g:(x-4)+(x-4)^2+(x-4)^3;

ratsimp(%);

h:f/g;

subst(0,x,h); subst(4,x,h);

ratnum(h); ratdenom(h);

### A maradédos osztás tétele polinomokra

divide(f,g,x);

%[1]*g+%[2];

expand(%);

remainder(f,g,x);

quotient(f,g,x);

### Következmény: Horner-elrendezés

horner(f);

### Következmény: gyöktényező leválasztása

g:expand(g);

divide(g,x-4,x);

### Következmény

allroots(g);

### Következmény

### Polinomok egyértelmű felírása

hipow(f,x);

coeff(f,x,5); coeff(f,x,4);

### A maradékos osztás egyértelműsége

### Többszörös gyökök

### Az algebra alaptétele

allroots(f);

solve(f,x);

### Gyöktényezős előállítás

factor(f);

factor(g);

### Lagrange-interpoláció

load("interpol")$

lagrange([[2,4],[5,6],[9,3]]);

### Többváltozós polinomok
és racionális törtfüggvények

f:(x+y)*(x-y)*(z^2-x^2); f:expand(f);

coeff(f,x,2); coeff(%,y,2);

### Feladat

kill(all);

8*21;

3*(-13)+5*6+(-11)*13+7*16;

3*13;

3*16;

0;

### Feladat

(1)

divide(42*x^4-7*x^3+13*x^2+43*x-12,
  x^2-x-1);

(2)

divide(x^3-3*x^2-x-1,3*x^2-2*x+1);

(3)

divide(5*x^4+2*x-3,2*x^2-3*x+4);

(4)

divide(x^3,2*x+3);

(5)

divide(x^2+3*x-2,6*x^4+5*x^2-3*x+2);

(6)

divide(x^3+x^2+3*x+2,2*x^2+4);

### Feladat

kill(all);

divide(x^4+3*x^2+a*x+b,x^2-2*a*x+2,x);

solve([8*a^3-a,b-8*a^2-2],[a,b]);

### Feladat

### Feladat

(1)

remainder(x^4-3*x^3+6*x^2-10*x+16,x-4);

(2)

remainder(x^5+(1+%i)*x^4-(1+3*%i)*x^2+7,
  x+2+%i);

(3)

remainder(x^4-3*%i*x^3-4*x^2+5*%i*x-1,
   x-1-2*%i);

### Feladat

(1)

g:x+1;

divide(x^4+2*x^3-3*x^2-4*x+1,g);

divide(%[1],g);

divide(%[1],g);

divide(%[1],g);

1*g^4-2*g^3-3*g^2+4*g+1;

expand(%);

(2)

g:x-1;

divide(x^5,g);

divide(%[1],g);

divide(%[1],g);

divide(%[1],g);

divide(%[1],g);

1*g^5+5*g^4+10*g^3+10*g^2+5*g+1;

expand(%);

### Feladat

kill(all);

load("interpol")$

(1)

n:2; makelist([k*%pi/2/n,sin(k*%pi/2/n)],k,-n,n);

L2:lagrange(%);

n:3; makelist([k*%pi/2/n,sin(k*%pi/2/n)],k,-n,n);

L3:lagrange(%);

n:4; makelist([k*%pi/2/n,sin(k*%pi/2/n)],k,-n,n);

L4:lagrange(%);

plot2d([sin(x),L2,L3,L4],[x,-%pi/2,%pi/2])$

plot2d([L2-sin(x),L3-sin(x),L4-sin(x)],
    [x,-%pi/2,%pi/2])$

(2)

n:2; makelist([k*%pi/2/n,sin(2*k*%pi/2/n)],k,-n,n);

L2:lagrange(%);

n:3; makelist([k*%pi/2/n,sin(2*k*%pi/2/n)],k,-n,n);

L3:lagrange(%);

n:4; makelist([k*%pi/2/n,sin(2*k*%pi/2/n)],k,-n,n);

L4:lagrange(%);

plot2d([sin(2*x),L2,L3,L4],[x,-%pi/2,%pi/2])$

plot2d([L2-sin(2*x),L3-sin(2*x),L4-sin(2*x)],
    [x,-%pi/2,%pi/2])$

(3)

n:2; makelist([k/n,abs(k/n)],k,-n,n);

L2:lagrange(%);

n:3; makelist([k/n,abs(k/n)],k,-n,n)$

L3:lagrange(%)$

n:4; makelist([k/n,abs(k/n)],k,-n,n)$

L4:lagrange(%)$

n:10; makelist([k/n,abs(k/n)],k,-n,n)$

L10:lagrange(%)$

plot2d([abs(x),L2,L3,L4],[x,-1,1])$

plot2d([abs(x),L10],[x,-1,1])$