# Kedvenc Matematikai Kísérleteim

## Alapok

## Halmazok

## Számok

### Valós számok

### Természetes, egész és racionális számok

### Megszámlálható halmazok

### Komplex számok

### Komplex számok

kill(all);

A komplex számok definiálásához műveleteket vezetünk be a valós számpárok között.

infix("c+"); "c+"(z,w):=[z[1]+w[1],z[2]+w[2]];

[1,2] c+ [7,11];

infix("c*"); "c*"(z,w):=[z[1]*w[1]-z[2]*w[2],z[1]*w[2]+z[2]*w[1]];

[1,2] c* [7,11];

[x,y] c+ [0,0];

[x,y] c+ [-x,-y];

[x,y] c* [x/(x^2+y^2),-y/(x^2+y^2)];

ratsimp(%);

[x,0] c+ [y,0];

[x,0] c* [y,0];

i:[0,1];

i c* i;

 Mivel a Maxima eleve komplex számokkal számol, nincs szükség erre.  Az itt i-vel jelölt komplex szám jele %i.

kill(all);

z:x+y*%i; realpart(z); imagpart(z);

conjugate(z); conjugate(%); conjugate(1/z);

### Példa

z:64/(sqrt(3)+%i);

rectform(z); realpart(z); imagpart(z);
conjugate(z); rectform(%);

### Komplex számok abszolút értéke

abs(z); cabs(z);

z:x+y*%i; abs(z); cabs(z); 
conjugate(z)/cabs(z)^2; %*z;

expand(%);

ratsimp(%);

### Feladat

### Feladat

### Feladat

### Feladat

(1)

2/(1-%i)/(3+%i); rectform(%);

(2)

1/(3+4*%i)^2; rectform(%);

(3)

(2+%i)/%i/(4*%i-3); rectform(%);

(4)

(sqrt(3)+%i)/(1-%i)/(sqrt(3)-%i);
rectform(%);

(5)

1/%i/(3-2*%i)/(1+%i); rectform(%);

(6)

%i/(1-%i)/(1-2*%i)/(1+2*%i); rectform(%);

### Feladat

z:1-5*%i; w:3+4*%i;

(1)

z/w; rectform(%);

(2)

conjugate(z)/w; rectform(%);

(3)

z/conjugate(w); rectform(%);

(4)

conjugate(z/w); rectform(%);

(5)

z/cabs(w); rectform(%);

(6)

cabs(z/w); rectform(%);

### Feladat

z:1+%i; w:1-2*%i;

(1)

z-z/w; rectform(%);

(2)

(z-1)/w; rectform(%);

(3)

z^2-%i*z/w; rectform(%);

(4)

z/(%i*w); rectform(%);

(5)

z/cabs(w); rectform(%);

### Feladat

z1:2+%i; z2:3-2*%i; z3:-1/2+sqrt(3)*%i/2;

(1)

cabs(3*z1-4*z2)+z3*conjugate(z3);
rectform(%);

(2)

z1^3+3*z1^2+4*z1-8;
rectform(%);

(3)

cabs((2*z2+z1-5-%i)/(2*z1-z2+3-%i));
rectform(%);

### Komplex számok
argumentuma és trigonometrikus alakja

carg(1+%i); bfloat(%);

polarform(1+%i);

Később tanulandó összefüggés szerint %e^(%i*φ)=cosφ+%i*sinφ.

demoivre(%);

ratsimp(%);

### Példa

z:16*sqrt(3)-16*%i; carg(z);

polarform(z);

### Gyökvonás komplex
számból

kill(all);

z:R*%e^(%i*φ); r:R^(1/n);
w:r*%e^(%i*(φ/n+2*k*%pi/n)); %^n;

radcan(%);

### Példa

w:2*%e^(-%pi/30+2*k*%pi/5);

w^5;

expand(%);

### Bővített komplex számok

kill(all);

infinity; inf; minf; abs(infinity);

### Feladat

(1)

polarform(%i);

(2)

polarform(conjugate(%i));

(3)

polarform(1+%i);

(4)

polarform(1+%i*sqrt(3));

(5)

polarform(sqrt(3)-%i);

### Feladat

sqrt(%i); polarform(%);

### Feladat

### Feladat

kill(all);

(1)

sqrt(%i); polarform(%);

(2)

sqrt(conjugate(%i)); polarform(%);

(3)

sqrt(3+4*%i); polarform(%);

(4)

sqrt(-7+24*%i); polarform(%);

### Feladat

### Feladat

kill(all);

(1)

((1+2*%i)^2-(1-%i)^3)/
  ((3+2*%i)^3-(2+%i)^2);

rectform(%);

(2)

((1-%i)^5-1)/((1+%i)^5+1);

rectform(%);

(3)

2; (1+%i)^16/2^7;

rectform(%);

(4)

-2^26; (1+%i)^52;

rectform(%);

(5)

2^18*(1+%i*sqrt(3))^2/-2^10;

rectform(%);

((1+%i*sqrt(3))/(1-%i))^20;

rectform(%);

### Feladat

kill(all);

declare(a,real); declare(b,real);
declare(c,real); ω:-1/2+%i*sqrt(3)/2;

(1)

(a*ω+b*ω^2)*(a*ω^2+b*ω);

ratsimp(%);

(2)

(a+b+c)*(a+b*ω+c*ω^2)*(a+b*ω^2+c*ω);

ratsimp(%);

(3)

(a+b*ω+c*ω^2)^3+(a+b*ω^2+c*ω)^3;

ratsimp(%);

### Feladat

### Feladat

kill(all);

(1)

r:cos(2*t)^(1/2);

plot2d([parametric,r*cos(t),r*sin(t),
            [t,-4,20]],same_xy)$

(2)

r:sin(2*t)^(1/2);

plot2d([parametric,r*cos(t),r*sin(t),
            [t,0,20]],same_xy)$

(3)

(r^2-6*r*cos(t))^2=r^2;

r:1+6*cos(t);

plot2d([parametric,r*cos(t),r*sin(t),
            [t,-4,4]],same_xy)$

r:-1+6*cos(t);

plot2d([parametric,r*cos(t),r*sin(t),
            [t,-4,4]],same_xy)$

(4)

r:4+4*cos(t);

plot2d([parametric,r*cos(t),r*sin(t),
            [t,-4,4]],same_xy)$

r:-4+4*cos(t);

plot2d([parametric,r*cos(t),r*sin(t),
            [t,-4,4]],same_xy)$

(5)

r:8*sin(t)*cos(t)^2/(sin(t)^4+cos(t)^4);

plot2d([parametric,r*cos(t),r*sin(t),
            [t,-4,4]],same_xy)$

(6)

r:1/sqrt(cos(t)^4+sin(t)^4);

plot2d([parametric,r*cos(t),r*sin(t),
            [t,-4,4]],same_xy)$

(7)

r:sqrt(cos(t)^2*sin(t)^2);

plot2d([parametric,r*cos(t),r*sin(t),
            [t,-4,4]],same_xy)$

(8)

r:sqrt(cos(t)*sin(t));

plot2d([parametric,r*cos(t),r*sin(t),
            [t,-4,4]],same_xy)$

### Feladat

kill(all);

(1)

r:t;

plot2d([parametric,r*cos(t),r*sin(t),
            [t,0,20]],same_xy)$

(2)

r:%pi/t;

plot2d([parametric,r*cos(t),r*sin(t),
            [t,1,10]],same_xy)$

(3)

r:t/(1+t);

plot2d([parametric,r*cos(t),r*sin(t),
            [t,0,20]],same_xy)$

(4)

r:2^(t/2/%pi);

plot2d([parametric,r*cos(t),r*sin(t),
            [t,0,20]],same_xy)$

(5)

r:2*(1+cos(t));

plot2d([parametric,r*cos(t),r*sin(t),
            [t,0,20]],same_xy)$

(6)

r:sin(3*t);

plot2d([parametric,r*cos(t),r*sin(t),
            [t,0,20]],same_xy)$

(7)

r:cos(2*t)^(1/2);

plot2d([parametric,r*cos(t),r*sin(t),
            [t,0,20]],same_xy)$

### Feladat

### Feladat

### Feladat

### Feladat

### Feladat

### Feladat

### Feladat

### Feladat

### Kvaterniók

kill(all);

infix("q+"); "q+"(p,q):=[p[1]+q[1],p[2]+q[2]];

infix("q*");
"q*"(p,q):=[p[1]*q[1]-conjugate(q[2])*p[2],q[2]*p[1]+p[2]*conjugate(q[1])];

declare(z,complex); declare(w,complex);

[z,w] q+ [0,0]; [z,w] q+ [-z,-w];

[z,w] q* [1,0]; r:abs(z)^2+abs(w)^2;
[z,w] q* [conjugate(z)/r,-w/r]; ratsimp(%);

[z,0] q+ [w,0]; [z,0] q* [w,0];

j:[0,1]; j q* j; [z,0] q+ ([w,0] q* j);

k:[0,%i]; k q* k; i:[%i,0]; i q* i;

declare(a,real); declare(b,real);
declare(c,real); declare(d,real);

[a,0] q* [z,w]; [z,w] q* [a,0];

j q* [z,0]; [z,0] q* j;

realpartq(p):=realpart(p[1]);

p:[a+%i*b,c+%i*d]; realpartq(p);

q:[z,w]; realpartq(q);

vectpartq(p):=[imagpart(p[1]),
    realpart(p[2]),imagpart(p[2])];

vectpartq(p); vectpartq(q);

tv2q(t,v):=[t+%i*v[1],v[2]+%i*v[3]];

p:tv2q(a,[b,c,d]);

conjugateq(p):=tv2q(realpartq(p),
    -vectpartq(p)); conjugateq(p);

### Kvaterniók abszolút értéke

qabs(p):=sqrt(abs(p[1])^2+abs(p[2])^2);

p q* conjugateq(p);

expand(%);

p q* conjugateq(p)/qabs(p)^2;

ratsimp(%);

### Feladat

### Feladat

### Feladat

### Feladat

### Vektoriális szorzás

infix("qx*"); "qx*"(p,q):=((p q* q) q+ (-q q* p))/2;

declare(a1,real); declare(b1,real);
declare(c1,real); declare(d1,real);

q:[a1+%i*b1,c1+%i*d1];

p qx* q;

expand(%);

q qx* p;

expand(%);

i qx* j; j qx* k; k qx* i; j qx* i; k qx* j; i qx* k;

declare(a2,real); declare(b2,real);
declare(c2,real); declare(d2,real);

r:[a2+%i*b2,c2+%i*d2]; p:[a+%i*b,c+%i*d];

((p qx* q) qx* r) q+ ((q qx* r) qx* p) q+
  ((r qx* p) qx* q);

expand(%);

### Kvaterniók és a három
dimenziós euklidészi tér

v:[b,c,d]; v1:[b1,c1,d1]; p:tv2q(0,v);
p1:tv2q(0,v1);

p2:p q* p1; realpartq(p2); vectpartq(p2);

infix("s*"); "s*"(v,v1):=-realpartq(tv2q(0,v) q* tv2q(0,v1)); v s* v1;

infix("x*"); "x*"(v,v1):=vectpartq(tv2q(0,v) q* tv2q(0,v1)); v x* v1;

v2:[b2,c2,d2]; v x* (v1 x* v2);

v s* (v1 x* v2);

### A szorzások geometriai jelentése

### Feladat

A belső szorzat vektorokra . a Maxima-ban

(1)

v1:[3,1,3]; v2:[1,-2,2];

v1 . v2; v1 . v1; v2 . v2;

7/sqrt(9*19);

bfloat(%);

stb.

### Feladat

kill(all);

(1)

k; 1;

(2)

6*k; 36;

(3)

6*k+k; 49;

### Feladat

A vektoriális szorzat ~ a Maxima-ban

kill(all);

load("vect")$

[1,2,3]~[4,5,6];

express(%);

Csak így fejtődik ki.  Inkább definiáljuk magunknak.

infix("x*"); "x*"(v1,v2):=
  [v1[2]*v2[3]-v1[3]*v2[2],
  v1[3]*v2[1]-v1[1]*v2[3],
  v1[1]*v2[2]-v1[2]*v2[1]];

Ez is hasznos:

uvect(v):=v/(v.v);

v:[2,-1,2]; v1:[3,1,5]; v2:[a,2,-1];

v1 x* v2; % . v ;

ratsimp(%);

solve(%=10,a);

### Forgatások

### Egyéb geometriai alkalmazások

### Feladat

(1)

v:[-2,5,1]+t*[-1,2,3];

x=v[1];

s:solve(%,t);

s:rhs(s[1]);

subst(s,t,y=v[2]);

expand(%);

subst(s,t,z=v[3]);

expand(%);

(2)

v1:[3,1,2]; v2:[-1,1,3];

v:v1-v2;

v:v1+t*v;

y=1;

s:solve(z=v[3],t);

s:rhs(s[1]);

subst(s,t,x=v[1]);

expand(%);

(3)

v:[5,1,4+t];

x=5; y=1;

(4)

v1:[-2,3,1] x* [2,0,1];

v:[6,-3,4]+t*%;

x=v[1];

s:solve(%,t);

s:rhs(s[1]);

subst(s,t,y=v[2]);

expand(%);

subst(s,t,z=v[3]);

expand(%);

### Feladat

e:[t+2,3*t,2];

v0:subst(0,t,e);

v1:[-2,1,0];

kill(u,v);

s:v0+u*(v1-v0)+v*[1,3,0];

### Feladat

t=x+2;  x:t-2; y:t/2; z:-t/2;

s:[3,1,0]+u*[-2,1,-2]+v*[2,1,-1];

### Feladat

n1:[2,-4,2]; n2:[1,-2,1];

Ha y=z=0, akkor x=1/2, illetve x=1.

([1,0,0] -[1/2,0,0]) . [1,-2,1]/sqrt(6);

### Feladat

(1) 

z:2; y:2-t; x:1+3*t;

v:[3,1,0]/sqrt(10);

p0:[1,2,2]; 

([-2,3,7]-p0) x*  v;

sqrt((25+225+36)/10);

(2)

v:[2,-1,3]/sqrt(14);

([-1,2,1]-[1,12,3]) x* v;

sqrt((32^2+2^2+22^2)/14);

(3)

z:t-5; y:2*t-1; x:9-4*t;

v:[-4,2,1]/sqrt(21);

([2,2,1]-[9,-1,-5]) x* v;

sqrt((9^2+17^2+2^2)/21);

(4)

v:[1,-1,3]-[0,2,1];

v:%/sqrt(14);

([3,1,2]-[0,2,1]) x* v;

sqrt((1+25+64)/14);

(5)

v:[-1,4,1]/sqrt(18);

[-2,4,1] x* v;

gfactor(%);

sqrt(1/18+8/9);

### Feladat

(1)

y:4-t; x:2*t-4; z:2*t+1;

[-1,2,2] . [4,-3,-5]/sqrt(9*50);

acos(abs(%));

float(%), numer;

[-1,2,2] x* [4,-3,-5];

n:%/sqrt(4^2+3^2+5^2);

abs(n . ([4,-4,1]-[-5,5,5]));

(2)

x:t; y:t; z:t;

x:-1/2+5*t; y:3-15*t; z:4*t+6/5;

[1,1,1] . [5,-15,4]
  /sqrt(3*(5^2+15^2+4^2));

acos(abs(%));

float(%), numer;

n:[1,1,1] x* [5,-15,4];

n:%/sqrt(19^2+1^2+20^2);

abs(n . [-.5,3,1.2]);

float(%), numer;

(3)

[3,1,4] . [-1,1,-4]/sqrt(26*18);

acos(abs(%));

float(%), numer;

n:[3,1,4] x* [-1,1,-4];

n:n/sqrt(8^2+8^2+4^2);

abs(n . ([5,1,9]-[4,-3,4]));

### Feladat

Egyáltalán nincs ilyen sík; ha lenne, normális
egységvektora minden koordinátájának abszolút értéke 1/2 lenne, ami lehetetlen.

### Feladat

Tegyük az origót a metszéspontba, és használjunk kvaterniókat.