# Kedvenc Matematikai Kísérleteim

## Alapok

## Halmazok és függvények

## Számok

## Határérték

## Differenciálszámítás

## Integrálszámítás

## Lineáris algebra

## Többváltozós függvények

## Mérték és valószínűség

## Fourier-elmélet

## Komplex függvénytan

## Közönséges differenciálegyenletek

### Alapfogalmak

### Egyváltozós variációszámítás

### Elemi megoldási módszerek

### Általános eredmények

### Lineáris differenciálegyenletek

### Lineáris alapprobléma

### Tétel

### Szuperpozíció,
komplexifikálás

### Alaprendszer

### Tétel

### A konstans variálása

### Tétel

### A csatolás csökkentése

### Definíció

### Tétel

### Tétel

### Konstansegyütthatós
egyenlet

### Feladat

(1)

kill(all);

load("eigen");

a:matrix([1,2],[2,4]);

eivals(a);

x1:c11*exp(0*t)+c12*exp(5*t); x2:c21*exp(0*t)+c22*exp(5*t);

solve([diff(x1,t)=x1+2*x2,diff(x2,t)=2*x1+4*x2,
    subst(t=0,x1)=5,subst(t=0,x2)=5],[c11,c12,c21,c22]);

subst(%[1],[x1,x2]);

vagy

kill(all);

load("ode2");

eq1:'diff(x1(t),t)=x1(t)+2*x2(t);

eq2:'diff(x2(t),t)=2*x1(t)+4*x2(t);

atvalue(x1(t),t=0,5);

atvalue(x2(t),t=0,5);

desolve([eq1,eq2],[x1(t),x2(t)]);

(2)

a:matrix([5,2],[-8,-3]);

eivals(a);

x1:c11*exp(t)+c12*t*exp(t); x2:c21*exp(t)+c22*t*exp(t);

solve([diff(x1,t)=5*x1+2*x2,diff(x2,t)=-8*x1-3*x2,
    subst(t=0,x1)=-3,subst(t=0,x2)=2],[c11,c12,c21,c22]);

subst(%[1],[x1,x2]);

etc.

### Magasabbrendű lineáris
differenciálegyenlet

### Tétel

### Megjegyzés

### Az adjungált egyenlet

### Adjungált egyenlet magasabbrendű
lineáris egyenletekre

### Vegyes módszerek

### Feladat

kill(all);

load("ode2");

(1) 

eq:x*'diff(y,x,2)+2*x*'diff(y,x)-x*y;

eq:ratsimp(eq/x);

(2)

φ:x

Más jelöléssel

φ:t;

xp:t*y+∫y;

xpp:t*yp+y+y;

(2*t+1)*xpp+4*t*xp-4*t*∫y;

expand(%);

eq:subst(yp='diff(y,t),%);

ode2(eq,y,t);

(3)

φ:exp(x);

etc.

(4)

y:a_0+a_1*x+a_2*x^2;

x*(x-1)*diff(y,x,2)-x*diff(y,x)+y;

expand(%);

φ:x;

etc.

(5)

y:tan(x);

diff(y,x,2)-2*(1+(tan(x)^2))*y;

trigsimp(%);

φ:tan(x);

etc.

(6)

Integrálunk:

0=(exp(x)+1)*y'-∫exp(x)*y'-2*y-∫exp(x)*y
=(exp(x)+1)*y'-exp(x)*y+∫exp(x)*y-2*y
=(exp(x)+1)*y'-(exp(x)+2)*y

etc.

### Feladat

(1)

Az inhomogén egy megoldása y=x.

A homogént integráljuk:

0=(x^2-1)*y'-∫2*x*y'+4*x*y-∫4*y+∫2*y
=(x^2-1)*y'-2*x*y+∫2*y+4x*y-∫4*y+∫2*y
=(x^2-1)*y'-2*x*y

ode2((x^2-1)*'diff(y,x)-2*x*y,y,x);

etc.

(2)

kill(all);

A változót t-re, az ismeretlent x-re cserélve,
az adjungált egyenlet:

a0:-6*t; a1:2; a2:3*t^3+t; b:4-12*t^2;

depends(y,t);

 aeq:a0*y-diff(a1*y,t)+diff(a2*y,t,2);

ratsimp(%);

aeq:%/t;

ratsimp(%);

aeq:%;

Integráljuk:

0=(3*t^2+1)*y'-∫6*t*y'+18*t*y-∫18*y+∫12*t
=(3t*2+1)*y'-6*t*y+∫6*y+18*t*y-∫18*y+∫12*y
=(3t^2+1)*y'+12*t*y

load("ode2");

ode2((3*t^2+1)*'diff(y,t)+12*t*y,y,t);

y:subst(%c=1,rhs(%));

eq:y*a0*'diff(x,t)-diff(a0*y,t)*x+y*a1*x=c+integrate(b*y,t);

eq:eq*(3*t^2+1)^3;

ratsimp(%);

eq:%;

ode2(eq,x,t);

(3)

y:a_0+a_1*x+a_2*x^2;

(x+1)*x*diff(y,x,2)+(x+2)*diff(y,x)-y;

expand(%);

y:x+2;

(x+1)*x*diff(y,x,2)+(x+2)*diff(y,x)-y;

φ:x+2;

etc.

### Feladat

kill(all);

(1)

solve(λ^2-λ-2,λ);

c1*exp(2*x)+c2*exp(-x);

vagy

load("ode2");

e:'diff(y(x),x,2)+'diff(y(x),x)-2*y(x)=0;

desolve(e,y(x));

etc.

### Feladat

ode2('diff(y,x,2)+y=0,y,x);

bc2(%,x=0,y=0,x=%pi/2,y=1);

### Feladat

(1)

eq:'diff(y(x),x,2)-y(x)/x^2=0;

eq:eq*x^2;

eq:ratsimp(eq);

desolve(eq,y(x));

helyett inkább x=exp(s) helyettesítéssel

eq:'diff(w(s),s,2)-w(s);

desolve(eq,w(s));

etc.