# Kedvenc Matematikai Kísérleteim

## Alapok

## Halmazok és függvények

## Számok

## Határérték

## Differenciálszámítás

## Integrálszámítás

## Lineáris algebra

## Többváltozós függvények

## Mérték és valószínűség

## Fourier-elmélet

## Komplex függvénytan

## Közönséges differenciálegyenletek

### Alapfogalmak

### Egyváltozós variációszámítás

### A fizika variációs elvei

### Példa

### Feladat: kettős inga

T:m1*(l*φ1)'^2/2+m2*(l1*φ1+l2*φ2)'^2/2
U:-g*l1*cos(φ1)-g*(l1*cos(φ1)+l2*cos(φ2))

kill(all);

L:m1*(l1*φ1p)^2/2+m2*(l1*φ1p+l2*φ2p)^2/2
+g*m1*l1*cos(φ1)+g*m2*(l1*cos(φ1)+l2*cos(φ2));

### Feladat: csúszkán lengő inga

LL:m1*(xp+l*φp)^2/2+m2*xp^2/2+m2*g*l*cos(φ);

### Egydimenziós probléma

### Du Bois-Reymond-lemma

### Tétel

### Regularitás

### Hiányos Lagrange-függvények

### Brachistochon-probléma

### A Brachistochon-probléma egyenlete

Jelölje t az időt, s a megtett utat, v a sebességet. A megoldást
keressük y(x) alakban, ahol y lefele mutat. Ha a teljes idő
T, a teljes út S, az origóból indulunk és az (x1,y1) pontba
jutunk el, akkor az energiamegmaradásból

m*g*v^2/2=m*g*y;
 
azaz v=sqrt(2*g*y), tehát teljesül a

ds/dt=sqrt(2*g*y(x(s)))

differenciálegyenlet.  A változókat szétválasztva és
integrálva

T=integrate(1,t,0,T)=1/sqrt(2*g)*integrate(1/sqrt(y(x(s)),s,0,S)

Mivel
 
s(x)=integrate(sqrt(1+yp(x)),x,0,x) ahol yp az y-nak az x szerinti deriváltja, azt kapjuk, hogy

T=1/sqrt(2*g)*integrate(sqrt(1+yp^2)/sqrt(y),x,0,x1)

Az integrandus az L Lagrange-függvény.  A konstans
szorzót elhagyhatjuk.  Mivel L nem függ x-től:

L:sqrt(1+yp^2)/sqrt(y);

Lyp:diff(L,yp);

EL:L-Lyp*yp=c;

ratsimp(%);

A (most pozitív) konstanst 1/sqrt(2*b) alakban írva

EL:subst(c=1/sqrt(2*b),%);

EL:EL*sqrt(2*b*y*(1+yp^2));

EL:radcan(%);

### Feladat

L:(y'')^2; L_y:0; L_y':0; L_y'':2y''; EL:2*y''''=0;

Minden legfeljebb harmadfokú polinom megoldás.

### Feladat: a kettős inga egyenlete

depends(φ1,t);

depends(φ2,t);

Lφ1p:diff(L,φ1p); Lφ1:diff(L,φ1);

Lφ1p:subst(φ1p=diff(φ1,t),Lφ1p);

Lφ1p:subst(φ2p=diff(φ2,t),Lφ1p);

EL1:expand(diff(Lφ1p,t)-Lφ1=0);

Lφ2p:diff(L,φ2p); Lφ2:diff(L,φ2);

Lφ2p:subst(φ2p=diff(φ2,t),Lφ2p);

EL2:expand(diff(Lφ2p,t)-Lφ2=0);

### Feladat: a csúszkán lengő inga egyenlete

depends(x,t);

depends(φ,t);

Lxp:diff(LL,xp); Lx:diff(LL,x);

Lxp:subst(φp=diff(φ,t),Lxp);

Lxp:subst(xp=diff(x,t),Lxp);

diff(Lxp,t)-Lx=0;

ELx:expand(%);

Lφp:diff(LL,φp); Lφ:diff(LL,φ);

Lφp:subst(φp=diff(φ,t),Lφp);

Lφp:subst(xp=diff(x,t),Lφp);

ELφ:expand(diff(Lφp,t)-Lφ=0);