# Kedvenc Matematikai Kísérleteim

## Alapok

## Halmazok és függvények

## Számok

## Határérték

## Differenciálszámítás

## Integrálszámítás

## Lineáris algebra

## Többváltozós függvények

## Mérték és valószínűség

## Fourier-elmélet

## Komplex függvénytan

### Holomorf függvények

### Meromorf függvények

### Laurent-sor

### Függvény rendje egy pontban

### Reziduumtétel

### Megjegyzés

### Meromorf függvények

### Megjegyzés

### Argumentum-elv

### Következmény

### Rouché tétele

### A gamma-függvény

### Feladat

### Feladat

kill(all);

(1)

-4*%pi*%i*residue(exp(z)/z^2,z,0);

(2)

solve(z^4+1);

residue(1/(z^4+1),z,rhs(%[1]))+residue(1/(z^4+1),z,rhs(%[4]));

2*%pi*%i*%;

ratsimp(%);

etc.

### Feladat

### Feladat

(1) etc.

(2) Integáljunk a negatív félegyenes
felső és alsó partján.

### Feladat

kill(all);

f:x^(2*m)-1;

g:x^(2*n)-1;

f/g;

Mivel a tört egyszerűsíthető x-1-el,
az előző feladat eredménye hasynálható,
de a reziduumokat az exp(%pi*%i*k/n),
 k=1,...,n-1 helyeken
az eredeti alakból érdemes számolni.

diff(g,x);

h:f/%;

subst(x=exp(%pi*%i*k/n),h);

expand(%);

ratsimp(%);

A szorzó tényező 1, mivel k egész.
Két mértani sor összegét kell kiszámolni.
Az első:

q:exp((2*m+1)*%pi*%i/n);

sm:(q^n-q)/(q-1);

f0:first(sm); g0:second(sm);

Szorzunk a komplex konjugálttal:

sm0:%/(conjugate(q)-1);

f1:first(sm0)*(conjugate(q)-1);

g1:g0*conjugate(q-1);

realpart(%);

expand(%);

g2:trigsimp(%);

Fel fogjuk használni az alábbi azonosságot:

1-cos(2*α);

trigsimp(%);

trigexpand(%);

trigsimp(%);

Innen a nevező:

g3:4*sin(%pi*(2*m+1)/2/n)^2;

Valóban,

trigreduce(%);

ratsimp(%);

A számláló:

f1;

expand(f1);

Nekünk csak a képzetes rész kell:

f2:imagpart(%);

Mivel m egész, ez

2*sin(2*α);

trigexpand(%);

azaz

f3:subst(α=%pi*(2*m+1)/n,%);

Innen az összeg képzetes része

f3/g3;

ami

cot(%pi*(2*m+1)/n);

trigsimp(%);

A másik összeg az m=0 speciális eset,
így adódik az eredmény.

### Feladat

(1)

kill(all);

assume(a>0);

2*%pi*%i*residue(z^2/(z^2+a^2)^2,z,%i*a);

etc.

(4)

kill(all);

2*%pi*%i*residue(1/(z^2+1),z,%i);

2*%pi*%i*residue(1/(z^2+1)^2,z,%i);

2*%pi*%i*residue(1/(z^2+1)^3,z,%i);

Tetszőleges n-re 1/(z+%i)^n n-1-edik deriváltja /(n-1)!
az %i helyen a reziduum, azaz
 (-n)(-n-1)*...*(-2*n+1)/(n-1)!/(2*%i)^(2*n-1)

(5)

kill(all);

rs:solve(z^3+1);

z0:rhs(rs[3]); z1:rhs(rs[2]); z2:rhs(rs[1]);

f:log(-z)/(z^3+1);

r0:residue(f,z,z0);

r1:residue(f,z,z1);

r2:residue(f,z,z2);

r0 O.K., de nem vlágos, hogy log(-1) mi?  Másként:

f1:log(-z)/(z-z0)/(z-z2);

r1:subst(z=z1,f1);

carg(-z1);

r1:subst(log(-z1)=carg(-z1),r1);

f2:log(-z)/(z-z0)/(z-z1);

r2:subst(z=z2,f2);

r2:subst(log(-z2)=carg(-z2),r2);

r:-%i*(r1+r2);

ratsimp(%);

integrate(1/(x^3+1),x,0,inf);

(6)

Páros, és a számláló x^(2*m1-1)-(x^(2*m2)-1).

(7)

Páros és a nevezőnek nincs valós zérushelye.

### Feladat

(1)

kill(all);

f:exp(a*t)/(1+exp(t));

ff:subst(t=t+2*%pi*%i,f);

f-ff;

ratsimp(%);

residue(f,t,%i*%pi);

%*2*%pi*%i=I*(1-exp(2*%pi*%i*a));

solve(%,I);

realpart(%);

demoivre(%);

trigreduce(%);

trigexpand(%);

trigsimp(%);

(2)

kill(all);

f:(exp(a1*t)-exp(a2*t))/(1-exp(t));

limit(f,t,0);

ff:subst(t=t+%pi*%i,f);

Kicsit hanyagul:

I-ff=0;

demoivre(%);

subst(exp(a1*t)=%pi*(exp(t)+1)/sin(%pi*a1),%);

subst(exp(a2*t)=%pi*(exp(t)+1)/sin(%pi*a2),%);

solve(%,I);

### Feladat

(1)

x=exp(t) helyettesítéssel

(2)

kill(all);

Kiszámítjuk a

'integrate((cos(A*x)-cos(B*x))/x^2,x,0,inf);

integrált, majd legyen A=0, B=2.
Ennek a fele a keresett integrál.

Az integrál kiszámítására integráljunk egy 0 középpontú
kis és egy nagy félkörön meg két egyenes szakaszon:

assume(A>=0);

assume(B>=0);

f:(exp(%i*A*z)-exp(%i*B*z))/z^2;

w:R*exp(%i*t);

dw:diff(w,t);

0;dw*subst(z=R*exp(%i*t),exp(%i*A*z)/z^2);

cabs(%);

A nagy félkörön vett integrál nullához tart.

taylor(exp(A*%i*z)-exp(B*%i*z),z,0,3);

%/z^2;

A kis félkörön vett integrál  (A-B)*%i-szer 1/z
integráljához tart, ami -%pi%i.  Tehát a keresett
integrál

(B-A)*%pi/2;

Röviden:

integrate((sin(x))^2/x^2,x,0,inf);

(3)

Az előzőből, felhasználva, hogy

cos((b-a)*x)-cos((b+a)*x);

trigexpand(%);

expand(%);

trigexpand(%);

A=b-a; B=b+a;

ahonnan az integrál

%pi*a/2;

Röviden:

kill(all);

assume(b-a>0,a>0);

integrate(sin(a*x)*sin(b*x)/x^2,x,0,inf);

(4)

kill(all);

integrate((sin(x))^3/x^3,x,0,inf);

(5)

kill(all);

assume(a>0);

%pi*%i*residue(exp(%i*z)/(z^2+a^2),z,%i*a);

f:cos(x)/(x^2+a^2);

integrate(f,x,0,inf);

(6)

kill(all);

assume(a>0);

%pi*residue((exp(%i*z)-1)/(z*(z^2+a^2)),z,%i*a);

expand(%);

integrate(sin(x)/(x*(x^2+a^2)),x,0,inf);

(7)

kill(all);

assume(a>0);

0;f:exp(-x^2/2)*cos(a*x);

0;integrate(f,x,0,inf);

Integráljuk az alábbi függvényt egy téglalap mentén:

0;f:exp(-z^2/2);

0;f0:subst(z=t,f);

0;f1:subst(z=t+%i*a,f);

0;f1:expand(f1);

0;f2:realpart(f1);

0;eq:2*exp(a^2/2)*I=integrate(exp(-t^2/2),t,minf,inf);

0;solve(eq,I);

### Feladat

### Feladat: β-integrál

### Feladat

Indukcióval

### Elliptikus integrálok és elliptikus függvények