# Kedvenc Matematikai Kísérleteim

## Alapok

## Halmazok és függvények

## Számok

## Határérték

## Differenciálszámítás

## Integrálszámítás

## Lineáris algebra

## Többváltozós függvények

## Mérték és valószínűsége

## Fourier-elmélete

## Komplex függvénytan

### Holomorf függvények

### Definíció

### Megjegyzés

### Feladat

kill(all);

exp(x+%i*y);

realpart(%);

imagpart(%);

plot3d(abs(exp(x+%i*y)),[x,-5,5],[y,-5,5]);

plot3d(realpart(exp(x+%i*y)),[x,-5,5],[y,-5,5]);

plot3d(imagpart(exp(x+%i*y)),[x,-5,5],[y,-5,5]);

Vízszintes vonalak képei

L:create_list([parametric,realpart(exp(t+j*%pi/6*%i)),imagpart(exp(t+j*%pi/6*%i)),[t,-3,3]],j,-5,6);

plot2d(L,same_xy);

Függőleges vonalak képei

L:create_list([parametric,realpart(exp(j/2+%i*t)),imagpart(exp(j/2+%i*t)),[t,-3,3]],j,-4,4);

plot2d(L,same_xy);

Az inverz függvényt is használhatjuk ábrázolásra.
A ,,négyszögesedést" a nem elég jó felbontás okozza.

contour_plot(min(3,max(-3,realpart(log(x+%i*y)))),[x,-9,9],[y,-9,9],[grid,209,209],
[gnuplot_preamble,"set cntrparam levels 12"],[yx_ratio,1]);

A hamis vonalakat a kis x, y értékek generálják.

contour_plot(imagpart(log(x+%i*y)),[x,-9,9],[y,-9,9],[grid,209,209],
[gnuplot_preamble,"set cntrparam levels 12"],[yx_ratio,1]);

### Az inverz függvény differenciálási szabálya komplexben

### Következmény

### Tétel

### Cauchy-Riemann-egyenletek

### A zérushelyek izoláltságának elve

### Az analitikus folytatás elve

### A nyílt leképezések tétele

### Következmény: maximumelv

### Feladat

solve(z^5=w,z);

### Feladat

### Feladat

Egyik sem.

### Feladat

Ha k=-1, akkor nincs, egyébként van.

### Feladat

Nem.

### Feladat

### Feladat

### Feladat

### Feladat

### Riemann-felületek

### Feladat

### Feladat

solve(z=(a*z+b)/(c*z+d),z);

### Feladat

kill(all);

Ez %i-t az origóba viszi:

f(z):=(z-%i)/(z+%i);

Ha a f a z0-at az origóba viszi, akkor z0 konjugáltját
a végtelenbe, mivel a valósak az egységkörbe, pl.

declare(z0,complex);

f(z):=(z-z0)/(z-conjugate(z0));

Mivel a valósak egységnyi abszolút értékübe mennek,
az általános esetben lehet még egy forgatás:

f(z):=α*(z-z0)/(z-conjugate(z0));

ahol cabs(α)=1.

### Feladat

Forgatások.

Az összes: ha z0 az origóba megy, akkor a tükörképe,
a konjugáltjának reciproka a ∞-be, így

f(z):=α*(z-z0)/(z-1/conjugate(z0));

azaz

f(z):=β*(z-z0)/(1-z*conjugate(z0));

declare(β,complex);

Mivel exp(%i*φ) képe egységnyi abszolút értékű,

cabs(β)=1;

### Feladat

kill(all);

f(z):=(z+1/z)/2;

Nyilván z és 1/z képe ugyan az, ezért az egységkör
belsejét vesszük. A körök képe:

L:create_list([parametric,
        realpart(f(j/8*(cos(t)+%i*sin(t)))),
        imagpart(f(j/8*(cos(t)+%i*sin(t)))),[t,-%pi,%pi]],j,1,8)$

plot2d(L,same_xy);

A sugarak képe:

L:create_list([parametric,
        realpart(f(t*exp(%i*j*%pi/6))),
        imagpart(f(t*exp(%i*j*%pi/6))),[t,.1,1]],j,-5,6)$

plot2d(L,same_xy);

### Feladat

etc.

### Feladat

(1)

kill(all);

f(z):=sin(z);

A vízszintes vonalak képe:

L:create_list([parametric,realpart(f(t+j/4*%i)),imagpart(f(t+j/4*%i)),[t,-3,3]],j,0,11)$

plot2d(L,[x,-5,5],[y,-5,5],same_xy);

L:create_list([parametric,
        realpart(f(j/8*(cos(t)+%i*sin(t)))),
        imagpart(f(j/8*(cos(t)+%i*sin(t)))),[t,-%pi,%pi]],j,1,8)$

A függőleges vonalak képe:

L:create_list([parametric,realpart(f(j/2+%i*t)),imagpart(f(j/2+%i*t)),[t,-3,3]],j,-4,4)$

plot2d(L,[x,-5,5],[y,-5,5],same_xy);

etc.

### Feladat

etc.

### Feladat

f(z):=z/(1-z)^2;

A körök képe:

L:create_list([parametric,
        realpart(f(j/8*(cos(t)+%i*sin(t)))),
        imagpart(f(j/8*(cos(t)+%i*sin(t)))),[t,-%pi,%pi]],j,1,8)$

plot2d(L,[x,-5,5],[y,-5,5],same_xy);

A sugarak képe:

L:create_list([parametric,
        realpart(f(t*exp(%i*j*%pi/6))),
        imagpart(f(t*exp(%i*j*%pi/6))),[t,.1,1]],j,-5,6)$

plot2d(L,[x,-5,5],[y,-5,5],same_xy);

### Cauchy-féle alaptétel

### Tétel

### Előkészítő példa

### Definíció

### Lemma

### Tétel

### Feladat

### Feladat

A körív mentén

z:R*(cos(t)+%i*sin(t));

diff(z,t);

%/(2*%i*R(cos(t)+%i*sin(t)));

factor(%);

exponentialize(%);

trigreduce(%);

ami 1/2. Így

0=2*'integrate((exp(%i*t)-1)/(2*%i*t),t,0,R)+
'integrate((exp(%i*R*(cos(t)+%i*sin(t)))-1)/2,t,0,%pi);

Az első integrálban

exp(%i*R*(cos(t)+%i*sin(t)));

ratsimp(%);

cabs(%);

ami tart nullához, ha R tart végtelenhez. Így a -1/2
integrálja marad, ami -π/2.  A másik integrál képzetes
része tehát π/2.

Közvetlenül:

integrate(sin(x)/x,x,0,inf);

### Feladat

kill(all);

A köríven az integrál

'integrate(exp(-R^2*exp(2*%i*t))*R*%i*exp(%i*t),t,0,%pi/4);

0;cabs(exp(-R^2*exp(2*%i*t))*R*%i*exp(%i*t));

tart 0-hoz, ha R tart végtelenhez.

Így a két félegyenesen vett integrál határértéke ugyanaz.

A ferdén:

z:t*(1+%i)/sqrt(2);

diff(z,t);

-z^2;

ratsimp(%);

0;I:'integrate(exp(-z^2)*(1+%i)/sqrt(2),t,0,inf);

0;I:trigreduce(I);

0;I:exponentialize(I);

I:demoivre(%);

I:ratsimp(%);

Ir:realpart(I);

Ii:imagpart(I);

A kettő egyenlő, összegük

integrate(exp(-t^2),t,0,inf)*sqrt(2);

Közvetlenül:

integrate(cos(x^2),x,0,inf);

integrate(sin(x^2),x,0,inf);

### Feladat

### Tétel

### Cauchy-féle integrálformulák

### Morera tétele

### Cauchy-egyenlőtlenségek

### Liouville tétele

### Az algebra alaptétele

### Megjegyzés

### Feladat

diff(asinh(x),x);

taylor(asinh(x),x,0,10);

### Schwarz-lemma

### Tétel

### Definíció

### Tétel

### Konform ekvivalencia

### Riemann tétele

### Feladat

A bevágott síkon a függvény a 2*log(z) valós része,
így a harmonikus társ konstanstól eltekintve 2*arg(z),
így itt is csak ez lehetne, de nem folytonos.

Másként a harmonikus társ kiszámolásásra használt
függvény körintegrálja nem nulla, így az integrál függ
az úttól.

### Feladat

(1)

 u:x^2-y^2+2*x;

ux:diff(u,x);

uy:diff(u,y);

g:ux-%i*uy;

gx:subst(x=t,%);

gx:subst(y=0,gx);

Ix:integrate(gx,t,0,x);

gy:subst(y=t,g);

Iy:integrate(gy*%i,t,0,y);

G:ratsimp(Ix+Iy);

w:realpart(G);

v:imagpart(G);

wx:diff(w,x); wy:diff(w,y);

vx:diff(v,x); vy:diff(v,y);

etc.

### Feladat

(1)

kill(all);

c:3.1;

A töltések az 1 és -1 pontban.

A komplex potenciál:

p:%i*log(x+%i*y-1)-%i*log(x+%i*y+1);

Az ekvipotenciális vonalak (körök):

contour_plot(min(c,max(-c,imagpart(p))),[x,-3,3],[y,-3,3],[grid,209,209],
[gnuplot_preamble,"set cntrparam levels 13"]);

Az erővonalak:

contour_plot(realpart(p),[x,-3,3],[y,-3,3],[grid,209,209],
[gnuplot_preamble,"set cntrparam levels 13"]);

(2)

kill(all);

A két ponttöltés komplex potenciálját használhatjuk, ha az r sugarú
c középponjú körhöz a p-t úgy választjuk, hogy a p>0 pontban
lévő töltés a körre való tükrözésnél a -p pontba menjen:

r^2=(c-p)*(c+p);

solve(%,p);

(3)

c1^2-r1^2=c2^2-r2^2;

solve(%,c2);

### Feladat

A hőáramlás olyan mint az elektromos áramlás.
Ha p=u+%i*v a komplex potenciál, akkor a potenciál negatív
gradiense, a térerősség E=-vx-%i*vy=%i*conjugate(p'(z)).

Az koncentrikus kört vigyük át excentrikus körbe.

### Feladat

kill(all);

f(z):=z+exp(z);

L1:create_list([parametric,realpart(f(t+%pi*j/6*%i)),imagpart(f(t+%pi*j/6*%i)),[t,-5,3]],j,-6,6)$

plot2d(L1,[x,-5,5],[y,-5,5],same_xy);

L2:create_list([parametric,realpart(f(j+t*%i)),imagpart(f(j+t*%i)),[t,-%pi,%pi]],j,-5,5)$

plot2d(L2,[x,-5.1,5.1],[y,-5,5],same_xy);

Az f inverze összerakva a  végtelen síkkondenzátor
p(w)=w  potenciáljával a félsík kondenzátor potenciálját adja,
így a fenti ábrák annak az ekvipotenciális vonalait illetve
erővonalait mutatják.

L:append(L1,L2)$

plot2d(L,[x,-5.1,5.1],[y,-5,5],same_xy);

### Feladat

kill(all);

Ha a feszültség egyező előjelű lenne, az

f(z):=z+1/z;

leképezést használhatnánk.

kill(all);

Tekintsük a

F(z):=(z+a)/(z-a);

leképezést.  Ez a kétszeresen felhasított síkot
az egyszeresen (a nemnegatív félegyenessel)
felhasított síkba viszi, 

sqrt(-%i);

rectform(%);

Ezt a négyetgyökvonás a felső félsíkba viszi, de
előbb el kell forgatni, majd vissza:

G(z):=%i*sqrt(-z);

G(F(z));

a képe legyen -1,  -a képe legyen 1:

H(z):=(z-1)/(z+1);

H(G(F(z)));

e:radcan(%);

expand(%);

ratsimp(%);

a:1;

f:log(((x+%i*y)+%i*sqrt(1-(x+%i*y)^2)))-%pi*%i/2;

Az ekvipotenciális vonalak:

contour_plot(imagpart(f),[x,-3,3],[y,-3,3],[grid,209,209],
[gnuplot_preamble,"set cntrparam levels 15"]);

Az erővonalak:

contour_plot(realpart(f),[x,-3,3],[y,-3,3],[grid,209,209],
[gnuplot_preamble,"set cntrparam levels 15"]);

### Feladat

(1/1)

kill(all);

f(z):=(z-1)/(z+1);

L:create_list([parametric,realpart(f(t+j/4*%i)),imagpart(f(t+j/4*%i)),[t,-3,3]],j,-6,6)$

plot2d(L,[x,-5,5],[y,-5,5],same_xy);

A függőleges vonalak képe:

L:create_list([parametric,realpart(f(j/2+%i*t)),imagpart(f(j/2+%i*t)),[t,-3,3]],j,-6,6)$

plot2d(L,[x,-5,5],[y,-5,5],same_xy);

(1/2)

kill(all);

f(z):=z^2;

L:create_list([parametric,realpart(f(t+j/4*%i)),imagpart(f(t+j/4*%i)),[t,-3,3]],j,-6,6)$

plot2d(L,[x,-5,5],[y,-5,5],same_xy);

A függőleges vonalak képe:

L:create_list([parametric,realpart(f(j/2+%i*t)),imagpart(f(j/2+%i*t)),[t,-3,3]],j,-6,6)$

plot2d(L,[x,-5,5],[y,-5,5],same_xy);

(1/3)

kill(all);

z=(w-2)/(w+2);

solve(%,w);

f(z):=-(2*z+2)/(z-1);

L:create_list([parametric,realpart(f(t+j/4*%i)),imagpart(f(t+j/4*%i)),[t,-3,3]],j,-6,6)$

plot2d(L,[x,-5,5],[y,-5,5],same_xy);

A függőleges vonalak képe:

L:create_list([parametric,realpart(f(j/2+%i*t)),imagpart(f(j/2+%i*t)),[t,-3,3]],j,-6,6)$

plot2d(L,[x,-5,5],[y,-5,5],same_xy);

(2)

g(z):=z^2;

h(z):=(z-1)/(z+1);

f(g(h(z)));

ratsimp(%);

(3)

Ha a kör középpontja az %ih pontban van, akkor
a képe

f(z):=z+1/z;

h:0.3;

r:sqrt(1+h^2);

z:r*cos(t)+%i*r*sin(t);

plot2d([parametric,realpart(f(r*cos(t)+%i*(h+r*sin(t)))),
        imagpart(f(r*cos(t)+%i*(h+r*sin(t)))),[t,-%pi,%pi]],
    [x,-3,3],[y,-3,3],same_xy);

a külsejének a képe ennek a külseje.

h:0.0;

r:sqrt(1+h^2);

plot2d([parametric,realpart(f(r*cos(t)+%i*(h+r*sin(t)))),
        imagpart(f(r*cos(t)+%i*(h+r*sin(t)))),[t,-%pi,%pi]],
    [x,-3,3],[y,-3,3],same_xy);

(4)

Legyen a nagyobb kör középpontja d távolságban
a kisebb kör középpontjától, az u+%i*v pontban.

kill(h,r,d,u,v);

h:0.3;

d:0.1;

r:d+sqrt(1+h^2);

v:h*(1-u);

u:1-r/sqrt(1+h^2);

v:h*(1-u);

plot2d([parametric,realpart(f(u+r*cos(t)+%i*(v+r*sin(t)))),
        imagpart(f(u+r*cos(t)+%i*(v+r*sin(t)))),[t,-%pi,%pi]],
    [x,-3,3],[y,-3,3],same_xy);

Ha h=0, a Zsukovszkij-kormányt kapjuk:

kill(h,r,d,u,v);

h:0;

d:0.1;

r:d+sqrt(1+h^2);

v:h*(1-u);

u:1-r/sqrt(1+h^2);

v:h*(1-u);

plot2d([parametric,realpart(f(u+r*cos(t)+%i*(v+r*sin(t)))),
        imagpart(f(u+r*cos(t)+%i*(v+r*sin(t)))),[t,-%pi,%pi]],
    [x,-3,3],[y,-3,3],same_xy);

### Feladat

(1) Négyzetreemeléssel a felső félsíkba,
 az pedig az egységkörre.

(2) Forgatás, gyökvonás, forgatás.

(3) Először x-et nullába, majd négyzetgyökkel
félkörbe, a félkört forgassuk el. A felső félkört
a sin a felső félsíkba viszi.

(4) Az z+1/z leképezés a kör belsejét a síkba visz, a
kerületét a -2,2 szakaszba.  A bevágások a szakasz
hosszabbításásba mennek.  Egy konstansszoros
inverzével ezt visszavisszük a körbe.

(5) A négyzetreemelés bemetszett síkba viszi. Eltolás
után négyzetgyökvonás a felső félsíkba.

(6) Eltolás, majd mint az egyik kondenzátornál félsíkba.

(7) exp (4)-be viszi.

### Feladat

### Feladat

### Weierstrass tétele

### Feladat