# Kedvenc Matematikai Kísérleteim

## Alapok

## Halmazok és függvények

## Számok

## Határérték

## Differenciálszámítás

## Integrálszámítás

## Lineáris algrebra

## Többváltozós függvények

## Mérték és valószínűség

## Fourier-elmélet

### Fourier-sorok

### Általánosított Pitagorasz-tétel

### Fourier-sor

### Tétel

### Tétel

### Definíció

### Klasszikus Fourier-sorok

### Példák

### Tétel

### Következmény

### Weierstrass második
approximációs tétele

### Lemma

load(orthopoly)$

plot2d([chebyshev_t(0,x),chebyshev_t(1,x),
        chebyshev_t(2,x),chebyshev_t(3,x)],[x,-1,1])$

plot2d([chebyshev_u(0,x),chebyshev_u(1,x),
        chebyshev_u(2,x),chebyshev_u(3,x)],[x,-1,1])$

### Weierstrass első
approximációs tétele

### Megjegyzés

taylor(sin(x),x,0,7);

f:%/x;

f:taytorat(%);

taylor(sin(x),x,0,9);

g:%/x;

g:taytorat(%);

chebyshev_t(8,x);

expand(%);

h:g-%/362880/128;

plot2d([sin(x)/x-f,sin(x)/x-g,sin(x)/x-h],[x,0,%pi/4])$

### Tétel

load(interpol)$

L:makelist([k/4,abs(k/4)],k,-4,4);

p:lagrange(L);

LC:makelist([cos(%pi*(2*k-1)/18),abs(cos(%pi*(2*k-1)/18))],k,1,9);

LC:float(%), numer;

pC:lagrange(LC);

plot2d([abs(x),p,pC],[x,-1,1])$

### Feladat

kill(all);

taylor(sin(x),x,0,7);

f:%/x;

(%pi/2)^6/7!;

float(%), numer;

Mivel a sor alternáló, a hiba legfeljebb az
első elhagyott tag hibája.

ε:0.003;

f:taylor(sin(x),x,0,5);

f0:taytorat(f)/x;

load("orthopoly");

chebyshev_t(4,y);

T4:subst(y=%pi*x/2,%);

expand(%);

f1:f0-T4*2/%pi^4/5!;

expand(%);

ε:ε+2/%pi^4/5!;

float(%), numer;

### Feladat

taylor(2^x,x,1/2,8);

A hiba például mértani sorral becsülhető, legfeljebb
az első elhagyott tag kétszerese.

ε:2*sqrt(2)*log(2)^5*(1/2)^5/120;

float(%), numer;

f:taylor(2^x,x,1/2,4);

f0:expand(taytorat(f));

float(%), numer;

### Feladat

Például a sin esetén sin(x)/x_et közelítjük |x|<=%pi/2-re,
és a fokszámot csökkentjük, mint fent láttuk.
A többi esetet erre vezetjük vissza.  A kezdeti
közelítés duplapontos esetben jóval pontosabb legyen,
mint az 1 nagyságrendű eredmény  2^(-54) nagyságrendű hibája.
Nagy pontossággal számoljuk az együtthatókat!

for i thru 12 do print(float((%pi/2)^(2*i)/(2*i+1)!/2^(-54)));

### Unicitási tétel

### Következmény

### Riemann-Lebesgue-lemma

### Dirichlet-formula

### Dini-kritérium

### Következmény:
Lipschitz-kritérium

### Következmény

### Példa

### Lemma

### Dirichlet-Jordan-tétel

### Következmény: Riemann-féle
lokalizációs tétel

### Többdimenziós Fourier-sorok

### Klasszikus ortogonális
polinomok

load(orthopoly)$

### Feladat

A páratlan függvények

### Feladat

Az 1, t-1/2 ortogonálisak.

integrate((t-1/2)^2,t,0,1);

c0:integrate(1*exp(t),t,0,1);

c1:integrate(exp(t)*(t-1/2)/sqrt(12),t,0,1);

c0*1+c1*(t-1/2)/sqrt(12);

expand(%);

### Feladat

c0:integrate(x^2*1,x,0,1);

c1:integrate(x^2*(x-1/2)/sqrt(12),x,0,1);

x^2-c0-c1*(x-1/2)/sqrt(12);

expand(%);

### Feladat

N0:integrate(1,x,-1,1);

f0:1/sqrt(N0);

c0:integrate(f0*x,x,-1,1);

N1:integrate(x^2,x,-1,1);

f1:x/sqrt(N1);

c0:integrate(f0*x^2,x,-1,1);

c1:integrate(f1*x^2,x,-1,1);

f2:x^2-c0*f0;

N2:integrate(f2^2,x,-1,1);

f2:f2/sqrt(N2);

### Feladat

(1)

N2:integrate(x^4,x,0,1);

f2:x^2/sqrt(N2);

c2:integrate(f2*x^3,x,0,1);

f3:x^3-c2*f2;

N3:integrate(f3^2,x,0,1);

f3:f3/sqrt(N3);

c2:integrate(x*f2,x,0,1);

c3:integrate(x*f3,x,0,1);

f1:x-c2*f2-c3*f3;

N:integrate(f1^2,x,0,1);

sqrt(N);

(2)

sqrt(2*%pi);

(3)

f0:1;

f1:(x-1/2)^2;

N1:integrate(f1^2,x,0,1);

f1:f1/sqrt(N1);

c0:integrate(x^2,x,0,1);

c1:integrate(x^2*f1,x,0,1);

f2:x^2-c0*f0-c1*f1;

N2:integrate(f2^2,x,0,1);

f2:f2/sqrt(N2);

c0:integrate(x^3*f0,x,0,1);

c1:integrate(x^3*f1,x,0,1);

c2:integrate(x^3*f2,x,0,1);

f:x^3-c0*f0-c1*f1-c2*f2;

f:expand(%);

N:integrate(f^2,x,0,1);

sqrt(N);

(4)

N1:integrate(x^2,x,0,1);

f1:x/sqrt(N1);

c1:integrate(x^2*f1,x,0,1);

f2:x^2-c1*f1;

N2:integrate(f2^2,x,0,1);

f2:f2/sqrt(N2);

c1:integrate(x^3*f1,x,0,1);

c2:integrate(x^3*f2,x,0,1);

f:x^3-c1*f1-c2*f2;

N:integrate(f^2,x,0,1);

sqrt(N);

### Feladat

(1)

a0:2/%pi*integrate(sin(x),x,0,%pi);

an:2/%pi*integrate(sin(x)*cos(n*x),x,0,%pi);

subst((-1)^n,cos(%pi*n),%);

ratsimp(%);

(2)

sin(x)^4;

trigrat(%);

(3)

a0:1;

an:2/%pi*integrate(cos(n*x),x,0,%pi/2);

(4)

assume(abs(a)<1);

a0:2/%pi*integrate((1-a^2)/(1-2*a*cos(x)+a^2),x,0,%pi);

an:2/%pi*integrate((1-a^2)*cos(n*x)/(1-2*a*cos(x)+a^2),x,0,%pi);

(5)

a0:2/%pi*integrate((1-a*cos(x))/(1-2*a*cos(x)+a^2),x,0,%pi);

an:2/%pi*integrate((1-a*cos(x))*cos(n*x)/(1-2*a*cos(x)+a^2),x,0,%pi);

(6)

plot2d(entier(2*x)-2*entier(x),[x,-4,4],[y,-.2,1.2])$

a0:1;

bn:4*integrate(1/2*sin(2*%pi*n*x),x,0,1/2);

(7)

plot2d(entier(4*x)-3*entier(2*x)+2*entier(x),[x,-4,4],[y,-1.2,1.2])$

a0:0;

bn:4*integrate(sin(2*%pi*n*x),x,1/4,1/2);

(8)

Tagonként integrálunk

(9)

Tagonként integrálunk

(10)

an:integrate(cos(n*x)*log(sin(x/2)),x,0,%pi);

Ez egy konjugált Fourier-sor összege

### Feladat

etc.

### Feladat

(1) Mindenütt a függvény, Lipschitz-kritérium

(2) Mindenütt a függvény, analitikus

### Feladat

assume(δ>0);

an:integrate(cos(n*x),x,0,δ)*2/%pi;

### Feladat

a0:integrate(sin(x),x,0,%pi);

b3:integrate(sin(x)*sin(3*x),x,0,%pi);

a3:integrate(sin(x)*cos(3*x),x,0,%pi);

### Feladat

a0:2/%pi*integrate(sin(x),x,0,%pi);

t:2*integrate(sin(x)^2,x,0,%pi)/2/%pi;

(a0/2)^2/(1/2);

### Feladat

A függvény páros, x-1 ha x<2 és 2-x, ha x<4. Az a1-ből lesz a sin.

a1:2*integrate((x-1)*cos(%pi*x/4),x,0,2)
+2*integrate((2-x)*cos(%pi*x/4),x,2,4);

ratsimp(%);

Ennek a négyzetét kell hasonlítani az integrál teljesítményéhez.

### Feladat

A π szerint periódikus, a 0 és π között identikus függvény
sin-sorából kivonjuk  a 0-tól c-ig nulla, onnan π-ig lineárisan nulláig csökkenő
függvény sin-sorát. Pl.

declare(n,integer);

bn:2*integrate((%pi/2-(x-%pi/2))*sin(n*x),x,%pi/2,%pi);

trigsimp(%);

### Feladat

(1) Kiszámoljuk a belső szorzatokat, pl.

b11:integrate(x^2*exp(-x),x,0,inf);

etc.