%
%    Usage:  amstex bevmgI.tex
%            dvips bevmgI -o
%
\documentstyle{amsppt}
\tolerance=5000
\magnification=\magstep1
\hsize=6.2truein
\nopagenumbers
%\language=\hun

\newwrite\xrefsout
\immediate\openout\xrefsout=xrefsout.tex

\def\help{\hbox{} If you have any questions, please ask Antal J\'arai\vfill\eject}

\let\vp=\varphi
\let\ta=\tau
\let\si=\sigma
\let\ca=\cap
\let\cu=\cup
\let\ti=\times
\let\om=\omega
\let\sm=\setminus
\let\ld=\ldots


\def\pomb#1{\setbox0=\hbox{#1}%
        \kern-.025em\copy0\kern-\wd0
        \kern.05em\copy0\kern-\wd0
        \kern-.025em\raise.0433em\box0 }
\define\bom{{\pomb{$\om$}}}
\define\sgn{\mathop\roman{sgn}\nolimits}
\define\Z{{\Bbb Z}}
\define\Q{{\Bbb Q}}
\define\N{{\Bbb N}}
\define\C{{\Bbb C}}
\define\R{{\Bbb R}}


%
%  Referencia
%
\newcount\refcount

\def\defref#1#2{\def#1{#2}\immediate\write\xrefsout{\noexpand#1}}

\def\ref#1{\advance\refcount by 1
\medbreak\hang\indent\llap{\the\refcount.\ }
\ignorespaces #1\medbreak}

\def\makepage#1#2{\centerline{#1}
\bigskip
#2
\vfill
\centerline{#1}
\bigskip
#2
\vfill\eject}


\defref\qaaa{Mi lehet predik\'atumok \'ert\'eke?  Hogyan jel\"olj\"uk?}

\defref\qaab{Mondjon legal\'abb h\'arom p\'eld\'at predik\'atumra\.}

\defref\qaac{Sorolja fel a logikai jeleket\.}

\defref\qaad{Milyen kvantorokat ismer? Mi a jel\"uk?}

\defref\qaae{Hogyan kapjuk a logikai formul\'akat?}

\defref\qaaf{Mikor van egy v\'altoz\'o egy kvantor hat\'ask\"or\'eben?}

\defref\qaag{Mik a nyitott \'es mik a z\'art formul\'ak?}

\defref\qaah{Mondjon k\'et p\'eld\'at nyitott formul\'ara\.}

\defref\qaai{Mondjon egy p\'eld\'at z\'art formul\'ara\.}

% 9 : 0

\defref\qaba{Milyen predik\'atumok szerepelnek a halmazelm\'eletben?}

\defref\qabb{Fogalmazza meg a meghat\'arozotts\'ag elv\'et\.}

\defref\qabc{Defini\'alja a r\'eszhalmaz \'es a val\'odi r\'eszhalmaz
fogalm\'at \'es adja meg jel\"ol\'eseiket\.}

\defref\qabd{Milyen tulajdons\'agokkal rendelkezik a ,,r\'eszhalmaz''
fogalom?}

\defref\qabf{Milyen tulajdons\'agokkal rendelkezik a halmazok
egyenl\H{o}s\'ege?}

\defref\qabg{\'{\I}rja le a r\'eszhalmaz fogalm\'at\. Milyen
jel\"ol\'est haszn\'alunk r\'eszhalmazok megad\'as\'ara?}

%\defref\paba{Bizony\'{\i}tsa be, hogy nincs olyan halmaz, amelynek minden
%dolog eleme\.}

%\defref\pabb{Mi a Russel-paradoxon?  Magyar\'azza el\.}

\defref\qabh{\'{\I}rja le az \"ures halmaz fogalm\'at\.}

\defref\qabha{Igaz-e, hogy csak egy \"ures halmaz van?}

%\defref\pabd{Bizony\'{\i}tsa be, hogy az a feltev\'es, hogy van halmaz, a
%r\'eszhalmaz-axi\'oma mellett ekvivalens az \"ures halmaz
%axi\'om\'aj\'aval\.}

\defref\qabi{\'{\I}rja le a p\'ar fogalm\'at\.  Milyen jel\"ol\'es
kapcsol\'odik hozz\'a?}

%\defref\pabe{Fogalmazzon meg a r\'eszhalmaz-axi\'oma mellett a
%p\'araxi\'om\'aval ekvivalens feltev\'est, \'es bizony\'{\i}tsa be az
%ekvivalenci\'at\.}

\defref\qabj{\'{\I}rja le k\'et halmaz uni\'oj\'at \'es a megfelel\H{o}
jel\"ol\'eseket\.}

\defref\qabja{\'{\I}rja le halmazrendszer uni\'oj\'at \'es a megfelel\H{o}
jel\"ol\'eseket\.}

%\defref\qabja{Fogalmazza meg az uni\'oaxi\'om\'at\.  Milyen jel\"ol\'esek
%kapcsol\'odnak hozz\'a?}

%\defref\pabf{Fogalmazzon meg a r\'eszhalmaz-axi\'oma mellett az
%uni\'oaxi\'om\'aval ekvivalens feltev\'est \'es bizony\'{\i}tsa be az
%ekvivalenci\'at\.}

\defref\qabk{Fogalmazza meg a halmazok uni\'oj\'anak
alaptulajdons\'agait\.}

\defref\pabg{Fogalmazza meg a halmazok uni\'oj\'anak kommutativit\'as\'at,
asszociativit\'as\'at \'es idempotenci\'aj\'at \'es bizony\'{\i}tsa be\.}

\defref\qabl{Defini\'alja halmazrendszer \'es k\'et halmaz metszet\'et,
\'es adja meg a jel\"ol\'eseket\.}

\defref\qabm{Defini\'alja a diszjunkts\'ag \'es p\'aronk\'ent diszjunkts\'ag
fogalm\'at\.}

\defref\qabn{Fogalmazza meg a halmazok metszet\'enek
alaptulajdons\'agait\.}

\defref\pabh{Fogalmazza meg a halmazok metszet\'enek
kommutativit\'as\'at, asszociativit\'as\'at \'es idempotenci\'aj\'at \'es
bizony\'{\i}tsa be\.}

\defref\qabo{Fogalmazza meg az uni\'o \'es a metszet
disztributivit\'as\'at\.} 

\defref\pabi{Fogalmazza meg \'es bizony\'{\i}tsa be az uni\'o \'es a metszet
disztributivit\'as\'at\.}

\defref\qabp{Defini\'alja halmazok k\"ul\"onbs\'eg\'et, szimmetrikus
differenci\'aj\'at \'es komplementer\'et\.}

\defref\qabr{Fogalmazza meg a halmazok komplementer\'enek
alaptulajdons\'agait\.} 

\defref\pabj{Fogalmazza meg \'es bizony\'{\i}tsa be a De Morgan
azonoss\'agokat k\'et halmazra\.}

\defref\qabs{\'{\I}rja le a hatv\'anyhalmaz fogalm\'at\.  Milyen
jel\"ol\'esek kapcsol\'odnak hozz\'a?}

%\defref\qabt{Fogalmazza meg a v\'egtelens\'egi axi\'om\'at\.}

%\defref\pabk{Mit jel\"ol $\bom$?  Bizony\'{\i}tsa a kapcsol\'od\'o,
%l\'etez\'esre \'es egy\'ertelm\H{u}s\'egre vonatkoz\'o \'all\'{\i}t\'asokat\.}

% 20 : 7

\defref\qaca{Defini\'alja a rendezett p\'ar fogalm\'at \'es
koordin\'at\'ait\.} 

\defref\paca{Mi a rendezett p\'ar alaptulajdons\'aga?  Bizony\'{\i}tsa be,
hogy rendelkezik vele\.}

\defref\qacb{Defini\'alja k\'et halmaz Descartes-szorzat\'at\.}

\defref\qacc{Defini\'alja a bin\'er rel\'aci\'o fogalm\'at \'es adja meg a
kapcsol\'od\'o jel\"ol\'eseket\.}

\defref\qacca{Adjon h\'arom p\'eld\'at bin\'er rel\'aci\'ora\.}

\defref\qacd{Mit jelent az, hogy $R$ rel\'aci\'o $X$ \'es $Y$ k\"oz\"ott?
Mit jelent az, hogy $R$ egy $X$-beli rel\'aci\'o?}

\defref\qace{Defini\'alja bin\'er rel\'aci\'o \'ertelmez\'esi tartom\'any\'at
\'es \'ert\'ekk\'eszlet\'et, \'es adja meg a kapcsol\'od\'o jel\"ol\'eseket\.}

\defref\qacf{Defini\'alja bin\'er rel\'aci\'o kiterjeszt\'es\'et,
lesz\H{u}k\'{\i}t\'es\'et \'es lesz\H{u}k\'{\i}t\'es\'et egy halmazra \'es adja meg a
kapcsol\'od\'o jel\"ol\'eseket\.}

\defref\qacg{Defini\'alja egy bin\'er rel\'aci\'o inverz\'et \'es sorolja
fel az inverz h\'arom egyszer\H{u} tulajdons\'ag\'at\.}

\defref\qach{Defini\'alja halmaz k\'ep\'et \'es inverz k\'ep\'et bin\'er
rel\'aci\'on\'al \'es adja meg a kapcsol\'od\'o jel\"ol\'eseket\.}

\defref\qaci{Defini\'alja bin\'er rel\'aci\'ok kompoz\'{\i}ci\'oj\'at\.  Lehet-e
a kompoz\'{\i}ci\'o \"ures?}

\defref\qacj{Fogalmazzon meg h\'arom, bin\'er rel\'aci\'ok
kompoz\'{\i}ci\'oj\'ara vonatkoz\'o \'all\'{\i}t\'ast\.}

\defref\pacb{Bizony\'{\i}tsa be, hogy bin\'er rel\'aci\'ok kompoz\'{\i}ci\'oja
asszociat\'{\i}v\.} 

\defref\pacc{Fogalmazza meg a k\'et bin\'er rel\'aci\'o kompoz\'{\i}ci\'oj\'anak
inverz\'ere vonatkoz\'o \'all\'{\i}t\'ast \'es bizony\'{\i}tsa be\.}

\defref\qack{Mit jelent az, hogy egy rel\'aci\'o tranzit\'{\i}v,
szimmetrikus, illetve dichot\'om?  Ezek k\"oz\"ul mi az, ami
csak a rel\'aci\'on m\'ulik?}

\defref\qacl{Mit jelent az, hogy egy rel\'aci\'o intranzit\'{\i}v,
antiszimmetrikus, illetve trichot\'om?  Ezek k\"oz\"ul mi az, ami csak a
rel\'aci\'on m\'ulik?}

\defref\qacm{Mit jelent az, hogy egy rel\'aci\'o szigor\'uan
antiszimmetrikus, reflex\'{\i}v illetve irreflex\'{\i}v?  Ezek k\"oz\"ul mi az,
ami csak a rel\'aci\'on m\'ulik?}

\defref\qacn{Defini\'alja az ekvivalenciarel\'aci\'o, illetve az
oszt\'alyoz\'as fogalm\'at\.}

\defref\qaco{Mi a kapcsolat az ekvivalenciarel\'aci\'ok \'es az
oszt\'alyoz\'asok k\"oz\"ott?}

\defref\pacd{Fogalmazza meg az ekvivalenciarel\'aci\'o \'es az
oszt\'alyoz\'as kapcsolat\'at \'es bizony\'{\i}tsa be\.}

\defref\qacp{Defini\'alja a r\'eszbenrendez\'es \'es a r\'eszbenrendezett
halmaz fogalm\'at\.  Mit mondhatunk egy r\'eszbenrendezett halmaz egy
r\'eszhalmaz\'ar\'ol?}

\defref\qacq{Defini\'alja a rendez\'es, a rendezett halmaz \'es a l\'anc
fogalm\'at\.}

\defref\qacr{Mondjon p\'eld\'at r\'eszbenrendezett de nem rendezett
halmazra\.}

\defref\qacs{Defini\'alja egy rel\'aci\'onak megfelel\H{o} szigor\'u illetve
gyenge rel\'aci\'o fogalm\'at\.}

\defref\qact{Defini\'alja a szigor\'u r\'eszbenrendez\'est \'es fogalmazza
meg kapcsolat\'at a r\'eszbenrendez\'essel\.}

\defref\pace{Fogalmazza meg a szigor\'u r\'eszbenrendez\'es kapcsolat\'at a
r\'eszbenrendez\'essel \'es bizony\'{\i}tsa be \'all\'{\i}t\'as\'at\.}

\defref\qacu{Mi az hogy kisebb, nagyobb, megel\H{o}zi, k\"oveti?  Adja meg
a kapcsol\'od\'o jel\"ol\'eseket\.}

\defref\qacv{Defini\'alja az intervallumokat \'es adja meg a kapcsol\'od\'o
jel\"ol\'eseket\.} 

\defref\qacw{Mi az hogy k\"ozvetlen\"ul k\"oveti illetve k\"ozvetlen\"ul
megel\H{o}zi?}

\defref\qacwa{Defini\'alja a kezd\H{o}szelet fogalm\'at \'es adja meg a
kapcsol\'od\'o jel\"ol\'eseket\.} 

\defref\qacx{Defini\'alja a legkisebb \'es a legnagyobb elem fogalm\'at\.} 

\defref\qacy{Defini\'alja a minim\'alis \'es a maxim\'alis elem fogalm\'at \'es
adja meg a kapcsol\'od\'o jel\"ol\'eseket\.} 

\defref\qacz{Adjon meg olyan r\'eszbenrendezett halmazt, amelyben t\"obb
minim\'alis elem van\.} 

\defref\qacza{Adjon meg olyan r\'eszbenrendezett halmazt, amelyben nincs
maxim\'alis elem\.} 

\defref\qaczb{Igaz-e, hogy rendezett halmazban a legkisebb \'es a
minim\'alis elem fogalma egybeesik?}

\defref\qaczc{Defini\'alja az als\'o \'es a fels\H{o} korl\'at fogalm\'at\.} 

\defref\qaczca{Igaz-e, hogy ha egy r\'eszbenrendezett halmaz egy
r\'eszhalmaza tartalmaz a r\'eszhalmaz als\'o korl\'atjai k\"oz\"ul
elemeket, akkor csak egyet?}

\defref\qaczd{Igaz-e, hogy ha egy r\'eszbenrendezett halmaz egy
r\'eszhalmaza tartalmazza a r\'eszhalmaz egy als\'o korl\'atj\'at, akkor az
a r\'eszhalmaznak minim\'alis eleme?}

\defref\qacze{Defini\'alja az infimum \'es a szupr\'emum fogalm\'at\.} 

\defref\qaczf{Defini\'alja a j\'olrendez\'es \'es a j\'olrendezett halmaz
fogalm\'at\.} 

\defref\qaczg{Adjon meg olyan rendezett halmazt, amely nem
j\'olrendezett\.}  

\defref\qaczh{Van-e olyan j\'olrendezett halmaz, amely nem rendezett?} 

\defref\qaczi{Adjon p\'eld\'at j\'olrendezett halmazra\.} 

\defref\qaczj{Adjon meg k\'et r\'eszbenrendezett halmaz
Descartes-szorzat\'an a halmazok r\'eszbenrendez\'esei seg\'{\i}ts\'eg\'evel
k\'et r\'eszbenrendez\'est\.} 

% 39 : 5

\defref\qada{Defini\'alja a f\"uggv\'eny fogalm\'at\.  Ismertesse a
kapcsol\'od\'o jel\"ol\'eseket\.}

\defref\qadb{Mi a k\"ul\"onbs\'eg a k\"oz\"ott, hogy $f\in X\to Y$ \'es
hogy $f:X\to Y$?}

\defref\qadc{Mikor nevez\"unk egy f\"uggv\'eny k\"olcs\"on\"osen
egy\'ertelm\H{u}nek?}

\defref\qadd{Igaz-e, hogy az identikus lek\'epez\'es mindig
sz\"urjekt\'{\i}v?}

\defref\qadda{Igaz-e, hogy k\'et f\"uggv\'eny \"osszet\'etele
f\"uggv\'eny?}

\defref\qade{Mikor \'all\'{\i}thatjuk hogy k\'et f\"uggv\'eny \"osszet\'etele
injekt\'{\i}v, sz\"urjekt\'{\i}v illetve bijekt\'{\i}v?}

\defref\padaa{Mikor \'all\'{\i}thatjuk hogy k\'et f\"uggv\'eny \"osszet\'etele
injekt\'{\i}v, sz\"urjekt\'{\i}v illetve bijekt\'{\i}v? Bizony\'{\i}tsa be
\'all\'{\i}t\'as\'at\.}

\defref\qadf{Mi a kapcsolat f\"uggv\'enyek \'es ekvivalenciarel\'aci\'ok
k\"oz\"ott?}

\defref\qadg{Mikor nevez\"unk egy f\"uggv\'enyt monoton n\"oveked\H{o}nek
illetve monoton cs\"okken\H{o}nek?}

\defref\qadh{Mikor nevez\"unk egy f\"uggv\'enyt szigor\'uan monoton
n\"oveked\H{o}nek illetve szigor\'uan monoton cs\"okken\H{o}nek?}

\defref\qadi{Mi a kapcsolat a szigor\'uan monoton n\"oveked\H{o}
f\"uggv\'enyek, a k\"olcs\"on\"osen egy\'ertelm\H{u} f\"uggv\'enyek \'es az
inverz f\"uggv\'eny\"uk k\"oz\"ott?}

\defref\pada{Mi a kapcsolat a szigor\'uan monoton n\"oveked\H{o}
f\"uggv\'enyek, a k\"olcs\"on\"osen egy\'ertelm\H{u} f\"uggv\'enyek \'es az
inverz f\"uggv\'eny\"uk k\"oz\"ott? A megfogalmazott \'all\'{\i}t\'ast
bizony\'{\i}tsa be\.}

\defref\qadj{Mit \'ert\"unk indexhalmaz, indexezett halmaz \'es csal\'ad alatt?}

\defref\qadk{Defini\'alja halmazcsal\'adok uni\'oj\'at \'es metszet\'et\.}

\defref\qadl{Fogalmazza meg a halmazcsal\'adokra vonatkoz\'o De 
Morgan-szab\'alyokat\.}

\defref\padb{Fogalmazza meg a halmazcsal\'adokra vonatkoz\'o De 
Morgan-szab\'alyokat \'es bizony\'{\i}tsa be \H{o}ket\.}

\defref\qadm{Fogalmazza meg a halmazm\H{u}veletek \'es egy f\"uggv\'eny
kapcsolat\'ar\'ol tanult \'all\'{\i}t\'asokat\.}

\defref\qadn{Defini\'alja v\'eges sok halmaz Descartes-szorzat\'at \'es
ismertesse a kapcsol\'od\'o jel\"ol\'eseket\.}

\defref\qado{Defini\'alja a (nem felt\'etlen\"ul bin\'er) rel\'aci\'o
fogalm\'at \'es a kapcsol\'od\'o jel\"ol\'eseket\.}

\defref\qadoa{Defini\'alja a kiv\'alaszt\'asi f\"uggv\'eny fogalm\'at\.}

\defref\qadp{Defini\'alja tetsz\H{o}leges halmazcsal\'ad
Descartes-szorzat\'at \'es ismertesse a kapcsol\'od\'o jel\"ol\'eseket\.}

\defref\qadq{Defini\'alja a projekci\'o fogalm\'at\.}

\defref\qadr{Defini\'alja a bin\'er, un\'er \'es null\'er m\H{u}velet
fogalm\'at \'es ismertesse a kapcsol\'od\'o jel\"ol\'eseket\.}

\defref\qadra{Adjon meg egy bin\'er \'es egy un\'er m\H{u}veletet
t\'abl\'azattal\.}

\defref\qadra{Hogyan defini\'alunk m\H{u}veleteket f\"uggv\'enytereken?}

\defref\qads{Defini\'alja a m\H{u}velettart\'o lek\'epez\'es fogalm\'at\.}

% 22 : 3

\defref\qbaa{Fogalmazza meg a Peano-axi\'om\'akat\.}

\defref\qbab{Mi a r\'ak\"ovetkez\H{o}, a r\'ak\"ovetkez\'es, \'es a teljes
indukci\'o elve?}

\defref\pbaa{Bizony\'{\i}tsa be, hogy ha $n\in\N$, akkor $n\not=n^+$ \'es ha
$0\not=n\in\N$, akkor van olyan $m\in\N$, hogy $n=m^+$\.}

\defref\qbac{Defini\'alja a sz\'amjegyeket\.}

\defref\qbad{Defini\'alja a sorozat fogalm\'at\.}

\defref\qbae{Fogalmazza meg a rekurzi\'ot\'etelt\.}

%\defref\pbab{Fogalmazza meg a rekurzi\'ot\'etelt \'es bizony\'{\i}tsa be az
%egy\'ertelm\H{u}s\'eget\.}

%\defref\pbac{Fogalmazza meg a rekurzi\'ot\'etelt \'es bizony\'{\i}tsa be a
%l\'etez\'est\.}

\defref\qbaf{Fogalmazza meg a term\'eszetes sz\'amok egy\'ertelm\H{u}s\'eg\'ere
vonatkoz\'o t\'etelt\.}

\defref\pbad{Fogalmazza meg \'es bizony\'{\i}tsa be a term\'eszetes sz\'amok
egy\'ertelm\H{u}s\'eg\'ere vonatkoz\'o t\'etelt\.}

\defref\qbah{Fogalmazza meg a term\'eszetes sz\'amok l\'etez\'es\'ere
vonatkoz\'o t\'etelt\.}

\defref\qbai{Defini\'alja a karakterisztikus f\"uggv\'eny fogalm\'at \'es
ismertesse a kapcsol\'od\'o jel\"ol\'eseket\.}

% 8 : 2

\defref\qbba{Defini\'alja term\'eszetes sz\'amok \"osszead\'as\'at\.}

\defref\qbbb{Fogalmazza meg a term\'eszetes sz\'amok \"osszead\'as\'anak
alaptulajdons\'agait kimond\'o t\'etelt\.}

\defref\pbba{Fogalmazza meg \'es bizony\'{\i}tsa be a term\'eszetes sz\'amok
\"osszead\'as\'anak alaptulajdons\'agait kimond\'o t\'etelt, a
kommutativit\'ast kiv\'eve\.}

\defref\pbbaa{Fogalmazza meg a term\'eszetes sz\'amok \"osszead\'as\'anak
alaptulajdons\'agait kimond\'o t\'etelt \'es bizony\'{\i}tsa be a
kommutativit\'ast\.}

\defref\qbbc{Defini\'alja term\'eszetes sz\'amok szorz\'as\'at\.}

\defref\qbbd{Fogalmazza meg a term\'eszetes sz\'amok szorz\'as\'anak
alaptulajdons\'agait kimond\'o t\'etelt\.}

\defref\pbbb{Fogalmazza meg \'es bizony\'{\i}tsa be a term\'eszetes sz\'amok
szorz\'as\'anak alaptulajdons\'agait kimond\'o t\'etelt, a kommutativit\'ast
kiv\'eve\.}

\defref\pbbba{Fogalmazza meg a term\'eszetes sz\'amok szorz\'as\'anak
alaptulajdons\'agait kimond\'o t\'etelt, \'es bizony\'{\i}tsa be a
kommutativit\'ast\.}

\defref\qbbe{Defini\'alja a baloldali semleges elem, a jobboldali
semleges elem \'es a semleges elem fogalm\'at\.}

\defref\qbbf{Igaz-e, hogy legfeljebb egy baloldali semleges elem van?}

\defref\qbbg{Igaz-e, hogy legfeljebb egy semleges elem van?}

\defref\qbbh{Defini\'alja a f\'elcsoport, a balinverz, a jobbinverz \'es
az inverz fogalm\'at\.}

\defref\qbbi{Igaz-e, hogy egy egys\'egelemes f\'elcsoportban egy elemhez
legfeljebb egy inverz elem l\'etezik?}

\defref\qbbj{Igaz-e, hogy egy egys\'egelemes multiplikat\'{\i}v
f\'elcsoportban ha $h$-nak \'es $g$-nek van inverze, akkor $hg$-nek is,
\'es ha igen, mi?}

\defref\qbbk{Defini\'alja a csoport \'es az Abel-csoport fogalm\'at\.}

\defref\qbbka{Igaz-e, hogy ha $X$ tetsz\H{o}leges halmaz, akkor
$\bigl(\wp(X),\ca\bigl)$ egy egys\'egelemes f\'elcsoport?}

\defref\qbbkb{Igaz-e, hogy ha $X$ tetsz\H{o}leges halmaz, akkor
$\bigl(\wp(X),\cu\bigl)$ egy csoport?}

\defref\qbbkc{Igaz-e, hogy ha $X$ tetsz\H{o}leges halmaz, akkor
$\bigl(\wp(X),\sm\bigl)$ egy f\'elcsoport?}

\defref\qbbkd{Igaz-e, hogy ha $X$ tetsz\H{o}leges halmaz, akkor az
$X$-beli bin\'er rel\'aci\'ok a kompoz\'{\i}ci\'oval egys\'egelemes
f\'elcsoportot alkotnak?}

\defref\qbbke{Igaz-e, hogy ha $X$ tetsz\H{o}leges halmaz, akkor az
$X$-et $X$-re k\'epez\H{o} bijekt\'{\i}v lek\'epez\'esek a kompoz\'{\i}ci\'oval,
mint m\H{u}velettel csoportot alkotnak?}

% 17 : 4

\defref\qbca{Defini\'alja term\'eszetes sz\'amokra a $\le$ rel\'aci\'ot\.}

\defref\pbca{Bizony\'{\i}tsa be, hogy a term\'eszetes sz\'amok halmaza a $\le$
rel\'aci\'oval rendezett\.}

\defref\qbcb{Fogalmazza meg a term\'eszetes sz\'amokra a $\le$ rel\'aci\'o
\'es a m\H{u}veletek kapcsolat\'at le\'{\i}r\'o t\'etelt\.}

\defref\pbcb{Fogalmazza meg \'es bizony\'{\i}tsa be a term\'eszetes sz\'amokra
a $\le$ rel\'aci\'o \'es a m\H{u}veletek kapcsolat\'at le\'{\i}r\'o t\'etelt\.}

\defref\pbcc{Bizony\'{\i}tsa be, hogy a term\'eszetes sz\'amok halmaza a $\le$
rel\'aci\'oval j\'olrendezett\.  Azt, hogy rendezett, nem kell
bizony\'{\i}tania\.}

\defref\qbcc{Defini\'alja a v\'eges sorozatokat\.}

\defref\qbcd{Fogalmazza meg az \'altal\'anos rekurzi\'ot\'etelt\.}

%\defref\pbcd{Fogalmazza meg az \'altal\'anos rekurzi\'o t\'etelt \'es
%bizony\'{\i}tsa be az egy\'ertelm\H{u}s\'egi r\'eszt\.}

%\defref\pbce{Fogalmazza meg az \'altal\'anos rekurzi\'ot\'etelt \'es
%bizony\'{\i}tsa be a l\'etez\'esi r\'eszt\.}

\defref\qbce{Hogyan haszn\'alhat\'o az \'altal\'anos rekurzi\'ot\'etel a
Fibonacci-sz\'amok defini\'al\'as\'ara?}

\defref\qbcf{Defini\'alja v\'eges sok elem szorzat\'at f\'elcsoportban \'es
egys\'egelemes f\'elcsoportban\.}

\defref\qbcg{Fogalmazza meg a hatv\'anyoz\'as k\'et tulajdons\'ag\'at
f\'elcsoportban \'es egys\'egelemes f\'elcsoportban\.}

\defref\qbcga{Fogalmazza meg a hatv\'anyoz\'asnak azt a tulajdons\'ag\'at,
amely csak felcser\'elhet\H{o} elemekre \'erv\'enyes\.}

\defref\qbch{Hogyan \'ertelmezt\"uk a $\sum_{a\in A} x_a$ jel\"ol\'est?}

\defref\qbci{Fogalmazza meg a marad\'ekos oszt\'as t\'etel\'et\.}

\defref\pbcf{Fogalmazza meg \'es bizony\'{\i}tsa be a marad\'ekos oszt\'as
t\'etel\'et\.}

\defref\qbcia{Defini\'alja a h\'anyadost \'es a marad\'ekot term\'eszetes
sz\'amok oszt\'as\'an\'al, a p\'aros \'es p\'aratlan term\'eszetes
sz\'amokat\.}

\defref\qbcj{Fogalmazza meg a sz\'amrendszerekre vonatkoz\'o t\'etelt\.}

\defref\pbcg{Fogalmazza meg \'es bizony\'{\i}tsa be a sz\'amrendszerekre
vonatkoz\'o t\'etelt\.}

% 11 : 5

\defref\qcaa{Mikor mondjuk, hogy egy bin\'er m\H{u}velet kompatibilis egy
oszt\'alyoz\'assal?  Adjon ekvivalens megfogalmaz\'ast, \'es defini\'alja a
m\H{u}veletet az oszt\'alyok k\"oz\"ott\.}

\defref\qcab{Mikor mondjuk, hogy egy bin\'er rel\'aci\'o kompatibilis egy
oszt\'alyoz\'assal?  Adjon ekvivalens megfogalmaz\'ast, \'es defini\'alja a
rel\'aci\'ot az oszt\'alyok k\"oz\"ott\.}

\defref\qcac{Defini\'alja az eg\'esz sz\'amokat a m\H{u}veletekkel \'es a
rendez\'essel \'es fogalmazza meg az eg\'esz sz\'amok tulajdons\'agait
le\'{\i}r\'o t\'etelt\.}

%\defref\pcaa{Defini\'alja az eg\'esz sz\'amokat az \"osszead\'assal \'es a
%szorz\'assal \'es mutassa meg, hogy mindk\'et m\H{u}velet kompatibilis az
%oszt\'alyoz\'assal\.}

%\defref\pcab{Defini\'alja az eg\'esz sz\'amokat az \"osszead\'assal, a
%szorz\'assal \'es a rendez\'essel, bizony\'{\i}tsa be, hogy a rendez\'es
%kompatibilis az osszt\'alyoz\'assal \'es a m\H{u}veletek monotonak\.}

\defref\qcae{Adja meg $\N$-nek $\Z$-be val\'o be\'agyaz\'as\'at \'es
fogalmazza meg a be\'agyaz\'as tulajdons\'agait\.}

\defref\qcaf{Defini\'alja egy csoportban az eg\'esz kitev\H{o}s
hatv\'anyoz\'ast \'es fogalmazza meg k\'et tulajdons\'ag\'at\.}

\defref\qcafa{Defini\'alja egy csoportban az eg\'esz kitev\H{o}s
hatv\'anyoz\'ast \'es fogalmazza meg egy olyan tulajdons\'ag\'at, amely
csak felcser\'elhet\H{o} elemekre \'erv\'enyes\.}

\defref\qcag{Defini\'alja a gy\H{u}r\H{u}, a kommutat\'{\i}v gy\H{u}r\H{u} \'es az
egys\'egelemes gy\H{u}r\H{u} fogalm\'at\.}

\defref\pcac{Fogalmazza meg gy\H{u}r\H{u}ben a null\'aval val\'o szorz\'as
tulajdons\'agait \'es az el\H{o}jelszab\'alyt \'es bizony\'{\i}tsa be \H{o}ket\.}

\defref\pcaca{Fogalmazza meg gy\H{u}r\H{u}ben az eg\'esz egy\"utthat\'oval val\'o
szorz\'as tulajdons\'agait\.}

\defref\qcag{Defini\'alja a nullgy\H{u}r\H{u} \'es a z\'er\'ogy\H{u}r\H{u}
fogalm\'at\.}

\defref\qcah{Defini\'alja a bal \'es jobb oldali nulloszt\'o \'es a
nulloszt\'op\'ar fogalm\'at\.}

\defref\qcaha{Fogalmazza meg az \'altal\'anos disztributivit\'as
t\'etel\'et\.}

\defref\pcacb{Fogalmazza meg az \'altal\'anos disztributivit\'as
t\'etel\'et \'es bizony\'{\i}tsa be\.}

\defref\pcad{Defini\'alja a bal  \'es jobb oldali nulloszt\'o \'es a
nulloszt\'op\'ar fogalm\'at\. Adjon meg k\'et l\'enyegesen k\"ul\"onb\"oz\H{o},
nulloszt\'okkal kapcsolatos \'all\'{\i}t\'ast, \'es bizony\'{\i}tsa be \H{o}ket\.}

\defref\qcai{Defini\'alja az integrit\'asi tartom\'any fogalm\'at\.}

\defref\qcaj{Defini\'alja a rendezett integrit\'asi tartom\'any
fogalm\'at\.}

\defref\qcak{Fogalmazzon meg sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges felt\'etelt
arra vonatkoz\'oan, hogy egy integrit\'asi tartom\'any rendezett
integrit\'asi tartom\'any legyen\.}

\defref\pcae{Fogalmazzon meg sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges felt\'etelt
arra vonatkoz\'oan, hogy egy integrit\'asi tartom\'any rendezett
integrit\'asi tartom\'any legyen, \'es bizony\'{\i}tsa be az \'all\'{\i}t\'ast\.}

\defref\qcal{Fogalmazza meg a rendezett integrit\'asi tartom\'anyban az
egyenl\H{o}tlens\'egekkel val\'o sz\'amol\'as szab\'alyait le\'{\i}r\'o t\'etelt\.}

\defref\pcaf{Fogalmazza meg a rendezett integrit\'asi tartom\'anyban az
egyenl\H{o}tlens\'egekkel val\'o sz\'amol\'as szab\'alyait le\'{\i}r\'o t\'etelt
\'es bizony\'{\i}tsa be\.}

% 13 : 6

\defref\qcba{Defini\'alja a racion\'alis sz\'amok halmaz\'at a
m\H{u}veletekkel \'es a rendez\'essel \'es fogalmazza meg a racion\'alis
sz\'amok tulajdons\'agait le\'{\i}r\'o t\'etelt\.}

\defref\pcba{Defini\'alja a racion\'alis sz\'amok halmaz\'at az
\"osszead\'assal, bizony\'{\i}tsa be, hogy az \"osszead\'as kompatibilis az
oszt\'alyoz\'assal, \'es az \"osszead\'assal a racion\'alis sz\'amok halmaza
Abel-csoport\.}

\defref\pcbb{Defini\'alja a racion\'alis sz\'amok halmaz\'at a
m\H{u}veletekkel, bizony\'{\i}tsa be, hogy a szorz\'as kompatibilis az
oszt\'alyoz\'assal, \'es felhaszn\'alva, hogy az \"osszead\'assal a
racion\'alis sz\'amok halmaza Abel-csoport, bizony\'{\i}tsa be hogy test\.}

\defref\pcbc{Defini\'alja a racion\'alis sz\'amok halmaz\'at a
m\H{u}veletekkel \'es a rendez\'essel, \'es felhaszn\'alva, hogy test,
bizony\'{\i}tsa be a rendez\'es tulajdons\'agait, bele\'ertve, hogy
kompatibilis az oszt\'alyoz\'assal\.}

\defref\qcbd{Adja meg $\Z$-nek $\Q$-ba val\'o be\'agyaz\'as\'at \'es
fogalmazza meg a be\'agyaz\'as tulajdons\'agait\.}

\defref\qcbe{Defini\'alja a test \'es a ferdetest fogalm\'at \'es adjon
h\'arom p\'eld\'at testre\.}

\defref\qcbf{Defini\'alja a rendezett test fogalm\'at \'es adjon p\'eld\'at
olyan testre, amely nem tehet\H{o} rendezett testt\'e\.}

\defref\qcbg{Adja meg $\Q$-nak egy rendezett testbe val\'o
be\'agyaz\'as\'at \'es fogalmazza meg a be\'agyaz\'as tulajdons\'agait\.}

% 5 : 3

\defref\pcca{Van-e olyan racion\'alis sz\'am, amelynek a n\'egyzete 2?
Bizony\'{\i}tsa be \'all\'{\i}t\'as\'at\.}

\defref\qcca{Fogalmazza meg a fels\H{o} hat\'ar tulajdons\'agot \'es az
Archim\'ed\'eszi tulajdons\'agot\.}

\defref\pccaa{Fogalmazza meg a fels\H{o} hat\'ar tulajdons\'agot \'es az
Archim\'ed\'eszi tulajdons\'agot\.  Mi a kapcsolatuk?  Bizony\'{\i}tsa be
\'all\'{\i}t\'as\'at\.}

\defref\qccaa{Fogalmazza meg a racion\'alis sz\'amok fels\H{o} hat\'ar
tulajdons\'ag\'ara \'es az Archim\'ed\'eszi tulajdons\'ag\'ara vonatkoz\'o
t\'etelt\.}

\defref\pccab{Bizony\'{\i}tsa be, hogy a racion\'alis sz\'amok rendezett
teste nem fels\H{o} hat\'ar tulajdons\'ag\'u\.}

\defref\pccac{Bizony\'{\i}tsa be, hogy a racion\'alis sz\'amok rendezett
teste Archim\'ed\'eszi tulajdons\'ag\'u\.}

\defref\qccb{Fogalmazza meg a val\'os sz\'amok egy\'ertelm\H{u}s\'eg\'et
le\'{\i}r\'o t\'etelt\.}

\defref\qccc{Defini\'alja a val\'os sz\'amokat\.}

\defref\qccd{Defini\'alja val\'os sz\'am abszol\'ut \'ert\'ek\'et \'es a
$\sgn$ f\"uggv\'enyt\.}

\defref\pccc{Defini\'alja val\'os sz\'am als\'o \'es fels\H{o} eg\'esz
r\'esz\'et, \'es bizony\'{\i}tsa be ezek l\'etez\'es\'et\.}

\defref\qcce{Fogalmazza meg a val\'os sz\'amok l\'etez\'es\'et le\'{\i}r\'o
t\'etelt\.}

%\defref\qccf{Defini\'alja a val\'os sz\'amokat az
%intervallumskatuly\'az\'asi tulajdons\'aggal\.}

% 6 : 3

\defref\qcda{Defini\'alja a komplex sz\'amok halmaz\'at a
m\H{u}veletekkel\.} 

\defref\pcda{Defini\'alja a komplex sz\'amok halmaz\'at a m\H{u}veletekkel
\'es bizony\'{\i}tsa be, hogy test\.}

\defref\qcdb{Adja meg $\R$ be\'agyaz\'as\'at $\C$-be\.}

\defref\qcdc{Defini\'alja $i$-t, komplex sz\'am val\'os \'es k\'epzetes
r\'esz\'et, konjug\'altj\'at \'es a k\'epzetes sz\'amok fogalm\'at\.}

\defref\qcdd{Fogalmazza meg a komplex konjug\'al\'as tulajdons\'agait\.}

\defref\qcde{Defini\'alja komplex sz\'am abszol\'ut \'ert\'ek\'et\.  Milyen
anal\'{\i}zisbeli t\'etelt haszn\'alt?}

\defref\qcdf{Fogalmazza meg komplex sz\'amok abszol\'ut \'ert\'ek\'enek
tulajdons\'agait\.}

\defref\pcdaa{Fogalmazza meg komplex sz\'amok abszol\'ut \'ert\'ek\'enek
tulajdons\'agait \'es bizony\'{\i}tsa be\.}

\defref\qcdg{Defini\'alja komplex sz\'amokra a $\sgn$ f\"uggv\'enyt \'es
fogalmazza meg tulajdons\'agait\.}

\defref\qcdh{Defini\'alja komplex sz\'amok trigonometrikus alakj\'at \'es
argumentum\'at\.}

\defref\qcdi{\'{\I}rja fel k\'et komplex sz\'am szorzat\'at \'es h\'anyados\'at
trigonometrikus alakjuk seg\'{\i}ts\'eg\'evel\.}

\defref\qcdj{Ha $n\in\N^+$ \'es $w\in\C$, \'{\i}rja fel a $z^n=w$ egyenlet
\"osszes megold\'as\'at\.}

\defref\qcdk{\'{\I}rja fel az $n$-edik komplex egys\'eggy\"ok\"oket\.  Mit
\'ert\"unk primit\'{\i}v $n$-edik egys\'eggy\"ok alatt?}

\defref\qcdl{Ha $n\in\N^+$ \'es $w\in\C$, \'{\i}rja fel a $z^n=w$ egyenlet
\"osszes megold\'as\'at az $n$-edik egys\'eggy\"ok\"ok seg\'{\i}ts\'eg\'evel\.}

\defref\qcdm{Fogalmazza meg az algebra alapt\'etel\'et\.}

\defref\qcdn{Defini\'alja a kvaterni\'ok halmaz\'at a m\H{u}veletekkel\.}

\defref\qcdo{Milyen algebrai strukt\'ur\'at alkotnak a kvaterni\'ok?}

\defref\qcdp{Adja meg a komplex sz\'amok be\'agyaz\'as\'at a
kvaterni\'okba\.}

\defref\qcdq{Defini\'alja a $j$ \'es $k$ kvaterni\'okat\.  Hogyan
\'{\i}rhatunk fel egy kvaterni\'ot $i$, $j$ \'es $k$ seg\'{\i}ts\'eg\'evel?}

\defref\qcdr{Igaz-e, hogy b\'armely kvaterni\'o b\'armely val\'os sz\'ammal
felcser\'elhet\H{o}?} 

\defref\qcds{Igaz-e, hogy b\'armely kvaterni\'o b\'armely komplex
sz\'ammal felcser\'elhet\H{o}?}

\defref\qcdt{Adja meg a $i$, $j$, $k$ kvaterni\'ok
,,szorz\'ot\'abl\'aj\'at''\.}

\defref\qcdu{Defini\'alja kvaterni\'o val\'os \'es k\'epzetes r\'esz\'et \'es
konjug\'altj\'at\.}

\defref\qcdv{Fogalmazza meg a kvaterni\'ok konjug\'altj\'ara vonatkoz\'o
\'all\'{\i}t\'asokat\.}

\defref\qcdw{Defini\'alja a bels\H{o} \'es a k\"uls\H{o} szorz\'ast a
kvaterni\'ok seg\'{\i}ts\'eg\'evel\.}

\defref\qcdx{Defini\'alja kvaterni\'ok abszol\'ut \'ert\'ek\'et \'es sorolja
fel a tulajdons\'agait\.}

\defref\pcdb{Sorolja fel kvaterni\'ok abszol\'ut \'ert\'ek\'enek a
tulajdons\'agait \'es bizony\'{\i}tsa be ezeket\.}

% 24 : 1

\defref\qdaa{Defini\'alja halmazok ekvivalenci\'aj\'at \'es sorolja fel
tulajdons\'agait\.}

\defref\qdab{Ha az $X$ \'es $X'$ illetve $Y$ \'es $Y'$ halmazok
ekvivalensek, milyen m\'as halmazok ekvivalenci\'aj\'ara
k\"ovetkeztethet\"unk m\'eg ebb\H{o}l?}

\defref\pdaa{Bizony\'{\i}tsa be, hogy b\'armely $n\in\N$-re $\{1,2,\ld,n\}$
b\'armely val\'odi r\'eszhalmaza ekvivalens egy
$m<n$ term\'eszetes sz\'amra $\{1,2,\ld,m\}$-mel\.}

\defref\pdab{Bizony\'{\i}tsa be, hogy b\'armely $n\in\N$-re nem l\'etezik
ekvivalencia $\{1,2,\ld,n\}$ \'es egy val\'odi
r\'eszhalmaza k\"oz\"ott\.}

\defref\qdac{Defini\'alja a v\'eges \'es a v\'egtelen halmazok
fogalm\'at\.}

\defref\qdad{Defini\'alja egy v\'eges halmaz elemeinek sz\'am\'at\.
Hogyan jel\"olj\"uk?  Mit haszn\'alt fel a defin\'{\i}ci\'ohoz?}

\defref\qdae{Fogalmazza meg a v\'eges halmazok \'es elemsz\'amuk
tulajdons\'agait le\'{\i}r\'o t\'etelt\.}

\defref\pdac{Fogalmazza meg a v\'eges halmazok \'es elemsz\'amuk
tulajdons\'agait le\'{\i}r\'o t\'etelt \'es bizony\'{\i}tsa be\.}

\defref\qdaea{Fogalmazza meg a skatulyaelvet\.}

\defref\pdad{Fogalmazza meg a skatulyaelvet \'es bizony\'{\i}tsa be\.}

\defref\qdaf{Mit mondhatunk v\'eges halmazban minim\'alis \'es maxim\'alis
elem l\'etez\'es\'er\H{o}l?}

\defref\pdae{Mit mondhatunk v\'eges halmazban minim\'alis \'es maxim\'alis
elem l\'etez\'es\'er\H{o}l?  Bizony\'{\i}tsa be \'all\'{\i}t\'as\'at\.}

% 7 : 5

\defref\qdba{Defini\'alja a permut\'aci\'ok fogalm\'at\.  Mi a szok\'asos
m\H{u}velet \'es milyen algebrai strukt\'ur\'at kapunk?}

\defref\pdba{Mit mondhatunk egy v\'eges halmaz \"osszes permut\'aci\'oinak
sz\'am\'ar\'ol?  Bizony\'{\i}tsa be \'all\'{\i}t\'as\'at\.}

\defref\pdbb{Mit \'ert\"unk egy v\'eges halmaz vari\'aci\'oin \'es mit
mondhatunk az \"osszes vari\'aci\'ok sz\'am\'ar\'ol?  Bizony\'{\i}tsa be
\'all\'{\i}t\'as\'at\.}

\defref\qdbh{Defini\'alja az ism\'etl\'eses vari\'aci\'ok fogalm\'at\.  Mit
mondhatunk egy v\'eges halmaz \"osszes ism\'etl\'eses vari\'aci\'oinak
sz\'am\'ar\'ol?}

\defref\pdbc{Mit \'ert\"unk egy v\'eges halmaz kombin\'aci\'oin \'es mit
mondhatunk az \"osszes kombin\'aci\'ok sz\'am\'ar\'ol?  Bizony\'{\i}tsa be
\'all\'{\i}t\'as\'at\.}

\defref\pdbd{Mit \'ert\"unk egy v\'eges halmaz ism\'etl\'eses kombin\'aci\'oin
\'es mit mondhatunk az \"osszes ism\'etl\'eses kombin\'aci\'ok sz\'am\'ar\'ol?
Bizony\'{\i}tsa be \'all\'{\i}t\'as\'at\.}

\defref\pdbe{Mit \'ert\"unk egy v\'eges halmaz ism\'etl\'eses permut\'aci\'oin
\'es mit mondhatunk az \"osszes ism\'etl\'eses permut\'aci\'ok sz\'am\'ar\'ol?
Bizony\'{\i}tsa be \'all\'{\i}t\'as\'at\.}

% 5 : 2

\defref\qdca{Fogalmazza meg a binomi\'alis t\'etelt\.}

\defref\pdca{Fogalmazza meg a binomi\'alis t\'etelt \'es bizony\'{\i}tsa
be\.}

\defref\qdcb{Fogalmazza meg a polinomi\'alis t\'etelt\.}

\defref\pdcb{Fogalmazza meg a polinomi\'alis t\'etelt \'es bizony\'{\i}tsa
be\.}

\defref\qdcc{Fogalmazza meg a logikai szita formul\'at\.}

\defref\pdcc{Fogalmazza meg a logikai szita formul\'at \'es bizony\'{\i}tsa
be\.}

% 3 : 3

\defref\qfaa{Defini\'alja a term\'eszetes sz\'amok k\"or\'eben az
oszthat\'os\'agot \'es adja meg a jel\"ol\'es\'et\.}

\defref\qfab{Sorolja fel a term\'eszetes sz\'amok k\"or\'eben az
oszthat\'os\'ag alaptulajdons\'agait\.}

\defref\pfaa{Sorolja fel a term\'eszetes sz\'amok k\"or\'eben az
oszthat\'os\'ag alaptulajdons\'agait \'es bizony\'{\i}tsa be ezeket\.}

\defref\qfac{Defini\'alja a term\'eszetes sz\'amok k\"or\'eben a pr\'{\i}msz\'am
\'es a t\"orzssz\'am fogalm\'at\.  Mi a kapcsolat a k\'et fogalom
k\"oz\"ott?}

\defref\qfad{Defini\'alja egys\'egelemes integrit\'asi tartom\'anyban az
oszthat\'os\'agot \'es adja meg a jel\"ol\'es\'et\.}

\defref\qfae{Sorolja fel egys\'egelemes integrit\'asi tartom\'anyban az
oszthat\'os\'ag alaptulajdons\'agait\.}

\defref\pfab{Sorolja fel egys\'egelemes integrit\'asi tartom\'anyban az
oszthat\'os\'ag alaptulajdons\'agait \'es bizony\'{\i}tsa be ezeket\.}

\defref\qfaf{Defini\'alja az asszoci\'altak fogalm\'at \'es sorolja fel
ennek a kapcsolatnak a tulajdons\'agait\.}

\defref\qfag{Defini\'alja az egys\'egek fogalm\'at \'es sorolja fel az
egys\'egek halmaz\'anak tulajdons\'agait\.}

\defref\qfah{Mi a kapcsolat az egys\'egek \'es az asszoci\'altak
k\"oz\"ott?}

\defref\pfaba{Mi a kapcsolat az egys\'egek \'es az asszoci\'altak
k\"oz\"ott?  Bizony\'{\i}tsa be \'all\'{\i}t\'as\'at\.}

\defref\qfaha{Defini\'alja a Gauss-eg\'eszek gy\H{u}r\H{u}j\'et\.  Igaz-e,
hogy k\'et egys\'eg van?}

\defref\qfai{Defini\'alja egys\'egelemes integrit\'asi tartom\'anyban a
pr\'{\i}melem \'es az irreducibilis elem fogalm\'at\.  Mi a kapcsolat a k\'et
fogalom k\"oz\"ott?}

\defref\qfaia{Mit \'ert\"unk egys\'egelemes integrit\'asi tartom\'anyban
legnagyobb k\"oz\"os oszt\'o alatt?}

\defref\qfaib{Mikor mondjuk egys\'egelemes integrit\'asi tartom\'any
elemeire, hogy relat\'{\i}v pr\'{\i}mek?}

\defref\qfaic{Mit \'ert\"unk egys\'egelemes integrit\'asi tartom\'anyban
legkisebb k\"oz\"os t\"obbsz\"or\"os alatt?}

\defref\qfaj{Mi a kapcsolat a term\'eszetes sz\'amok k\"or\'eben \'es az
eg\'esz sz\'amok k\"or\'eben vett oszthat\'os\'ag k\"oz\"ott?}

\defref\qfak{Egy\'ertelm\H{u}-e az eg\'esz sz\'amok k\"or\'eben a legnagyobb
k\"oz\"os oszt\'o?  Ismertesse a kapcsol\'od\'o jel\"ol\'est\.}

\defref\qfal{Egy\'ertelm\H{u}-e az eg\'esz sz\'amok k\"or\'eben a legkisebb
k\"oz\"os t\"obbsz\"or\"os?  Ismertesse a kapcsol\'od\'o jel\"ol\'est\.}

\defref\qfam{Ismertesse a b\H{o}v\'{\i}tett euklideszi algoritmust\.}

\defref\pfac{Ismertesse a b\H{o}v\'{\i}tett euklideszi algoritmust\.
Bizony\'{\i}tsa, hogy m\H{u}k\"odik\.}

\defref\qfan{Mely t\'etel alapj\'an sz\'amolhatjuk ki v\'eges sok
eg\'esz sz\'am legnagyobb k\"oz\"os oszt\'oj\'at pr\'{\i}mfelbont\'as
n\'elk\"ul?}

\defref\pfad{Mi a kapcsolat $\Z$-ben a pr\'{\i}melemek \'es az irreducibilis
elemek k\"oz\"ott?  Bizony\'{\i}tsa \'all\'{\i}t\'as\'at\.}

\defref\qfao{Fogalmazza meg a sz\'amelm\'elet alapt\'etel\'et\.}

\defref\qfaoa{Defini\'alja pr\'{\i}mtenyez\H{o}s
felbont\'asn\'al a kanonikus alakot\.}

\defref\pfae{Fogalmazza meg \'es bizony\'{\i}tsa be a sz\'amelm\'elet
alapt\'etel\'et\.}

\defref\pfaf{Fogalmazza meg Eukleid\'esz t\'etel\'et \'es a pr\'{\i}msz\'amok
k\"oz\"otti r\'esekre vonatkoz\'o \'all\'{\i}t\'ast, \'es mindkett\H{o}t
bizony\'{\i}tsa be\.}

\defref\qfap{Hogyan hat\'arozhat\'ok meg term\'eszetes sz\'amok eset\'en az
oszt\'ok, a legnagyobb k\"oz\"os oszt\'o \'es a legkisebb k\"oz\"os
t\"obbsz\"or\"os a pr\'{\i}mt\'enyez\H{o}s felbont\'as seg\'{\i}ts\'eg\'evel?}

\defref\qfaq{Mi a kapcsolat k\'et eg\'esz sz\'am legnagyobb k\"oz\"os
oszt\'oja \'es legkisebb k\"oz\"os t\"obbsz\"or\"ose k\"oz\"ott?}

\defref\qfar{Hogyan sz\'amolhatjuk ki v\'eges sok eg\'esz sz\'am legkisebb
k\"oz\"os t\"obbsz\"or\"os\'et pr\'{\i}mfelbont\'as n\'elk\"ul?}

\defref\qfas{Ismertesse Erathoszthen\'esz szit\'aj\'at\.}

% 19 : 6

\defref\qfba{Defini\'alja eg\'esz sz\'amok kongruenci\'aj\'at \'es adja meg
a kapcsol\'od\'o jel\"ol\'eseket\.}

\defref\qfbb{Fogalmazza meg az eg\'esz sz\'amok kongruenci\'aj\'anak
egyszer\H{u} tulajdons\'agait\.}

\defref\pfba{Fogalmazza meg az eg\'esz sz\'amok kongruenci\'aj\'anak
egyszer\H{u} tulajdons\'agait \'es bizony\'{\i}tsa be azokat\.}

\defref\qfbc{Defini\'alja a marad\'ekoszt\'aly, reduk\'alt
marad\'ekoszt\'aly, teljes \'es reduk\'alt marad\'ekrendszer fogalm\'at\.}

\defref\qfbd{Defini\'alja $\Z_m$-et\.  Milyen algebrai strukt\'ura
$\Z_m$?}

\defref\qfbe{Fogalmazza meg a $\Z_m$ gy\H{u}r\H{u} tulajdons\'agait le\'{\i}r\'o
t\'etelt\.}

\defref\pfbaa{Fogalmazza meg a $\Z_m$ gy\H{u}r\H{u} tulajdons\'agait le\'{\i}r\'o
t\'etelt \'es bizony\'{\i}tsa be\.}

\defref\qfbf{Defini\'alja az Euler-f\'ele $\vp$ f\"uggv\'enyt\.}

\defref\pfbab{Mit mondhatunk az $aa_i+b$ sz\'amokr\'ol, ha $a_i$ egy
marad\'ekrendszer, illetve egy reduk\'alt marad\'ekrendszer elemeit futja
be?  Bizony\'{\i}tsa be \'all\'{\i}t\'as\'at\.}

\defref\qfbg{Fogalmazza meg az Euler--Fermat-t\'etelt\.}

\defref\pfbb{Fogalmazza meg \'es bizony\'{\i}tsa be az Euler--Fermat
t\'etelt\.}

\defref\qfbh{Fogalmazza meg a Fermat-t\'etelt\.}

\defref\pfbba{Fogalmazza meg \'es bizony\'{\i}tsa be a Fermat-t\'etelt\.}

\defref\pfbc{Ismertesse a line\'aris kongruenci\'ak megold\'as\'anak
m\'odszer\'et r\'eszletes indokl\'assal\.}

\defref\pfbca{Ismertesse line\'aris kongruenciarendszerek megold\'as\'anak
m\'odszer\'et r\'eszletes indokl\'assal\.}

\defref\qfbi{Mit \'ert\"unk diofantikus probl\'em\'an?}

\defref\qfbj{Mondjon k\'et p\'eld\'at diofantikus probl\'em\'ara\.}

\defref\qfbk{Fogalmazza meg a k\'{\i}nai marad\'ekt\'etelt\.}

\defref\pfbd{Fogalmazza meg \'es bizony\'{\i}tsa be a k\'{\i}nai marad\'ekt\'etelt\.}

\defref\pfbe{Ismertesse az RSA elj\'ar\'ast r\'eszletes indokl\'assal\.}

%\defref\pfbf{Ismertesse a Miller--Rabin-f\'ele val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi tesztet
%r\'eszletes indokl\'assal\.}

%\defref\pfbg{Ismertesse a gyors hatv\'anyoz\'asi algoritmust r\'eszletes
%indokl\'assal\.}

% 11 : 7

\defref\qfca{Defini\'alja a sz\'amelm\'eleti f\"uggv\'eny, az addit\'{\i}v
sz\'amelm\'eleti f\"uggv\'eny \'es a teljesen addit\'{\i}v sz\'amelm\'eleti
f\"uggv\'eny fogalm\'at\.}

\defref\qfcb{Defini\'alja a sz\'amelm\'eleti f\"uggv\'eny, az
multiplikat\'{\i}v sz\'amelm\'eleti f\"uggv\'eny \'es a teljesen multiplikat\'{\i}v
sz\'amelm\'eleti f\"uggv\'eny fogalm\'at\.}

\defref\qfcc{Fogalmazza meg az addit\'{\i}v, multiplikat\'{\i}v, teljesen
addit\'{\i}v \'es teljesen multiplikat\'{\i}v sz\'amelm\'eleti f\"uggv\'enyek
kisz\'am\'{\i}t\'as\'ara vonatkoz\'o t\'etelt\.}

\defref\pfca{Fogalmazza meg az addit\'{\i}v, multiplikat\'{\i}v, teljesen
addit\'{\i}v \'es teljesen multiplikat\'{\i}v sz\'amelm\'eleti f\"uggv\'enyek
kisz\'am\'{\i}t\'as\'ara vonatkoz\'o t\'etelt \'es bizony\'{\i}tsa be\.}

\defref\qfcd{Adjon egyszer\H{u} p\'eld\'ak addit\'{\i}v, multiplikat\'{\i}v,
teljesen addit\'{\i}v \'es teljesen multiplikat\'{\i}v sz\'amelm\'eleti
f\"uggv\'enyekre\.}

\defref\qfce{Defini\'alja a $\mu$ \'es $\nu$ sz\'amelm\'eleti
f\"uggv\'enyeket\.  Milyen tulajdons\'ag\'uak?}

\defref\qfcf{Fogalmazza meg az Euler-f\'ele $\vp$ f\"uggv\'eny
kisz\'am\'{\i}t\'as\'ara vonatkoz\'o t\'etelt\.}

\defref\pfcaa{Fogalmazza meg \'es bizony\'{\i}tsa be az Euler-f\'ele $\vp$
f\"uggv\'eny kisz\'am\'{\i}t\'as\'ara vonatkoz\'o t\'etelt\.}

%\defref\qfcg{Defini\'alja sz\'amelm\'eleti f\"uggv\'enyek konvol\'uci\'oj\'at
%k\'et alakban\.}

%\defref\qfch{Milyen strukt\'ur\'at alkotnak a sz\'amelm\'eleti f\"uggv\'enyek
%a konvol\'uci\'oval?}

%\defref\pfcb{Milyen strukt\'ur\'at alkotnak a sz\'amelm\'eleti f\"uggv\'enyek
%a konvol\'uci\'oval?  Bizony\'{\i}tsa be \'all\'{\i}t\'as\'at\.}

%\defref\qfci{Milyen strukt\'ur\'at alkotnak a multiplikat\'{\i}v sz\'amelm\'eleti
%f\"uggv\'enyek a konvol\'uci\'oval?}

%\defref\pfcc{Bizony\'{\i}tsa be, hogy multiplikat\'{\i}v sz\'amelm\'eleti
%f\"uggv\'enyek konvol\'uci\'oja is multiplikat\'{\i}v\.}

%\defref\qfcj{Mit \'ert\"unk egy sz\'amelm\'eleti f\"uggv\'eny \"osszegz\'esi
%f\"uggv\'eny\'en illetve M\"obius-transzform\'altj\'an?}

%\defref\qfck{Fogalmazza meg a M\"obius-f\'ele inverzi\'os formul\'at\.}

%\defref\pfcd{Fogalmazza meg \'es bizony\'{\i}tsa be a M\"obius-f\'ele
%inverzi\'os formul\'at\.}

%\defref\qfcl{Defini\'alja a $\ta$, $\si$ \'es $\si_k$ sz\'amelm\'eleti
%f\"uggv\'enyeket\.}

%\defref\qfcm{\'{\I}rja fel a $\ta$ \'es $\si$ sz\'amelm\'eleti
%f\"uggv\'enyek kisz\'am\'{\i}t\'as\'ara haszn\'alhat\'o formul\'akat\.}

%\defref\qfcn{Fogalmazza meg az $E$, $I$, $\I_{\N^+}$, $\mu$, $\ta$, $\vp$
%\'es $\si$ sz\'amelm\'eleti f\"uggv\'enyek k\"oz\"otti kapcsolatokat
%t\'argyal\'o t\'etelt\.}

%\defref\pfce{Fogalmazza meg \'es bizony\'{\i}tsa be az $E$, $I$, $\I_{\N^+}$,
%$\mu$, $\ta$, $\vp$ \'es $\si$ sz\'amelm\'eleti f\"uggv\'enyek k\"oz\"otti
%kapcsolatokat t\'argyal\'o t\'etelt\.}

% 14 : 5

%\defref\qfda{Defini\'alja egy val\'os sz\'am l\'anct\"ort k\"ozel\'{\i}t\'eseit,
%bevezetve a sz\"uks\'eges jel\"ol\'eseket is\.}

%\defref\qfdb{Mi a kapcsolat a l\'anct\"ort k\"ozel\'{\i}t\'esek \'es az
%euklideszi algoritmus k\"oz\"ott \'es mi k\"ovetkezik ebb\H{o}l?}

%\defref\qfdc{Fogalmazza meg a l\'anct\"ort k\"ozel\'{\i}t\'esek z\'art
%alakj\'aval foglalkoz\'o t\'etelt\.}

%\defref\pfda{Fogalmazza meg \'es bizony\'{\i}tsa be a l\'anct\"ort
%k\"ozel\'{\i}t\'esek z\'art alakj\'aval foglalkoz\'o t\'etel els\H{o} fel\'et, ami
%a k\"ozel\'{\i}t\'es z\'art alakj\'at adja meg\.}

%\defref\pfdb{Fogalmazza meg a l\'anct\"ort k\"ozel\'{\i}t\'esek z\'art
%alakj\'aval foglalkoz\'o t\'etelt, \'es bizony\'{\i}tsuk be a m\'asodik fel\'et,
%teh\'at kihagyva a bizony\'{\i}t\'as z\'art alakra vonatkoz\'o r\'esz\'et\.}

%\defref\qfdd{Milyen als\'o becsl\'es adhat\'o a l\'anct\"ort k\"ozel\'{\i}t\'esek
%nevez\H{o}ire?}

%\defref\qfde{Fogalmazza meg a l\'anct\"ort k\"ozel\'{\i}t\'esek \'es egy\'eb
%racion\'alis k\"ozel\'{\i}t\'esek k\"oz\"otti kapcsolatra vonatkoz\'o
%t\'etelt\.}

% 5 : 2

\defref\qgaa{Fogalmazza meg a kiv\'alaszt\'asi axi\'om\'at\.}

\defref\qgab{Fogalmazza meg a Zorn-lemm\'at\.}

\defref\qgac{Fogalmazza meg a j\'olrendez\'esi t\'etelt\.}

\defref\qgad{Mikor mondjuk, hogy egy halmaz major\'al egy m\'asikat?
Mikor mondjuk, hogy egy halmaz szigor\'uan major\'al egy m\'asikat?}

\defref\qgae{Milyen nyilv\'anval\'o tulajdons\'agai vannak halmazok
major\'al\'as\'anak?}

\defref\pgaa{Bizony\'{\i}tsa be, hogy halmazok major\'al\'asa reflex\'{\i}v \'es
tranzit\'{\i}v\.}

\defref\qgaf{Fogalmazza meg a Schr\"oder--Bernstein-t\'etelt\.}

\defref\pgab{Fogalmazza meg \'es bizony\'{\i}tsa be a
Schr\"oder--Bernstein-t\'etelt\.}

\defref\qgag{Fogalmazza meg a Schr\"oder--Bernstein-t\'etel szigor\'u
major\'al\'asra vonatkoz\'o k\"ovetkezm\'eny\'et\.}

\defref\pgac{Fogalmazza meg \'es bizony\'{\i}tsa be a
Schr\"oder--Bernstein-t\'etel szigor\'u major\'al\'asra vonatkoz\'o
k\"ovetkezm\'eny\'et\.}

\defref\qgah{Fogalmazza meg a halmazok \"osszehasonl\'{\i}that\'os\'ag\'ara
vonatkoz\'o t\'etelt\.}

\defref\qgai{Fogalmazza meg Cantor t\'etel\'et\.}

\defref\pgad{Fogalmazza meg \'es bizony\'{\i}tsa be Cantor t\'etel\'et\.}

% 9 : 4

\defref\qgba{Defini\'alja a megsz\'aml\'alhat\'o v\'egtelen \'es a
megsz\'aml\'alhat\'o fogalm\'at\.}

\defref\qgbb{Adjon a megsz\'aml\'alhat\'o v\'egtelen fogalma
seg\'{\i}ts\'eg\'evel sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges felt\'etelt arra, hogy egy
halmaz v\'egtelen legyen\.}

\defref\pgba{Adjon a megsz\'aml\'alhat\'o v\'egtelen fogalma
seg\'{\i}ts\'eg\'evel sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges felt\'etelt arra, hogy egy
halmaz v\'egtelen legyen, \'es bizony\'{\i}tsa be az \'all\'{\i}t\'ast\.}

\defref\qgbc{Adjon $\N$ seg\'{\i}ts\'eg\'evel sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges
felt\'etelt arra, hogy egy halmaz v\'eges, megsz\'aml\'alhat\'o illetve
v\'egtelen legyen\.}

\defref\pgbb{Adjon $\N$ seg\'{\i}ts\'eg\'evel sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges
felt\'etelt arra, hogy egy halmaz v\'eges, megsz\'aml\'alhat\'o illetve
v\'egtelen legyen, \'es bizony\'{\i}tsa be az \'all\'{\i}t\'ast\.}

\defref\qgbd{Mit mondhatunk megsz\'aml\'alhat\'o halmaz r\'eszhalmaz\'ar\'ol?}

\defref\pgbc{Mit mondhatunk megsz\'aml\'alhat\'o halmaz r\'eszhalmaz\'ar\'ol?
Bizony\'{\i}tsa be az \'all\'{\i}t\'ast\.}

\defref\qgbe{Adjon $\N$ seg\'{\i}ts\'eg\'evel sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges
felt\'etelt arra, hogy egy nem \"ures halmaz megsz\'aml\'alhat\'o
legyen\.}

\defref\pgbd{Adjon $\N$ seg\'{\i}ts\'eg\'evel sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges
felt\'etelt arra, hogy egy nem \"ures halmaz megsz\'aml\'alhat\'o
legyen, \'es bizony\'{\i}tsa be az \'all\'{\i}t\'ast\.}

\defref\pgbca{Bizony\'{\i}tsa be, hogy $\N\ti\N$ megsz\'aml\'alhat\'o v\'egtelen\.}

\defref\qgbf{Mely halmazm\H{u}veletekre bizonyit\'{\i}tottuk, hogy nem
vezetnek ki a megsz\'aml\'alhat\'o halmazok k\"or\'eb\H{o}l?}

\defref\qgbg{A $\Z$, $\N\ti\N$, $\Q$, $\R$, $\C$, $\N^n$ ($n\in\N$),
$\R^n$ ($n\in\N$), $\cu_{n=0}^\infty\N^n$, $\wp(\N)$ halmazok k\"oz\"ul
melyek megsz\'aml\'alhat\'oak?}

\defref\pgbe{A $\Z$, $\Q$, $\R$, $\C$, $\N^n$ ($n\in\N$),
$\R^n$ ($n\in\N$), $\cu_{n=0}^\infty\N^n$, $\wp(\N)$ halmazok k\"oz\"ul
melyek megsz\'aml\'alhat\'oak?  Bizony\'{\i}tsa be az \'all\'{\i}t\'ast\.}

\defref\qgbh{Egy v\'egtelen halmaz \'es egy megsz\'aml\'alhat\'o halmaz
uni\'oj\'at k\'epezz\"uk.  Mit \'all\'{\i}thatunk az uni\'or\'ol?}

\defref\pgbf{Egy v\'egtelen halmaz \'es egy megsz\'aml\'alhat\'o halmaz
uni\'oj\'at k\'epezz\"uk.  Mit \'all\'{\i}thatunk az uni\'or\'ol?  Bizony\'{\i}tsa be
az \'all\'{\i}t\'ast\.}

\defref\qgbi{Adjon val\'odi r\'eszhalmazok seg\'{\i}ts\'eg\'evel sz\"uks\'eges \'es
el\'egs\'eges felt\'etelt arra, hogy egy halmaz v\'egtelen legyen\.}

\defref\pgbg{Adjon val\'odi r\'eszhalmazok seg\'{\i}ts\'eg\'evel sz\"uks\'eges \'es
el\'egs\'eges felt\'etelt arra, hogy egy halmaz v\'egtelen
legyen\. Bizony\'{\i}tsa be az \'all\'{\i}t\'ast\.}

% 9 : 8

\defref\qgca{Defini\'alja a kontinuum sz\'amoss\'ag\'u halmaz fogalm\'at\.}

\defref\qgcb{Az $\R$ mely r\'eszhalmazair\'ol bizony\'{\i}tottuk, hogy
kontinuum sz\'amoss\'ag\'uak?}

\defref\pgca{Az $\R$ mely r\'eszhalmazair\'ol bizony\'{\i}tottuk, hogy
kontinuum sz\'amoss\'ag\'uak?  \'{\I}rja le a bizony\'{\i}t\'ast\.}

\defref\qgcc{A $\Z$, $\N\ti\N$, $\Q$, $\R$, $\C$, $\N^n$ ($n\in\N$),
$\R^n$ ($n\in\N$), $\cu_{n=0}^\infty\N^n$, $\wp(\N)$ halmazok k\"oz\"ul
melyek kontinuum sz\'amoss\'ag\'uak?}

\defref\pgcb{A $\Z$, $\N\ti\N$, $\Q$, $\R$, $\C$, $\N^n$ ($n\in\N$),
$\R^n$ ($n\in\N$), $\cu_{n=0}^\infty\N^n$ halmazok k\"oz\"ul melyek
kontinuum sz\'amoss\'ag\'uak?  Bizony\'{\i}tsa be az \'all\'{\i}t\'ast\.}

\defref\pgcc{A $\Z$, $\N\ti\N$, $\Q$, $\wp(\N)$, $\N^n$ ($n\in\N$),
$\cu_{n=0}^\infty\N^n$ halmazok k\"oz\"ul melyek kontinuum
sz\'amoss\'ag\'uak?  Bizony\'{\i}tsa be az \'all\'{\i}t\'ast\.}

% 3 : 2

\closeout\xrefsout

\makepage{1.~csoport, 2007.10.7}{\qacq}

\makepage{1.~csoport, 2007.10.7}{\qacr}

\bye




