Futási eredmények

Sikeresen lefutott a keresés!

A gridhez csatlkoztatott számítógépek nagy számának köszönhetően a vártnál kicsit hamarabb, 2005 végén befejeződött a program futása. A cél az összes olyan 11-edfokú expanzív polinom megtalálása volt, melyeknek konstans tagja 2, és főegyütthatója 1. Ezek között a polinomok között megtalálható az összes 11 dimenziós általánosított számrendszer alappolinomja.

A program kimenete

A program összesen 550 polinomot adott meg kimenetként. A program megírásánál a sebesség optimalizálása érdekében meg kellett engednünk, hogy a kimenetében olyan számsorozatot is megadhasson, amely nem expanzív polinomnak felel meg. Esetünkben a kimenet ellenőrzése után 339 polinom bizonyult valóban expanzívnak. (A többi polinom egy alacsonyabb fokú expanzív polinom és körosztási polinomok szorzata. Ezek is érdekes esetek, ezért nem került bele a kódba még egy ellenőrző rutin, mely kiszűri az ilyen polinomokat.)

Az általánosított számrendszerek

A 338 jelölt közül egy specifikus algoritmussal választottuk ki azokat, melyek kanonikus bináris számrendszert adnak. Ez az eljárás már nem olyan számításigényes, az ELTE Informatika Karának gépein végeztük el. Várakozásainknak megfelelően kevés, mindössze 11 darab olyan polinomot találtunk, melyek számrendszert alkotnak. Összehasonlításképpen az alábbi táblázatban az alacsonyabb dimenziós számrendszerek számát is felsoroljuk.

Fok	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Expanzívak	5	7	29	29	105	95	309	192	623	339
Számrendszerek	4	4	12	7	12	7	32	9	42	11

A táblázatban látható számok illetve a fok függvényében történő változásuk érdekes matematikai vizsgálódásra adnak lehetőséget.

További vizsgálatok

Jelenleg a kapott számrendszer-alap polinomok gyakorlati alkalmazásokban való felhasználását vizsgáljuk. Ezen kívül a számrendszerek matematikai elemzése is folyamatban van.

A továbbiakban két irányban is szeretnénk kiterjeszteni a kutatást. Egyfelől a 11-nél magasabb fokú polinomok vizsgálatára kerülhet sor. Itt sajnos a számítási igény olyan mértékben nő, hogy nincs remény a teljes vizsgálatra. De létezik matematikai sejtés, melynek feltételezésével a paramétertér jelentősen csökkenthető. A vizsgálatot tehát mindenképpen érdemes elvégezni, hiszen megfelelő polinomok előállítása a gyakorlat szempontjából még akkor is érdekes lehet, ha jelenleg nem tudjuk bebizonyítani, hogy az összeset megtaláltuk. Jelenleg a programnak ez a verziója fut 12 dimenzióra.

A probléma általánosításában pedig a polinom konstans tagját választhatjuk 2-nél nagyobbra. Ha ez a szám 3, akkor ternáris számrendszerekről beszélünk. Jelenleg olyan programot fejlesztünk, mellyel adott fokra az összes 3 konstans tagú expanzív polinom megtalálható. Ezzel becsléseink szerint 9-10 dimenzióig az összes általánosított ternáris számrendszert megtalálhatjuk.